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9. 如图，长为$ a $，宽为$ b $的长方形的周长为16，面积为12，则$ a^2 + b^2 $的值为(
A.40
B.64
C.70
D.88
A
).A.40
B.64
C.70
D.88
答案
A
解析
【分析】
解题时首先从已知条件出发，第一步根据长方形周长公式求出$a+b$的值，第二步根据长方形面积公式得到$ab$的值，第三步回忆完全平方公式的变形形式，将$a^2+b^2$转化为含$(a+b)$和$ab$的式子，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：由题意可知：
长方形周长为$2(a+b)=16$，解得$a+b=8$，
长方形面积为$ab=12$。
根据完全平方公式可得：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
对公式变形得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，
将$a+b=8$、$ab=12$代入上式：
$a^2+b^2=8^2-2×12=64-24=40$。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，长方形周长与面积计算
【点评】
本题考查完全平方公式的变形应用，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的常见变形，结合几何图形的周长、面积公式得到相关代数式的值，再代入计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件出发，第一步根据长方形周长公式求出$a+b$的值，第二步根据长方形面积公式得到$ab$的值，第三步回忆完全平方公式的变形形式，将$a^2+b^2$转化为含$(a+b)$和$ab$的式子，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：由题意可知：
长方形周长为$2(a+b)=16$，解得$a+b=8$，
长方形面积为$ab=12$。
根据完全平方公式可得：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
对公式变形得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，
将$a+b=8$、$ab=12$代入上式：
$a^2+b^2=8^2-2×12=64-24=40$。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，长方形周长与面积计算
【点评】
本题考查完全平方公式的变形应用，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的常见变形，结合几何图形的周长、面积公式得到相关代数式的值，再代入计算即可。
【难度系数】
0.8
10. 如图，大正方形的边长为$ m $，阴影部分为小正方形，其边长为$ n $。若用$ a $，$ b $表示四个完全相同的小长方形的两边长$(a ＞ b)$，则下列关系式正确的是（
① $ m^2 - n^2 = 4ab $；② $ 2a^2 + 2b^2 = m^2 + n^2 $；③ $ 2a^2 - 2b^2 = m^2 - n^2 $；④ $ a^2 - b^2 = mn $。
A.①②
B.①②④
C.②③④
D.①③④
B
）。① $ m^2 - n^2 = 4ab $；② $ 2a^2 + 2b^2 = m^2 + n^2 $；③ $ 2a^2 - 2b^2 = m^2 - n^2 $；④ $ a^2 - b^2 = mn $。
A.①②
B.①②④
C.②③④
D.①③④
答案
B
解析
【分析】
首先观察图形，先确定各边长的关系：大正方形边长m等于小长方形的长与宽之和，即$ m=a+b $；阴影小正方形的边长n等于小长方形的长与宽之差，即$ n=a-b $（$ a＞b $）。接下来只需将四个关系式中的m、n都用a、b代替，分别化简左右两边，判断是否相等即可选出正确选项。
【解析】
由图可得：$ m = a + b $，$ n = a - b $（$ a＞b $），逐个验证关系式：
1. 验证①：
左边 $ m^2 - n^2 = (a+b)^2 - (a-b)^2 = (a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2) = 4ab $，与右边相等，故①正确。
2. 验证②：
左边 $ 2a^2 + 2b^2 $，
右边 $ m^2 + n^2 = (a+b)^2 + (a-b)^2 = (a^2+2ab+b^2)+(a^2-2ab+b^2) = 2a^2 + 2b^2 $，左右两边相等，故②正确。
3. 验证③：
左边 $ 2a^2 - 2b^2 = 2(a^2 - b^2) = 2(a+b)(a-b) = 2mn $，
右边 $ m^2 - n^2 = 4ab $，显然$ 2mn ≠ 4ab $，故③错误。
4. 验证④：
左边 $ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $，
右边 $ mn = (a+b)(a-b) $，左右两边相等，故④正确。
综上，正确的关系式为①②④，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式的化简
【点评】
本题结合几何图形考查整式乘法公式的应用，解题的关键是从图形中提取出$ m=a+b $、$ n=a-b $的数量关系，再代入公式化简验证，需要熟练掌握乘法公式的变形与运算。
【难度系数】
0.65
首先观察图形，先确定各边长的关系：大正方形边长m等于小长方形的长与宽之和，即$ m=a+b $；阴影小正方形的边长n等于小长方形的长与宽之差，即$ n=a-b $（$ a＞b $）。接下来只需将四个关系式中的m、n都用a、b代替，分别化简左右两边，判断是否相等即可选出正确选项。
【解析】
由图可得：$ m = a + b $，$ n = a - b $（$ a＞b $），逐个验证关系式：
1. 验证①：
左边 $ m^2 - n^2 = (a+b)^2 - (a-b)^2 = (a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2) = 4ab $，与右边相等，故①正确。
2. 验证②：
左边 $ 2a^2 + 2b^2 $，
右边 $ m^2 + n^2 = (a+b)^2 + (a-b)^2 = (a^2+2ab+b^2)+(a^2-2ab+b^2) = 2a^2 + 2b^2 $，左右两边相等，故②正确。
3. 验证③：
左边 $ 2a^2 - 2b^2 = 2(a^2 - b^2) = 2(a+b)(a-b) = 2mn $，
右边 $ m^2 - n^2 = 4ab $，显然$ 2mn ≠ 4ab $，故③错误。
4. 验证④：
左边 $ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $，
右边 $ mn = (a+b)(a-b) $，左右两边相等，故④正确。
综上，正确的关系式为①②④，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式的化简
【点评】
本题结合几何图形考查整式乘法公式的应用，解题的关键是从图形中提取出$ m=a+b $、$ n=a-b $的数量关系，再代入公式化简验证，需要熟练掌握乘法公式的变形与运算。
【难度系数】
0.65
11. 计算：
(1) $(x - 2y)^2 - (x + y)(x - y)$；
(2) $(2x + y - z)(2x - y + z)$。
(1) $(x - 2y)^2 - (x + y)(x - y)$；
(2) $(2x + y - z)(2x - y + z)$。
答案
(1) $-4xy+5y^2$
(2) $4x^2 - y^2 + 2yz - z^2$
(2) $4x^2 - y^2 + 2yz - z^2$
解析
【分析】
（1）本题需先分别用完全平方公式展开$(x-2y)^2$，用平方差公式展开$(x+y)(x-y)$，再去括号合并同类项即可得到结果。解题时首先要准确识别两个乘法算式对应的公式，展开后注意括号前是负号时去括号要变号，最后合并同类项保证结果最简。
（2）观察两个因式的结构，发现$2x$的符号相同，$y$、$-z$的符号相反，因此可以将$(y-z)$看作一个整体，把原式变形为平方差公式的标准形式，先利用平方差公式计算，再对$(y-z)^2$用完全平方公式展开，最后去括号得到结果，这样处理可以避免逐项相乘的复杂运算。
【解析】
(1) 先分别展开两个乘法式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x^2 - 4xy + 4y^2) - (x^2 - y^2)\\&=x^2 - 4xy + 4y^2 - x^2 + y^2\\&=-4xy + 5y^2\end{aligned}$
(2) 先将原式变形为平方差公式形式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[2x + (y - z)][2x - (y - z)]\\&=(2x)^2 - (y - z)^2\\&=4x^2 - (y^2 - 2yz + z^2)\\&=4x^2 - y^2 + 2yz - z^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{-4xy+5y^2}$
(2) $\boxed{4x^2 - y^2 + 2yz - z^2}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式混合运算
【点评】
本题重点考查整式乘法公式的应用，解题核心是准确识别公式适用的结构特征，第二题运用整体思想能大幅简化运算过程，计算时要注意去括号的符号规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
（1）本题需先分别用完全平方公式展开$(x-2y)^2$，用平方差公式展开$(x+y)(x-y)$，再去括号合并同类项即可得到结果。解题时首先要准确识别两个乘法算式对应的公式，展开后注意括号前是负号时去括号要变号，最后合并同类项保证结果最简。
（2）观察两个因式的结构，发现$2x$的符号相同，$y$、$-z$的符号相反，因此可以将$(y-z)$看作一个整体，把原式变形为平方差公式的标准形式，先利用平方差公式计算，再对$(y-z)^2$用完全平方公式展开，最后去括号得到结果，这样处理可以避免逐项相乘的复杂运算。
【解析】
(1) 先分别展开两个乘法式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x^2 - 4xy + 4y^2) - (x^2 - y^2)\\&=x^2 - 4xy + 4y^2 - x^2 + y^2\\&=-4xy + 5y^2\end{aligned}$
(2) 先将原式变形为平方差公式形式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[2x + (y - z)][2x - (y - z)]\\&=(2x)^2 - (y - z)^2\\&=4x^2 - (y^2 - 2yz + z^2)\\&=4x^2 - y^2 + 2yz - z^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{-4xy+5y^2}$
(2) $\boxed{4x^2 - y^2 + 2yz - z^2}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式混合运算
【点评】
本题重点考查整式乘法公式的应用，解题核心是准确识别公式适用的结构特征，第二题运用整体思想能大幅简化运算过程，计算时要注意去括号的符号规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
