1. 化简$x^2 - (x + 2)(x - 2)$的结果是________.

4

【分析】
本题属于整式的化简运算，解题时遵循整式混合运算“先乘除后加减”的顺序即可：首先观察到式子中$(x+2)(x-2)$符合平方差公式的结构特征，先利用平方差公式计算这部分乘积，再去括号，最后合并同类项就能得到化简结果，注意去括号时如果括号前是负号，括号内各项都要变号。
【解析】
解：$x^2 - (x + 2)(x - 2)$
第一步，利用平方差公式计算$(x+2)(x-2)$：
$(x+2)(x-2)=x^2 - 2^2 = x^2 - 4$，代入原式得：
$=x^2 - (x^2 - 4)$
第二步，去括号，括号前为负号，括号内各项变号：
$=x^2 - x^2 + 4$
第三步，合并同类项：
$=4$
【答案】
4
【知识点】
平方差公式，整式混合运算，去括号法则
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查对平方差公式的运用和去括号时的符号处理，熟练掌握运算规则和乘法公式是快速正确解题的关键。
【难度系数】
0.8

2. 计算：$3×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×···×(2^{32}+1)+1=\underline{\hspace{10cm}}$.（结果用幂的形式表示）

$2^{64}$

【分析】
观察算式结构，每个因式都是“2的偶次幂+1”的形式，而首个因数3恰好可改写为$2^2-1$，正好能和第二个因式$2^2+1$组成平方差公式的结构。我们可以通过连续运用平方差公式逐步化简连乘部分，无需计算大数乘积即可快速得到结果。
【解析】
解：将原式中的3改写为$2^2-1$，则：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(2^2-1)×(2^2+1)×(2^4+1)×···×(2^{32}+1)+1\\&=(2^4-1)×(2^4+1)×···×(2^{32}+1)+1\\&=(2^8-1)×···×(2^{32}+1)+1\\&\quad\vdots\\&=(2^{32}-1)×(2^{32}+1)+1\\&=2^{64}-1+1\\&=2^{64}\end{aligned}$
【答案】
$2^{64}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 幂的乘方运算
【点评】
本题是平方差公式的典型拓展应用题，解题核心是通过改写首项构造平方差公式的适用结构，通过多次套用公式简化复杂连乘运算，能够很好地锻炼对算式结构的观察能力和公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6

3. 根据完全平方公式计算：$(\dfrac{3}{5}x - 5y)^2 = \dfrac{9}{25}x^2 + (\_\_\_\_\_\_xy) + 25y^2.$

$-6$

【分析】
本题考查完全平方差公式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方差公式的结构：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，先确定题目中对应公式里的$a$和$b$，再代入公式计算出中间项，最后提取$xy$的系数即可得到答案，要特别注意差的平方中间项的符号为负，避免符号出错。
【解析】
根据完全平方差公式：$\boxed{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$
本题中$a=\dfrac{3}{5}x$，$b=5y$，代入公式展开计算：
$\begin{aligned}(\dfrac{3}{5}x - 5y)^2&=(\dfrac{3}{5}x)^2 - 2× \dfrac{3}{5}x × 5y + (5y)^2\\&=\dfrac{9}{25}x^2 - 6xy + 25y^2\end{aligned}$
对比原式结构，可得$xy$项的系数为$-6$。
【答案】
$-6$
【知识点】
完全平方公式、单项式乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查对完全平方公式结构的掌握，解题时要注意准确识别公式中的两项，同时不要忽略中间项的符号，避免因符号或计算失误丢分。
【难度系数】
0.8

4. 如图，从边长为$(a+3)$的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪开，拼成一个如图所示的长方形(不重叠且无缝隙)，拼成的长方形的宽为$a$，长为________。

$a+6$

【分析】
解这道题的核心是抓住图形剪拼前后面积保持不变的性质。我们可以先计算出原正方形剪去小正方形后剩余部分的面积，这个面积和拼成的长方形面积相等，已知长方形的宽是a，用面积除以宽就能求出长方形的长。
【解析】
第一步：计算剩余部分的面积
原大正方形边长为$(a+3)$，面积为$(a+3)^2$，剪去的小正方形边长为3，面积为$3^2=9$，因此剩余部分面积为：
$(a+3)^2 - 9$
利用平方差公式化简：
$(a+3)^2 - 3^2 = (a+3-3)(a+3+3) = a(a+6)$
第二步：求长方形的长
拼成的长方形面积等于剩余部分面积，已知长方形宽为$a$，根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得长为：
$a(a+6)÷a = a+6$（$a$为边长，$a≠0$）
【答案】
$a+6$
【知识点】
剪拼面积守恒、整式运算、面积公式应用
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题，解题关键是抓住剪拼前后图形面积不变的核心，结合整式运算即可快速求解，能够有效巩固面积计算和整式化简的相关知识。
【难度系数】
0.7

5. 如图，两个正方形的边长分别为$a$，$b$，若$a + b = 20$，$ab = 30$，则阴影部分的面积为________.

155

【分析】
要求阴影部分的面积，可采用“总面积减空白面积”的思路：先计算两个正方形的总面积，再减去两个空白直角三角形的面积，得到阴影面积的代数式；再结合已知条件$a+b=20$、$ab=30$，利用完全平方公式的变形求出$a^2+b^2$的值，代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
阴影部分的面积等于两个正方形的面积和减去两个空白直角三角形的面积：
第一步：列面积表达式
$S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{正方形}ABCD} + S_{\mathrm{正方形}ECGF} - S_{△ ABD} - S_{△ BGF}$
其中，正方形$ABCD$边长为$a$，面积为$a^2$；正方形$ECGF$边长为$b$，面积为$b^2$；
$△ ABD$是直角边为$a$的等腰直角三角形，面积为$\frac{1}{2}a^2$；
$△ BGF$的底为$a+b$，高为$b$，面积为$\frac{1}{2}b(a+b)$。
第二步：化简代数式
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}} &= a^2 + b^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}b(a+b) \\&= \frac{1}{2}a^2 + b^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2 \\&= \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}ab \\&= \frac{1}{2}(a^2 + b^2 - ab)\end{aligned}$
第三步：利用完全平方公式变形求值
由完全平方公式得：$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$
代入$a+b=20$，$ab=30$：
$a^2 + b^2 = 20^2 - 2×30 = 400 - 60 = 340$
第四步：代入计算阴影面积
$S_{\mathrm{阴影}} = \frac{1}{2}×(340 - 30) = \frac{1}{2}×310 = 155$
【答案】
155
【知识点】
完全平方公式，正方形面积计算，三角形面积计算
【点评】
本题属于代数与几何结合的典型题型，解题核心是通过割补法将不规则阴影面积转化为规则图形面积的和差，再利用整式的变形运算求解，能很好地考查学生的图形分析能力和代数式运算能力。
【难度系数】
0.6

6. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（）.

A.$(a-b)(-a+b)$
B.$(-a-b)(a+b)$
C.$(-a+b)(-b+a)$
D.$(-a+b)(-b-a)$

D

【分析】
要判断式子能否用平方差公式计算，首先要明确平方差公式的核心结构特征：两个二项式相乘时，其中一组项完全相同，另一组项互为相反数（仅符号不同）。我们只需逐一核对每个选项是否符合该特征，就能选出正确答案。
【解析】
平方差公式的标准形式为：$(m+n)(m-n)=m^2 - n^2$，判断核心是找到两个因式中的相同项和相反项。
选项A：$(a-b)(-a+b)=(a-b)[-(a-b)]=-(a-b)^2$，两组项均互为相反数，无相同项，不符合平方差公式特征，排除；
选项B：$(-a-b)(a+b)=-(a+b)(a+b)=-(a+b)^2$，两组项均互为相反数，无相同项，不符合平方差公式特征，排除；
选项C：$(-a+b)(-b+a)=(b-a)(a-b)=-(a-b)^2$，两组项均互为相反数，无相同项，不符合平方差公式特征，排除；
选项D：$(-a+b)(-b-a)=(-a + b)(-a - b)$，其中相同项为$-a$，相反项为$b$和$-b$，符合平方差公式特征，可计算为$(-a)^2 - b^2=a^2 - b^2$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；整式乘法
【点评】
本题重点考查平方差公式的结构识别，解题关键是准确区分两个因式中的相同项和相反项，注意不要和完全平方公式的结构混淆。
【难度系数】
0.7

7. 下列计算正确的是().

A.$(x+y)^2=x^2+y^2$
B.$(x-y)^2=x^2-2xy-y^2$
C.$(-x+y)^2=x^2-2xy+y^2$
D.$(-x-y)^2=x^2-2xy+y^2$

C

【分析】
这道题考查完全平方公式的应用，解题时首先明确完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，也可以用多项式乘多项式的法则将每个选项左侧的式子展开，再和右侧结果对比判断对错，逐个排查选项即可找到正确答案。
【解析】
根据完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍，即$\boldsymbol{(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2}$，逐个分析选项：
选项A：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，右侧缺少$2xy$，计算错误；
选项B：$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，右侧最后一项符号错误，计算错误；
选项C：$(-x+y)^2=(y-x)^2=y^2-2xy+x^2=x^2-2xy+y^2$，和右侧结果一致，计算正确；
选项D：$(-x-y)^2=[-(x+y)]^2=(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，右侧中间项符号错误，计算错误。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，整式乘法运算
【点评】
本题是完全平方公式的基础考查题，易错点为记错公式中中间项的符号、漏写两项乘积的2倍，若对公式记忆不熟练，也可以通过多项式乘多项式逐次展开的方式验证结果，降低错误率。
【难度系数】
0.7

8. 若$x^2 - 2(m + 1)x + 16$是完全平方式，则常数$m$的值是（）.

A.3
B.$-5$
C.3或$-5$
D.$\pm 4$

C

【分析】
要解决这个问题，首先回忆完全平方式的两种形式：两数和的平方$a^2+2ab+b^2$，以及两数差的平方$a^2-2ab+b^2$。首先确定给定多项式的首尾两项分别对应哪个数的平方，再根据中间项等于±2倍的两个底数的乘积，列出关于m的方程，最后解方程得到m的取值，注意不要漏掉任意一种符号情况。
【解析】
解：
∵$x^2 - 2(m + 1)x + 16$是完全平方式，完全平方式的形式为$a^2\pm2ab+b^2$
∴ 首项$a^2=x^2$，即$a=x$；末项$b^2=16$，即$b=\pm4$
∴ 中间项满足：$-2(m+1)x=\pm2· x·4=\pm8x$
可列两个方程：
① 当$-2(m+1)=8$时，
两边同除以$-2$得：$m+1=-4$，解得$m=-5$
② 当$-2(m+1)=-8$时，
两边同除以$-2$得：$m+1=4$，解得$m=3$
综上，常数m的值为3或$-5$。
【答案】
C
【知识点】
完全平方式、解一元一次方程
【点评】
本题是完全平方式的典型应用考题，核心易错点是容易忽略完全平方式有“和”“差”两种形式，导致漏解，解题时需要注意分类讨论两种符号情况。
【难度系数】
0.7