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12. 当光从空气中射入水中时，光的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫作光的折射. 如图，箭头方向表示光的传播方向，$∠ 1=43°$，$∠ 2=27°$，则光的传播方向改变了多少？
答案
12. 光的传播方向从FD变到FE，∠BFD=∠1=43°，∠2=27°，则∠DFE=∠BFD−∠2=43°−27°=16°，所以光的传播方向改变了16°
解析
【分析】
要计算光的传播方向改变的度数，首先明确：如果光不发生折射，会沿入射光线的直线方向（即CF的延长线FD）传播，实际折射后沿FE传播，因此传播方向改变的角度为∠DFE。首先利用对顶角相等的性质求出∠BFD的度数，再用∠BFD减去∠2的度数，即可得到传播方向改变的角度。
【解析】
解：若光不发生折射，将沿直线FD传播。
根据对顶角相等的性质，可得$∠ BFD = ∠ 1 = 43°$。
已知实际折射后传播方向为FE，$∠ 2=27°$，因此传播方向改变的角度为：
$∠ DFE = ∠ BFD - ∠ 2 = 43° - 27° = 16°$
【答案】
$16°$
【知识点】
对顶角的性质；角的和差计算
【点评】
本题结合光的折射现象考查几何基础知识，解题的关键是结合题意找准传播方向改变对应的角度差，将实际问题转化为数学中的角度计算问题，体现了不同学科知识的融合应用。
【难度系数】
0.8
要计算光的传播方向改变的度数，首先明确：如果光不发生折射，会沿入射光线的直线方向（即CF的延长线FD）传播，实际折射后沿FE传播，因此传播方向改变的角度为∠DFE。首先利用对顶角相等的性质求出∠BFD的度数，再用∠BFD减去∠2的度数，即可得到传播方向改变的角度。
【解析】
解：若光不发生折射，将沿直线FD传播。
根据对顶角相等的性质，可得$∠ BFD = ∠ 1 = 43°$。
已知实际折射后传播方向为FE，$∠ 2=27°$，因此传播方向改变的角度为：
$∠ DFE = ∠ BFD - ∠ 2 = 43° - 27° = 16°$
【答案】
$16°$
【知识点】
对顶角的性质；角的和差计算
【点评】
本题结合光的折射现象考查几何基础知识，解题的关键是结合题意找准传播方向改变对应的角度差，将实际问题转化为数学中的角度计算问题，体现了不同学科知识的融合应用。
【难度系数】
0.8
13. 小明同学认为对顶角可以这样定义：顶点公共而且相等的角叫对顶角. 你认为正确吗？如果你认为不正确，请举一个反例，并对“对顶角”正确定义.
答案
13. 不正确. 如图，∠AOB=∠COD，且其有公共的顶点O，但不是对顶角. 对顶角的定义：一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角叫作对顶角
解析
【分析】
解题时首先回忆对顶角的核心特征，再对比小明的定义判断正误：①先明确对顶角的两个必备条件：有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，对顶角一定相等，但相等且有公共顶点的角不一定是对顶角；②举反例时只需构造出满足“公共顶点、角相等”但不满足“两边互为反向延长线”的两个角即可，题中给出的图形就可作为反例；最后准确表述对顶角的正确定义即可。
【解析】
首先判断小明的定义不正确：
反例：如图中的∠AOB和∠COD，二者有公共顶点O，当∠AOB=∠COD时，满足小明给出的“顶点公共而且相等”的条件，但两个角的两边并不互为反向延长线，因此不属于对顶角，说明小明的定义错误。
对顶角的正确定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么这两个角叫作对顶角。
【答案】
不正确. 如图，∠AOB=∠COD，且其有公共的顶点O，但不是对顶角. 对顶角的定义：一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角叫作对顶角
【知识点】
对顶角的定义，概念辨析
【点评】
本题侧重考查对概念本质属性的理解，易错点是容易片面记忆对顶角的特征，仅通过“公共顶点、角相等”判断对顶角，忽略“两边互为反向延长线”的核心条件，通过本题可以帮助同学们厘清概念边界，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆对顶角的核心特征，再对比小明的定义判断正误：①先明确对顶角的两个必备条件：有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，对顶角一定相等，但相等且有公共顶点的角不一定是对顶角；②举反例时只需构造出满足“公共顶点、角相等”但不满足“两边互为反向延长线”的两个角即可，题中给出的图形就可作为反例；最后准确表述对顶角的正确定义即可。
【解析】
首先判断小明的定义不正确：
反例：如图中的∠AOB和∠COD，二者有公共顶点O，当∠AOB=∠COD时，满足小明给出的“顶点公共而且相等”的条件，但两个角的两边并不互为反向延长线，因此不属于对顶角，说明小明的定义错误。
对顶角的正确定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么这两个角叫作对顶角。
【答案】
不正确. 如图，∠AOB=∠COD，且其有公共的顶点O，但不是对顶角. 对顶角的定义：一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角叫作对顶角
【知识点】
对顶角的定义，概念辨析
【点评】
本题侧重考查对概念本质属性的理解，易错点是容易片面记忆对顶角的特征，仅通过“公共顶点、角相等”判断对顶角，忽略“两边互为反向延长线”的核心条件，通过本题可以帮助同学们厘清概念边界，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
14. 在同一平面内探索规律：
(1) 2条不同的直线相交于一点，共有多少对小于$180°$的对顶角？
(2) 3条不同的直线相交于一点，共有多少对小于$180°$的对顶角？
(3) 4条不同的直线相交于一点，共有多少对小于$180°$的对顶角？
(4) 5条不同的直线相交于一点，共有多少对小于$180°$的对顶角？
(5) 根据你探索的规律解答：$n$条不同的直线相交于一点，共有多少对小于$180°$的对顶角？
(1) 2条不同的直线相交于一点，共有多少对小于$180°$的对顶角？
(2) 3条不同的直线相交于一点，共有多少对小于$180°$的对顶角？
(3) 4条不同的直线相交于一点，共有多少对小于$180°$的对顶角？
(4) 5条不同的直线相交于一点，共有多少对小于$180°$的对顶角？
(5) 根据你探索的规律解答：$n$条不同的直线相交于一点，共有多少对小于$180°$的对顶角？
答案
14. (1) 2 (2) 6 (3) 12 (4) 20 (5) (n−1)n
解析
【分析】
解题时我们先明确核心知识点：两条直线相交会形成2对小于180°的对顶角。我们从简单的特殊情况入手，先数出2、3、4、5条直线相交于一点时的对顶角数量，再通过观察规律推导n条直线时的通用结论。思考时要抓住本质：每两条直线相交都产生2对对顶角，只需先算出n条直线中两两组合的组数，再乘2即可得到总对数，能避免直接数时出现漏数、重复数的问题。
【解析】
(1) 2条不同直线相交于一点，根据对顶角的性质，两线相交恰好形成2对小于180°的对顶角，因此共有2对。
(2) 3条不同直线相交于一点，将直线两两分组，共有3种不同的两条直线组合（直线1和2、直线1和3、直线2和3），每组对应2对对顶角，总对数为$3×2=6$对。
(3) 4条不同直线相交于一点，两两分组的组合数为$3+2+1=6$种，总对顶角对数为$6×2=12$对。
(4) 5条不同直线相交于一点，两两分组的组合数为$4+3+2+1=10$种，总对顶角对数为$10×2=20$对。
(5) n条不同直线相交于一点，两两分组的组合数为$(n-1)+(n-2)+\dots+1=\frac{n(n-1)}{2}$种，每组对应2对对顶角，因此总对数为$\frac{n(n-1)}{2}×2=n(n-1)$对。
【答案】
(1) 2；(2) 6；(3) 12；(4) 20；(5) $n(n-1)$
【知识点】
对顶角的定义；相交线性质；规律归纳探究
【点评】
本题采用从特殊到一般的探究思路，核心是抓住对顶角由两条直线相交形成的本质，通过分类计数避免计数错误，能很好地锻炼归纳推理能力和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
解题时我们先明确核心知识点：两条直线相交会形成2对小于180°的对顶角。我们从简单的特殊情况入手，先数出2、3、4、5条直线相交于一点时的对顶角数量，再通过观察规律推导n条直线时的通用结论。思考时要抓住本质：每两条直线相交都产生2对对顶角，只需先算出n条直线中两两组合的组数，再乘2即可得到总对数，能避免直接数时出现漏数、重复数的问题。
【解析】
(1) 2条不同直线相交于一点，根据对顶角的性质，两线相交恰好形成2对小于180°的对顶角，因此共有2对。
(2) 3条不同直线相交于一点，将直线两两分组，共有3种不同的两条直线组合（直线1和2、直线1和3、直线2和3），每组对应2对对顶角，总对数为$3×2=6$对。
(3) 4条不同直线相交于一点，两两分组的组合数为$3+2+1=6$种，总对顶角对数为$6×2=12$对。
(4) 5条不同直线相交于一点，两两分组的组合数为$4+3+2+1=10$种，总对顶角对数为$10×2=20$对。
(5) n条不同直线相交于一点，两两分组的组合数为$(n-1)+(n-2)+\dots+1=\frac{n(n-1)}{2}$种，每组对应2对对顶角，因此总对数为$\frac{n(n-1)}{2}×2=n(n-1)$对。
【答案】
(1) 2；(2) 6；(3) 12；(4) 20；(5) $n(n-1)$
【知识点】
对顶角的定义；相交线性质；规律归纳探究
【点评】
本题采用从特殊到一般的探究思路，核心是抓住对顶角由两条直线相交形成的本质，通过分类计数避免计数错误，能很好地锻炼归纳推理能力和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
