12. 如图，在$△ ABC$中，$AB=15\ \mathrm{cm}$，$AC=24\ \mathrm{cm}$，$∠ A=60°$，求$BC$的长.

12. 21 cm.提示：作$BE ⊥ AC$于点E

【分析】
要求BC的长度，已知三角形两边长度及夹角为60°，我们可以通过作高将斜三角形转化为直角三角形求解：首先过B作AC的垂线BE，构造两个直角三角形，先在含60°角的Rt△ABE中，利用30°角直角三角形的性质求出AE的长度，再计算BE的平方和EC的长度，最后在Rt△BEC中利用勾股定理即可求出BC的长。
【解析】
过点B作$BE ⊥ AC$于点E，$\therefore ∠ AEB = ∠ CEB = 90°$。
在$Rt△ ABE$中，$∠ A = 60°$，$\therefore ∠ ABE = 30°$，
$\therefore AE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 15 = 7.5\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$BE^2 = AB^2 - AE^2 = 15^2 - 7.5^2 = 168.75$。
$\because AC = 24\ \mathrm{cm}$，$\therefore EC = AC - AE = 24 - 7.5 = 16.5\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ BEC$中，由勾股定理得：
$BC^2 = BE^2 + EC^2 = 168.75 + 16.5^2 = 168.75 + 272.25 = 441$，
$\therefore BC = \sqrt{441} = 21\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$21\ \mathrm{cm}$
【知识点】
含30°角直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题解题核心是通过作垂线构造直角三角形，将斜三角形的边长求解问题转化为直角三角形的计算问题，需要熟练掌握特殊直角三角形的性质和勾股定理的应用，是几何边长计算的基础典型题。
【难度系数】
0.7

13. 如图,竹竿在机械槽内运动,$∠ ACB$为直角,已知竹竿$AB$长$2.5\ \mathrm{m}$,顶端$A$在$MC$上运动,量得竹竿下端$B$距点$C$的距离为$1.5\ \mathrm{m}$,当端点$B$向右移动$0.5\ \mathrm{m}$至点$D$时,竹竿顶端$A$下滑了多少米?

13. 0.5 m

【分析】
解题时首先抓住竹竿长度不变这一隐含条件，结合图形中的直角，可两次运用勾股定理计算：第一步先在初始的Rt△ABC中求出顶端A初始高度AC；第二步计算B右移后底边CD的长度，在新的Rt△ECD中求出下滑后顶端的高度CE；最后用AC减去CE即可得到A下滑的距离。
【解析】
解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=2.5m，BC=1.5m，
由勾股定理得：$AC^2=AB^2-BC^2=2.5^2-1.5^2=6.25-2.25=4$，
∴ $AC=2\ \mathrm{m}$。
当端点B向右移动0.5m至D时，$CD=CB+BD=1.5+0.5=2\ \mathrm{m}$，
竹竿长度不变，故$DE=AB=2.5\ \mathrm{m}$，
在Rt△ECD中，由勾股定理得：$CE^2=DE^2-CD^2=2.5^2-2^2=6.25-4=2.25$，
∴ $CE=1.5\ \mathrm{m}$，
则顶端A下滑的距离$AE=AC-CE=2-1.5=0.5\ \mathrm{m}$。
【答案】
0.5 m
【知识点】
勾股定理、线段和差计算
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用问题，解题核心是抓住运动过程中竹竿长度不变的特点，两次运用勾股定理求解对应线段长度，解题思路清晰，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7