14. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB = 90°$, $AC + AB = 10$, $BC = 4$, 求$AC$的长.

14. $\dfrac{21}{5}$

【分析】
本题是直角三角形边长求解问题，首先观察到△ABC为直角三角形，∠C=90°，已知直角边BC的长度，且给出AC与AB的和，可采用方程思想解题：先设AC的长为x，根据AC+AB=10表示出AB的长度，再代入勾股定理建立关于x的一元一次方程，求解方程即可得到AC的长。
【解析】
设$AC$的长为$x$，则由$AC+AB=10$可得$AB=10-x$。
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore △ ABC$是直角三角形，根据勾股定理可得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
将$AC=x$，$BC=4$，$AB=10-x$代入上式得：
$x^2 + 4^2 = (10-x)^2$
展开并整理：
$x^2 + 16 = 100 - 20x + x^2$
两边消去$x^2$，移项得：
$20x = 100 - 16$
$20x = 84$
解得$x=\frac{84}{20}=\frac{21}{5}$
【答案】
$\dfrac{21}{5}$
【知识点】
勾股定理；列方程解几何问题
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，核心是将方程思想与几何性质结合，解题时要准确利用已知的边长关系设未知数，代入勾股定理时注意完全平方公式的展开不要出错，这类题型是勾股定理应用的常见考法。
【难度系数】
0.7

15. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB=5$,$AD=12$,对角线$AC$与$BD$交于点$O$,点$E$为边$BC$上的一个动点,$EF ⊥ AC$,$EG ⊥ BD$,垂足分别为点$F$,$G$,求$EF+EG$的长.

15. $\dfrac{60}{13}$

【分析】
我们可以通过面积法求解本题：首先利用矩形性质和勾股定理求出对角线的长度，得到对角线一半的长度；再连接辅助线OE，将△OBC分割为△OBE和△OCE两个小三角形，两个小三角形的面积之和等于△OBC的面积；最后分别用底乘高表示两个小三角形的面积，结合矩形对角线相等且平分的性质，就能推导出含有EF+EG的等式，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：在矩形$ABCD$中，$∠ ABC=90°$，$BC=AD=12$，
由勾股定理得对角线$AC=BD=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$，
∵矩形对角线互相平分且相等，
∴$OB=OC=\frac{1}{2}AC=\frac{13}{2}$，
矩形$ABCD$的面积为$AB× AD=5×12=60$，
∴$△ OBC$的面积为矩形面积的$\frac{1}{4}$，即$S_{△ OBC}=60×\frac{1}{4}=15$，
连接$OE$，
∵$S_{△ OBE}+S_{△ OCE}=S_{△ OBC}$，
∴$\frac{1}{2}× OB× EG+\frac{1}{2}× OC× EF=15$，
将$OB=OC=\frac{13}{2}$代入上式：
$\frac{1}{2}×\frac{13}{2}×(EF+EG)=15$，
解得$EF+EG=\frac{15×4}{13}=\frac{60}{13}$。
【答案】
$\dfrac{60}{13}$
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，面积法求线段和
【点评】
本题是典型的动点定值问题，解题核心是利用面积法将垂线段之和与三角形面积建立联系，避免了对动点位置的复杂讨论，掌握这种解题思路可以高效处理同类型的线段和求解问题。
【难度系数】
0.6