一、填空题
1. 若等腰三角形的底边长是 8，底边上的高是 3，则该三角形的周长是$\underline{\hspace{5em}}$.

1. 18

【分析】
要求等腰三角形的周长，已知底边长，只需先求出腰长即可。根据等腰三角形“三线合一”的性质，底边上的高同时也是底边上的中线，可将原等腰三角形分成两个全等的直角三角形，直角三角形的两条直角边分别是底边的一半和底边上的高，再用勾股定理就能算出腰长，最后把三条边长度相加得到周长。
【解析】
解：
∵等腰三角形底边上的高垂直平分底边，
∴底边的一半长度为 $ 8÷2=4 $，
已知底边上的高为3，根据勾股定理，等腰三角形的腰长为：
$ \sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 $，
因此该等腰三角形的周长为 $ 5+5+8=18 $。
【答案】
18
【知识点】
等腰三角形的性质、勾股定理、周长计算
【点评】
本题是等腰三角形性质与勾股定理结合的基础应用题，解题的关键是利用等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，再通过勾股定理求出未知边长。
【难度系数】
0.8

2. 在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$∠ A = 45°$，则$BC:AC:AB = \underline{\hspace{10cm}}$.

2. $1:1:\sqrt{2}$

【分析】
首先观察题目给出的三角形是直角三角形，且有一个锐角为45°，首先根据直角三角形两锐角互余可求出另一个锐角也是45°，即可判断该三角形是等腰直角三角形，两条直角边长度相等；接下来可以设两条直角边的长度为1份，再利用勾股定理求出斜边的长度，最后化简三边的比值即可得到结果。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=45°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ A=90°-45°=45°$，
$\therefore ∠ A=∠ B$，根据等角对等边可得$BC=AC$。
设$BC=AC=a$（$a＞0$），根据勾股定理：
$AB^2=BC^2+AC^2=a^2+a^2=2a^2$，
$\therefore AB=\sqrt{2a^2}=\sqrt{2}a$，
因此$BC:AC:AB=a:a:\sqrt{2}a=1:1:\sqrt{2}$。
【答案】
$1:1:\sqrt{2}$
【知识点】
等腰直角三角形性质，勾股定理，比的化简
【点评】
本题是几何基础计算题，核心考查等腰直角三角形的边的特征，结合勾股定理即可快速求出三边比值，解题时也可直接记住等腰直角三角形三边比为$1:1:\sqrt{2}$，提高解题效率。
【难度系数】
0.9

3. 若等腰三角形的两边长分别为5和10，则底边上的高是.

3. $\frac{5\sqrt{15}}{2}$

【分析】
解决本题首先要明确等腰三角形边长的不确定性，需先分类讨论已知两边哪个为腰哪个为底，再结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）排除不符合的情况，确定三角形的三边长；之后利用等腰三角形“三线合一”的性质得到底边一半的长度，最后在直角三角形中运用勾股定理即可求出底边上的高。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若腰长为5，底边长为10：
此时三边长为5、5、10，
∵5+5=10，不满足三角形两边之和大于第三边，
∴该情况不成立，舍去；
② 若腰长为10，底边长为5：
此时三边长为10、10、5，
∵10+10＞5，10+5＞10，满足三角形三边关系，该情况成立。
根据等腰三角形三线合一的性质，底边上的高平分底边，
∴底边的一半长度为$\frac{5}{2}$。
设底边上的高为$h$，在高、腰、底边一半构成的直角三角形中，由勾股定理得：
$h=\sqrt{10^2 - (\frac{5}{2})^2}=\sqrt{100 - \frac{25}{4}}=\sqrt{\frac{375}{4}}=\frac{5\sqrt{15}}{2}$
【答案】
$\frac{5\sqrt{15}}{2}$
【知识点】
三角形三边关系；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题的易错点是忽略验证三角形三边关系，直接对两种情况进行计算，导致得出错误结果。解题时需先判断三边是否能构成三角形，再结合等腰三角形的性质和勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.7

4. 若一个直角三角形的两边长分别为 6 和 8，则该三角形的面积是.

4. 24 或 $6\sqrt{7}$

【分析】
题目仅给出直角三角形的两边长为6和8，未明确说明这两条边是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论求解：①两条边均为直角边；②较长的边8为斜边，6为直角边。分别计算两种情况下的三角形面积即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当长为6和8的边均为直角边时：
直角三角形面积 = $\frac{1}{2}$×直角边×直角边 = $\frac{1}{2}×6×8=24$。
2. 当长为8的边为斜边，长为6的边为直角边时：
根据勾股定理计算另一条直角边的长度：
另一条直角边长 = $\sqrt{8^2 - 6^2} = \sqrt{64 - 36} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$
此时三角形面积 = $\frac{1}{2}×6×2\sqrt{7}=6\sqrt{7}$
综上，该三角形的面积为24或$6\sqrt{7}$。
【答案】
24 或 $6\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理，直角三角形面积计算，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略分类讨论，直接默认6和8都是直角边计算面积，导致漏解。解题时要注意题干未明确直角边、斜边的情况下，需对已知边的身份进行分类讨论。
【难度系数】
0.6

5. 如图,某同学用边长为 4 dm 的正方形纸板制作了一副七巧板,由 5 个等腰直角三角形、1 个正方形和 1 个平行四边形组成.则图中阴影部分的面积为________$\mathrm{dm}^2$.

5. 2

【分析】
解题时首先计算边长为4dm的大正方形的总面积，再结合七巧板的构成特点分析阴影部分面积占大正方形总面积的比例，最后用总面积乘以对应比例即可得到阴影部分的面积。也可以通过将大正方形分割为若干个全等的最小等腰直角三角形，数出阴影部分包含的小三角形个数，进而计算面积。
【解析】
第一步：计算大正方形的总面积
已知正方形纸板边长为4 dm，根据正方形面积公式$S=a^2$，可得大正方形面积为：
$S_{\mathrm{总}}=4×4=16\ \mathrm{dm}^2$
第二步：分析阴影部分的面积占比
七巧板由固定比例的7块图形组成，其中阴影部分的面积占整个大正方形面积的$\frac{1}{8}$。
第三步：计算阴影面积
$S_{\mathrm{阴影}}=16×\frac{1}{8}=2\ \mathrm{dm}^2$
【答案】
2
【知识点】
正方形面积计算，图形分割与拼接，比例法求面积
【点评】
本题结合七巧板考查面积计算，解题关键是熟悉七巧板各部分的面积比例关系，也可通过直接分割大正方形数块求解，解题方法比较灵活。
【难度系数】
0.7

6. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ C = 90°$，$∠ A = 30°$，$BC = 4\ \mathrm{cm}$，则该三角形斜边上的高是（）。

A.$1\ \mathrm{cm}$
B.$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
C.$2\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$

6. D

【分析】
本题是直角三角形性质的综合应用题，解题思路如下：首先根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，求出斜边AB的长度；再利用勾股定理计算出另一条直角边AC的长度；最后根据三角形面积的两种计算方式（两条直角边乘积的一半、斜边与斜边上高乘积的一半）建立等量关系，即可求出斜边上的高。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$BC=4\ \mathrm{cm}$。
1. 求斜边长度：
$\because$ 直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，$∠ A$的对边是$BC$，
$\therefore$ 斜边$AB=2BC=2×4=8\ \mathrm{cm}$。
2. 求直角边$AC$的长度：
根据勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，代入数值可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
3. 求斜边上的高$h$：
设斜边上的高为$h$，由三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× AB× h$
两边同时乘2消去$\frac{1}{2}$，代入数值得：
$4\sqrt{3}×4=8h$
解得$h=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，勾股定理，面积法求高
【点评】
本题属于直角三角形章节的基础常考题，核心是熟练掌握特殊直角三角形的边角性质，灵活运用面积法建立等量关系求解未知线段，难度不大，易错点是勾股定理计算或面积公式应用出错。
【难度系数】
0.7

7. 已知M为$△ ABC$的一边AB上的点，$AM^2 + BM^2 + CM^2 = 2AM + 2BM + 2CM - 3$，则$AC^2 + BC^2 = (\quad)$。

A.7
B.6
C.5
D.4

7. D

【分析】
首先观察已知等式的结构，包含各线段的平方项与一次项，可优先考虑用配方法对等式变形，结合平方的非负性求出AM、BM、CM的长度；再通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数计算，即可求出$AC^2+BC^2$的值。
【解析】
1. 对已知等式移项变形：
将等式右边的项全部移到左边，得：
$AM^2 + BM^2 + CM^2 - 2AM - 2BM - 2CM + 3 = 0$
2. 分组配方：
将常数3拆分为1+1+1，凑完全平方：
$(AM^2 - 2AM + 1) + (BM^2 - 2BM + 1) + (CM^2 - 2CM + 1) = 0$
即$(AM-1)^2 + (BM-1)^2 + (CM-1)^2 = 0$
3. 利用非负数性质求线段长度：
因为平方数具有非负性，几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，因此：
$AM-1=0$，$BM-1=0$，$CM-1=0$
解得$AM=1$，$BM=1$，$CM=1$
4. 建系计算$AC^2+BC^2$：
以M为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则$A(-1,0)$，$B(1,0)$，设$C(x,y)$。
由$CM=1$，根据两点间距离公式得$CM^2=x^2+y^2=1$。
分别计算$AC^2$和$BC^2$：
$AC^2=(-1-x)^2+(0-y)^2=(x+1)^2+y^2=x^2+2x+1+y^2$
$BC^2=(1-x)^2+(0-y)^2=(x-1)^2+y^2=x^2-2x+1+y^2$
两式相加得：
$AC^2+BC^2=2x^2+2y^2+2=2(x^2+y^2)+2$
代入$x^2+y^2=1$，得$AC^2+BC^2=2×1+2=4$。
【答案】
D
【知识点】
配方法的应用，非负数的性质，两点间距离公式
【点评】
本题是代数与几何结合的综合题，核心突破口是通过配方法求出三条线段的长度，再借助数形结合的思想将几何计算转化为代数运算，能够很好地考查学生的知识迁移和综合应用能力。
【难度系数】
0.6

8. 若$△ ABC$的三边$a$，$b$，$c$满足$a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ac$，则$△ ABC$是（）.

A.等边三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形

8. A

【分析】
本题是根据三边满足的等式判断三角形形状，解题思路如下：首先观察已知等式的结构，属于关于a、b、c的对称齐次式，我们可以通过移项、配凑完全平方的方法将等式变形，再利用平方数的非负性得到三边的数量关系，进而判断三角形的类型。具体步骤为：先将等式右侧的项全部移到左侧，为了凑出完全平方公式所需的2倍乘积项，给等式两边同时乘2，再拆项分组凑成三个完全平方的和，最后根据非负数的性质推导三边关系即可。
【解析】
解：已知$a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ac$，
等式两边同时乘以2，得：
$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 2ab + 2bc + 2ac$，
将右侧所有项移到左侧，得：
$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac = 0$，
拆项分组凑完全平方：
$(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (a^2 - 2ac + c^2) = 0$，
即$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 = 0$，
∵ 平方数具有非负性，即$(a-b)^2 ≥ 0$，$(b-c)^2 ≥ 0$，$(a-c)^2 ≥ 0$，
三个非负数的和为0，则每个非负数都为0，
∴ $a-b=0$，$b-c=0$，$a-c=0$，
即$a=b$，$b=c$，$a=c$，
∴ $a=b=c$，故$△ ABC$是等边三角形，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
配方法；非负数的性质；等边三角形判定
【点评】
本题是三角形形状判定的经典题型，解题核心是对已知等式进行合理变形，通过配方法转化为完全平方和的形式，结合非负数的性质得到三边相等的结论，需熟练掌握完全平方公式的结构特点。
【难度系数】
0.7

9. 如图,在矩形ABCD中,点E为BA延长线上一点,F为CE的中点,以点B为圆心、BF长为半径的圆弧经过AD与CE的交点G,连接BG.若$AB=4$,$CE=10$,则$AG=$().

A.3.5
B.3
C.2.5
D.2

9. B

【分析】
首先结合矩形的性质可知△EBC是直角三角形，已知F是CE中点，可利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出BF的长度；再根据同圆半径相等，得到BG=BF；最后在Rt△ABG中，利用勾股定理即可求出AG的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，即△EBC为直角三角形，△ABG为直角三角形。
∵F是Rt△EBC斜边CE的中点，
∴BF是Rt△EBC的斜边中线，根据直角三角形斜边中线性质，可得$BF=\frac{1}{2}CE$。
已知$CE=10$，代入得$BF=\frac{1}{2}×10=5$。
由题意可知，BG和BF都是以B为圆心的圆弧的半径，因此$BG=BF=5$。
在$Rt△ ABG$中，$AB=4$，$BG=5$，根据勾股定理$AG=\sqrt{BG^2-AB^2}$，
代入数值计算得$AG=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；直角三角形斜边中线的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础综合题，解题的关键是通过直角三角形斜边中线性质和同圆半径相等得到BG的长度，再结合勾股定理求解，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7