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10. 在正方形ABCD中,点E, F, G, H分别在AB, BC, CD, DA上,且$AE = BF = CG = DH = \frac{1}{3}AB$,则$S_{\mathrm{四边形}EFGH}:S_{\mathrm{四边形}ABCD}$的值为(
A.$\frac{5}{7}$
B.$\frac{5}{8}$
C.$\frac{5}{9}$
D.$\frac{1}{3}$
C
).A.$\frac{5}{7}$
B.$\frac{5}{8}$
C.$\frac{5}{9}$
D.$\frac{1}{3}$
答案
10. C
解析
【分析】
要计算两个四边形的面积比，可利用比值与边长取值无关的特点，设特殊边长简化计算。首先结合正方形四条边相等、四个角为直角的性质，根据已知线段相等关系证明四个角上的直角三角形全等，再用割补法，用大正方形面积减去四个全等直角三角形的总面积，即可得到中间四边形EFGH的面积，最后计算比值即可。
【解析】
设正方形ABCD的边长$AB=3$，则正方形ABCD的面积$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=3×3=9$。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AB=BC=CD=DA=3$，$∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=90°$，
∵$AE=BF=CG=DH=\frac{1}{3}AB=1$，
∴$BE=CF=DG=AH=3-1=2$。
在$△ AEH$和$△ BFE$中：
$\begin{cases}AE=BF\\∠ A=∠ B\\AH=BE\end{cases}$
∴$△ AEH≌△ BFE(\mathrm{SAS})$，同理可证$△ BFE≌△ CGF≌△ DHG$，
∴四个直角三角形面积相等，单个三角形面积为$\frac{1}{2}× AE× AH=\frac{1}{2}×1×2=1$，四个三角形总面积为$4×1=4$，
∴$S_{\mathrm{四边形}EFGH}=S_{\mathrm{四边形}ABCD}-4S_{△ AEH}=9-4=5$，
∴$S_{\mathrm{四边形}EFGH}:S_{\mathrm{四边形}ABCD}=\frac{5}{9}$。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，全等三角形判定，割补法求面积
【点评】
本题是几何面积比计算的常见题型，通过设特殊边长大幅简化计算过程，解题的核心是熟练运用正方形性质和全等三角形判定方法，掌握割补法间接求不规则图形面积的思路。
【难度系数】
0.7
要计算两个四边形的面积比，可利用比值与边长取值无关的特点，设特殊边长简化计算。首先结合正方形四条边相等、四个角为直角的性质，根据已知线段相等关系证明四个角上的直角三角形全等，再用割补法，用大正方形面积减去四个全等直角三角形的总面积，即可得到中间四边形EFGH的面积，最后计算比值即可。
【解析】
设正方形ABCD的边长$AB=3$，则正方形ABCD的面积$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=3×3=9$。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AB=BC=CD=DA=3$，$∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=90°$，
∵$AE=BF=CG=DH=\frac{1}{3}AB=1$，
∴$BE=CF=DG=AH=3-1=2$。
在$△ AEH$和$△ BFE$中：
$\begin{cases}AE=BF\\∠ A=∠ B\\AH=BE\end{cases}$
∴$△ AEH≌△ BFE(\mathrm{SAS})$，同理可证$△ BFE≌△ CGF≌△ DHG$，
∴四个直角三角形面积相等，单个三角形面积为$\frac{1}{2}× AE× AH=\frac{1}{2}×1×2=1$，四个三角形总面积为$4×1=4$，
∴$S_{\mathrm{四边形}EFGH}=S_{\mathrm{四边形}ABCD}-4S_{△ AEH}=9-4=5$，
∴$S_{\mathrm{四边形}EFGH}:S_{\mathrm{四边形}ABCD}=\frac{5}{9}$。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，全等三角形判定，割补法求面积
【点评】
本题是几何面积比计算的常见题型，通过设特殊边长大幅简化计算过程，解题的核心是熟练运用正方形性质和全等三角形判定方法，掌握割补法间接求不规则图形面积的思路。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 如图,在一次夏令营活动中,小明从营地A出发,沿北偏东$60^{\circ }$方向走了$500\sqrt {3}$m到达B处,然后再沿北偏西$30^{\circ }$方向走了500 m到达目的地C.
(1) 求A,C两地之间的距离;
(2) 确定目的地C在营地A的什么方向.
11. 如图,在一次夏令营活动中,小明从营地A出发,沿北偏东$60^{\circ }$方向走了$500\sqrt {3}$m到达B处,然后再沿北偏西$30^{\circ }$方向走了500 m到达目的地C.
(1) 求A,C两地之间的距离;
(2) 确定目的地C在营地A的什么方向.
答案
11. (1) 1 000 m (2) 目的地C在营地A的北偏东$30°$方向上
解析
【分析】
解题时先结合方向角的特征，由于A、B两点的正北方向互相平行，可先计算出∠ABC的度数，判断△ABC为直角三角形；再利用勾股定理，结合已知AB、BC的长度即可求出AC的距离；第二问先根据直角三角形的边角关系求出∠CAB的度数，再结合A点的方向基准即可确定C相对于A的方向。
【解析】
(1) 过点A的正北方向线与过点B的正北方向线互相平行，根据平行线同旁内角互补可得：
∠DAB + ∠ABE = 180°（D为A正北方向线上的点，E为B正北方向线上的点）
已知∠DAB=60°，∠EBC=30°，因此：
$∠ ABC = 180° - ∠ DAB - ∠ EBC = 180° - 60° - 30° = 90°$
即△ABC是直角三角形，$∠ ABC=90°$。
根据勾股定理：$AC^2 = AB^2 + BC^2$
代入$AB=500\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，$BC=500\ \mathrm{m}$，得：
$AC^2=(500\sqrt{3})^2 + 500^2 = 750000 + 250000 = 1000000$
因此$AC=\sqrt{1000000}=1000\ \mathrm{m}$。
(2) 在Rt△ABC中，$BC=500\ \mathrm{m}$，$AC=1000\ \mathrm{m}$，可得$BC=\frac{1}{2}AC$。
根据直角三角形的性质：直角三角形中若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角为30°，因此$∠ CAB=30°$。
已知AB在A点的北偏东60°方向，因此C相对于A的方向为北偏东$60°-30°=30°$。
【答案】
(1) $1000\ \mathrm{m}$；(2) 目的地C在营地A的北偏东$30°$方向上
【知识点】
方向角的应用，勾股定理，直角三角形的性质
【点评】
本题结合实际场景考查几何知识的应用，解题核心是将实际方向问题转化为直角三角形的边角计算问题，属于基础应用题，能够很好地考查学生对基础几何知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先结合方向角的特征，由于A、B两点的正北方向互相平行，可先计算出∠ABC的度数，判断△ABC为直角三角形；再利用勾股定理，结合已知AB、BC的长度即可求出AC的距离；第二问先根据直角三角形的边角关系求出∠CAB的度数，再结合A点的方向基准即可确定C相对于A的方向。
【解析】
(1) 过点A的正北方向线与过点B的正北方向线互相平行，根据平行线同旁内角互补可得：
∠DAB + ∠ABE = 180°（D为A正北方向线上的点，E为B正北方向线上的点）
已知∠DAB=60°，∠EBC=30°，因此：
$∠ ABC = 180° - ∠ DAB - ∠ EBC = 180° - 60° - 30° = 90°$
即△ABC是直角三角形，$∠ ABC=90°$。
根据勾股定理：$AC^2 = AB^2 + BC^2$
代入$AB=500\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，$BC=500\ \mathrm{m}$，得：
$AC^2=(500\sqrt{3})^2 + 500^2 = 750000 + 250000 = 1000000$
因此$AC=\sqrt{1000000}=1000\ \mathrm{m}$。
(2) 在Rt△ABC中，$BC=500\ \mathrm{m}$，$AC=1000\ \mathrm{m}$，可得$BC=\frac{1}{2}AC$。
根据直角三角形的性质：直角三角形中若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角为30°，因此$∠ CAB=30°$。
已知AB在A点的北偏东60°方向，因此C相对于A的方向为北偏东$60°-30°=30°$。
【答案】
(1) $1000\ \mathrm{m}$；(2) 目的地C在营地A的北偏东$30°$方向上
【知识点】
方向角的应用，勾股定理，直角三角形的性质
【点评】
本题结合实际场景考查几何知识的应用，解题核心是将实际方向问题转化为直角三角形的边角计算问题，属于基础应用题，能够很好地考查学生对基础几何知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.7
