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12. 如图,折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在边BC上的点F处,已知$AB=8\ \mathrm{cm}$,$BC=10\ \mathrm{cm}$,求EC的长.
答案
12. 3 cm
解析
【分析】
解题时先结合折叠性质和矩形性质梳理等量关系：首先折叠前后对应边、对应角相等，可得$AD=AF$，$DE=EF$，$∠ AFE=∠ D=90°$；再由矩形性质可知对边相等、四个角都是直角，即$AD=BC=10\mathrm{cm}$，$AB=CD=8\mathrm{cm}$，$∠ B=∠ C=90°$。第一步先在$\mathrm{Rt}△ ABF$中用勾股定理求出$BF$的长度，进而得到$FC$的长度；第二步设$EC$长为$x$，把$EF$用含$x$的式子表示，最后在$\mathrm{Rt}△ EFC$中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AD=BC=10\mathrm{cm}$，$CD=AB=8\mathrm{cm}$，$∠ B=∠ C=∠ D=90°$，
由折叠的性质可得：$AF=AD=10\mathrm{cm}$，$EF=DE$，$∠ AFE=∠ D=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6\mathrm{cm}$，
$\therefore FC=BC-BF=10-6=4\mathrm{cm}$，
设$EC=x\mathrm{cm}$，则$EF=DE=CD-EC=(8-x)\mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ EFC$中，由勾股定理得：
$EC^2+FC^2=EF^2$，
即$x^2+4^2=(8-x)^2$，
展开化简得：$16x=48$，
解得$x=3$。
【答案】
3 cm
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题型，核心是通过折叠性质找到相等线段，将未知量转化到同一个直角三角形中，结合勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
解题时先结合折叠性质和矩形性质梳理等量关系：首先折叠前后对应边、对应角相等，可得$AD=AF$，$DE=EF$，$∠ AFE=∠ D=90°$；再由矩形性质可知对边相等、四个角都是直角，即$AD=BC=10\mathrm{cm}$，$AB=CD=8\mathrm{cm}$，$∠ B=∠ C=90°$。第一步先在$\mathrm{Rt}△ ABF$中用勾股定理求出$BF$的长度，进而得到$FC$的长度；第二步设$EC$长为$x$，把$EF$用含$x$的式子表示，最后在$\mathrm{Rt}△ EFC$中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AD=BC=10\mathrm{cm}$，$CD=AB=8\mathrm{cm}$，$∠ B=∠ C=∠ D=90°$，
由折叠的性质可得：$AF=AD=10\mathrm{cm}$，$EF=DE$，$∠ AFE=∠ D=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6\mathrm{cm}$，
$\therefore FC=BC-BF=10-6=4\mathrm{cm}$，
设$EC=x\mathrm{cm}$，则$EF=DE=CD-EC=(8-x)\mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ EFC$中，由勾股定理得：
$EC^2+FC^2=EF^2$，
即$x^2+4^2=(8-x)^2$，
展开化简得：$16x=48$，
解得$x=3$。
【答案】
3 cm
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题型，核心是通过折叠性质找到相等线段，将未知量转化到同一个直角三角形中，结合勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
13. 用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的.观察图形，你能验证$c^2 = a^2 + b^2$吗？把你的验证过程写下来，并与同伴进行交流.
答案
13. 由图可知,中间小正方形的边长为$b-a$,则大正方形的面积为$\frac{1}{2}ab×4+(b-a)^2=a^2+b^2$.同时大正方形的边长为$c$,面积为$c^2$.利用等积性,得$c^2=a^2+b^2$
解析
【分析】
要验证$c^2=a^2+b^2$，可采用等面积法：同一个图形的面积用两种不同的方式表达，所得结果相等。首先观察图形，大正方形的面积既可以直接用边长$c$计算，也可以拆分为4个全等直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，将两种面积表达式联立化简，即可得到结论。首先先确定各部分边长：直角三角形的直角边为$a$、$b$，斜边为$c$，中间小正方形的边长为长直角边减短直角边，即$b-a$。
【解析】
解：大正方形的边长为$c$，因此大正方形的面积可表示为：$S_{\mathrm{大正方形}}=c^2$。
同时，大正方形的面积等于4个全等直角三角形的面积加上中间小正方形的面积：
每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，4个直角三角形的面积和为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$；
中间小正方形的边长为$b-a$，因此小正方形的面积为$(b-a)^2$；
因此大正方形的面积也可表示为：$S_{\mathrm{大正方形}}=2ab+(b-a)^2$。
展开并化简该式：
$2ab+(b-a)^2=2ab+b^2-2ab+a^2=a^2+b^2$
因为两种方式表示的是同一个大正方形的面积，因此二者相等，即$c^2=a^2+b^2$。
【答案】
验证过程如下：由图可知，中间小正方形的边长为$b-a$，则大正方形的面积为$\frac{1}{2}ab×4+(b-a)^2=a^2+b^2$。同时大正方形的边长为$c$，面积为$c^2$。利用等积性，得$c^2=a^2+b^2$。
【知识点】
等面积法，勾股定理，完全平方公式
【点评】
本题是赵爽弦图验证勾股定理的经典题型，通过数形结合的思想，将代数运算和几何图形面积结合，直观推导勾股定理，能够帮助理解勾股定理的几何意义，是勾股定理相关的基础典型题。
【难度系数】
0.75
要验证$c^2=a^2+b^2$，可采用等面积法：同一个图形的面积用两种不同的方式表达，所得结果相等。首先观察图形，大正方形的面积既可以直接用边长$c$计算，也可以拆分为4个全等直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，将两种面积表达式联立化简，即可得到结论。首先先确定各部分边长：直角三角形的直角边为$a$、$b$，斜边为$c$，中间小正方形的边长为长直角边减短直角边，即$b-a$。
【解析】
解：大正方形的边长为$c$，因此大正方形的面积可表示为：$S_{\mathrm{大正方形}}=c^2$。
同时，大正方形的面积等于4个全等直角三角形的面积加上中间小正方形的面积：
每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，4个直角三角形的面积和为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$；
中间小正方形的边长为$b-a$，因此小正方形的面积为$(b-a)^2$；
因此大正方形的面积也可表示为：$S_{\mathrm{大正方形}}=2ab+(b-a)^2$。
展开并化简该式：
$2ab+(b-a)^2=2ab+b^2-2ab+a^2=a^2+b^2$
因为两种方式表示的是同一个大正方形的面积，因此二者相等，即$c^2=a^2+b^2$。
【答案】
验证过程如下：由图可知，中间小正方形的边长为$b-a$，则大正方形的面积为$\frac{1}{2}ab×4+(b-a)^2=a^2+b^2$。同时大正方形的边长为$c$，面积为$c^2$。利用等积性，得$c^2=a^2+b^2$。
【知识点】
等面积法，勾股定理，完全平方公式
【点评】
本题是赵爽弦图验证勾股定理的经典题型，通过数形结合的思想，将代数运算和几何图形面积结合，直观推导勾股定理，能够帮助理解勾股定理的几何意义，是勾股定理相关的基础典型题。
【难度系数】
0.75
