14. 如图,圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm,底面周长为16 cm,在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜,此时,一只蚂蚁正好在杯外壁上,它在离杯上沿1 cm的点B处,求蚂蚁从外壁点B处到内壁点A处所走的最短路程.(杯壁厚度不计)

14. 10 cm

【分析】
解决立体图形表面的最短路径问题，核心思路是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”确定最短路径，再结合勾股定理计算长度。第一步：把圆柱侧面展开成长方形，长方形的长等于圆柱底面周长，宽等于杯高；第二步：由于蚂蚁在杯外壁、蜂蜜在杯内壁，蚂蚁必须经过杯上沿才能进入内壁，因此作点B关于杯上沿的对称点B'，此时B到上沿任意点再到A的路程，等价于B'到该点再到A的路程，最短路径就是线段B'A的长度；第三步：确定B'和A的水平、竖直距离，用勾股定理计算即可。
【解析】
解：将圆柱侧面沿过点B的母线展开，得到长为16cm、高为9cm的长方形。
作点B关于长方形上边（对应杯的上沿）的对称点B'，连接B'A，线段B'A的长度即为蚂蚁行走的最短路程。
由题意可得：
水平方向上，A、B的水平距离为底面半周长：$16÷2=8\ \mathrm{cm}$；
竖直方向上，B'到A的竖直距离为：$1+(9-4)=6\ \mathrm{cm}$；
根据勾股定理，得：
$B'A=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$
【答案】
10 cm
【知识点】
最短路径问题，圆柱侧面展开图，勾股定理
【点评】
本题是平面几何知识在立体问题中的典型应用，解题关键是掌握立体图形侧面展开的方法，通过轴对称将折线路径转化为直线路径，再结合勾股定理求解。
【难度系数】
0.6

15. 如图,湖的两岸有 A, B 两点,在与 AB 成直角的 BC 方向上的点 C 处测得 $AC=60 \mathrm{~m}$, $BC=48 \mathrm{~m}$. 求:
(1) A, B 两点间的距离;
(2) 点 B 到直线 AC 的距离.

15. (1) 36 m (2) $\frac{144}{5}$ m

【分析】
本题是直角三角形的实际应用问题。(1)首先由题意可知AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，已知斜边AC和直角边BC的长度，要求直角边AB，直接运用勾股定理计算即可；(2)求点B到直线AC的距离，即求Rt△ABC斜边AC上的高，可利用三角形面积的两种不同计算方式（分别以两条直角边为底和高、以斜边和斜边上的高为底和高）列等式求解，也就是常用的面积法。
【解析】
(1) 由题意得∠ABC=90°，即△ABC为直角三角形。
在Rt△ABC中，AC=60m，BC=48m，根据勾股定理：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
代入数值计算：
$AB=\sqrt{AC^2 - BC^2}=\sqrt{60^2 - 48^2}=\sqrt{3600 - 2304}=\sqrt{1296}=36(\mathrm{m})$
(2) 设点B到直线AC的距离为$h$。
△ABC的面积可表示为$\frac{1}{2} × AB × BC$，也可表示为$\frac{1}{2} × AC × h$，因此：
$\frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × AC × h$
约去$\frac{1}{2}$，代入数值：
$36 × 48 = 60h$
解得：$h=\frac{36 × 48}{60}=\frac{1728}{60}=\frac{144}{5}(\mathrm{m})$
【答案】
(1) 36 m；(2) $\frac{144}{5}$ m
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；点到直线的距离
【点评】
本题结合实际场景考查直角三角形的相关计算，第一问是勾股定理的直接应用，第二问使用的面积法是求解直角三角形斜边上高的常用方法，计算难度不大，熟练掌握相关公式和方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7