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1. 若n边形的内角和为$1260°$,则从一个顶点出发引出的对角线条数是
6条
.答案
1. 6条
解析
【分析】
解题时首先要明确两步：第一步，利用n边形内角和公式列方程求出多边形的边数n；第二步，根据从n边形一个顶点出发引对角线的规律计算对角线条数。n边形内角和固定为$(n-2)×180°$，而从一个顶点出发时，不能向自身以及相邻的2个顶点引对角线，因此对角线条数为$n-3$，按这个思路逐步计算即可。
【解析】
首先根据多边形内角和公式列方程：
$\because$ n边形内角和为$(n-2)×180°$，已知内角和为$1260°$
$\therefore$ $(n-2)×180°=1260°$
等式两边同时除以$180°$得：$n-2=7$
解得：$n=9$
再计算从一个顶点出发的对角线条数：
从n边形一个顶点引出的对角线条数为$n-3$
将$n=9$代入得：$9-3=6$（条）
【答案】
6条
【知识点】
多边形内角和公式；多边形对角线条数计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是对多边形相关基础公式的考查，只要熟练掌握内角和公式以及对角线条数和边数的对应关系，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确两步：第一步，利用n边形内角和公式列方程求出多边形的边数n；第二步，根据从n边形一个顶点出发引对角线的规律计算对角线条数。n边形内角和固定为$(n-2)×180°$，而从一个顶点出发时，不能向自身以及相邻的2个顶点引对角线，因此对角线条数为$n-3$，按这个思路逐步计算即可。
【解析】
首先根据多边形内角和公式列方程：
$\because$ n边形内角和为$(n-2)×180°$，已知内角和为$1260°$
$\therefore$ $(n-2)×180°=1260°$
等式两边同时除以$180°$得：$n-2=7$
解得：$n=9$
再计算从一个顶点出发的对角线条数：
从n边形一个顶点引出的对角线条数为$n-3$
将$n=9$代入得：$9-3=6$（条）
【答案】
6条
【知识点】
多边形内角和公式；多边形对角线条数计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是对多边形相关基础公式的考查，只要熟练掌握内角和公式以及对角线条数和边数的对应关系，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
2. 若一个多边形的每一个外角都是$40°$，则这个多边形的内角和是
1260°
.答案
2. 1260°
解析
【分析】
解题思路分为两步：首先，任意多边形的外角和是固定值360°，已知该多边形每个外角的度数，用外角和除以单个外角的度数就能求出多边形的边数；其次，得到边数后，代入多边形内角和公式即可算出内角和。
【解析】
解：
∵任意多边形的外角和恒为$360°$，该多边形每一个外角都是$40°$
∴多边形的边数$n=360°÷40°=9$
根据多边形内角和公式：$\mathrm{内角和}=(n-2)×180°$
将$n=9$代入公式得：$\mathrm{内角和}=(9-2)×180°=7×180°=1260°$
【答案】
$1260°$
【知识点】
多边形外角和定理；多边形内角和公式
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是牢记多边形外角和恒为360°的性质，熟练掌握内角和计算公式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：首先，任意多边形的外角和是固定值360°，已知该多边形每个外角的度数，用外角和除以单个外角的度数就能求出多边形的边数；其次，得到边数后，代入多边形内角和公式即可算出内角和。
【解析】
解：
∵任意多边形的外角和恒为$360°$，该多边形每一个外角都是$40°$
∴多边形的边数$n=360°÷40°=9$
根据多边形内角和公式：$\mathrm{内角和}=(n-2)×180°$
将$n=9$代入公式得：$\mathrm{内角和}=(9-2)×180°=7×180°=1260°$
【答案】
$1260°$
【知识点】
多边形外角和定理；多边形内角和公式
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是牢记多边形外角和恒为360°的性质，熟练掌握内角和计算公式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
3. 如图，$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E + ∠ F$ 的度数为________。
答案
3. 360°
解析
【分析】
求解多个分散角的和时，我们可以利用三角形外角的性质，将不在同一多边形内的角转化到同一个四边形中，再结合四边形内角和公式计算即可。首先回忆三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，我们可以将∠A和∠E合并为一个外角，∠B和∠F合并为另一个外角，此时这两个外角与∠C、∠D共同构成四边形的四个内角，代入四边形内角和公式就能得到六个角的总和。
【解析】
解：根据三角形外角的性质可得：
$∠ A + ∠ E$等于对应三角形的一个外角，$∠ B + ∠ F$等于对应三角形的另一个外角，这两个外角与$∠ C$、$∠ D$恰好是一个四边形的四个内角。
已知四边形内角和为$(4-2)×180°=360°$，因此：
$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E + ∠ F = (∠ A + ∠ E) + (∠ B + ∠ F) + ∠ C + ∠ D = 360°$
【答案】
$360°$
【知识点】
三角形外角性质，多边形内角和
【点评】
本题是角度求和的典型题型，解题核心是通过外角性质将分散的角整合到同一个多边形中，利用已知的多边形内角和公式快速求解，需要熟练掌握角度转化的技巧。
【难度系数】
0.7
求解多个分散角的和时，我们可以利用三角形外角的性质，将不在同一多边形内的角转化到同一个四边形中，再结合四边形内角和公式计算即可。首先回忆三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，我们可以将∠A和∠E合并为一个外角，∠B和∠F合并为另一个外角，此时这两个外角与∠C、∠D共同构成四边形的四个内角，代入四边形内角和公式就能得到六个角的总和。
【解析】
解：根据三角形外角的性质可得：
$∠ A + ∠ E$等于对应三角形的一个外角，$∠ B + ∠ F$等于对应三角形的另一个外角，这两个外角与$∠ C$、$∠ D$恰好是一个四边形的四个内角。
已知四边形内角和为$(4-2)×180°=360°$，因此：
$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E + ∠ F = (∠ A + ∠ E) + (∠ B + ∠ F) + ∠ C + ∠ D = 360°$
【答案】
$360°$
【知识点】
三角形外角性质，多边形内角和
【点评】
本题是角度求和的典型题型，解题核心是通过外角性质将分散的角整合到同一个多边形中，利用已知的多边形内角和公式快速求解，需要熟练掌握角度转化的技巧。
【难度系数】
0.7
4. 在$□ ABCD$中，若$∠ A - ∠ B = 60°$，则$∠ A =$ ______，$∠ B =$ ______；若$∠ A + ∠ C = 120°$，则$∠ A =$ ______，$∠ B =$ ______。
答案
4. 120° 60° 60° 120°
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形关于角的性质：1. 平行四边形邻角互补；2. 平行四边形对角相等。第一组条件给出∠A与∠B的差，结合邻角和为180°，可通过联立两个等量关系求出两个角的度数；第二组条件给出∠A与∠C的和，结合对角相等先求出∠A的度数，再利用邻角互补求出∠B的度数即可。
【解析】
解：在平行四边形ABCD中：
1. 已知$∠ A - ∠ B = 60°$，
因为平行四边形邻角互补，所以$∠ A + ∠ B = 180°$，
将两个等式相加得：$2∠ A = 240°$，解得$∠ A = 120°$，
代入$∠ A + ∠ B = 180°$，得$∠ B = 180° - 120° = 60°$。
2. 已知$∠ A + ∠ C = 120°$，
因为平行四边形对角相等，所以$∠ A = ∠ C$，
因此$2∠ A = 120°$，解得$∠ A = 60°$，
又因为平行四边形邻角互补，所以$∠ B = 180° - ∠ A = 180° - 60° = 120°$。
【答案】
$120°$；$60°$；$60°$；$120°$
【知识点】
平行四边形邻角互补；平行四边形对角相等
【点评】
本题是平行四边形角的性质的基础应用题目，只要熟练掌握平行四边形角的相关性质，结合已知条件建立简单的等量关系就能快速求解，是对基础知识点掌握情况的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平行四边形关于角的性质：1. 平行四边形邻角互补；2. 平行四边形对角相等。第一组条件给出∠A与∠B的差，结合邻角和为180°，可通过联立两个等量关系求出两个角的度数；第二组条件给出∠A与∠C的和，结合对角相等先求出∠A的度数，再利用邻角互补求出∠B的度数即可。
【解析】
解：在平行四边形ABCD中：
1. 已知$∠ A - ∠ B = 60°$，
因为平行四边形邻角互补，所以$∠ A + ∠ B = 180°$，
将两个等式相加得：$2∠ A = 240°$，解得$∠ A = 120°$，
代入$∠ A + ∠ B = 180°$，得$∠ B = 180° - 120° = 60°$。
2. 已知$∠ A + ∠ C = 120°$，
因为平行四边形对角相等，所以$∠ A = ∠ C$，
因此$2∠ A = 120°$，解得$∠ A = 60°$，
又因为平行四边形邻角互补，所以$∠ B = 180° - ∠ A = 180° - 60° = 120°$。
【答案】
$120°$；$60°$；$60°$；$120°$
【知识点】
平行四边形邻角互补；平行四边形对角相等
【点评】
本题是平行四边形角的性质的基础应用题目，只要熟练掌握平行四边形角的相关性质，结合已知条件建立简单的等量关系就能快速求解，是对基础知识点掌握情况的考查。
【难度系数】
0.8
5. 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C=90°$, $AC=5$, $BC=12$, $N$ 是边 $BC$ 上一点, $M$ 为边 $AB$ 上的动点, $D$, $E$ 分别为 $CN$, $MN$ 的中点, 则 $DE$ 的最小值是________.
答案
5. $\dfrac{30}{13}$
解析
【分析】
首先根据D、E分别为CN、MN的中点，可联想到三角形中位线定理，得到DE与CM的数量关系：$DE=\frac{1}{2}CM$，因此求DE的最小值可转化为求CM的最小值；再根据点到直线的所有线段中，垂线段最短，可知当$CM⊥ AB$时，CM的长度最小，最后利用勾股定理求出AB的长度，结合面积法求出AB边上的高即可得到DE的最小值。
【解析】
连接CM，
∵ D是CN的中点，E是MN的中点，
∴ DE是$△ CMN$的中位线，根据三角形中位线定理可得：$DE=\frac{1}{2}CM$，
因此要使DE最小，只需CM最小即可。
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=5$，$BC=12$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$。
根据“点到直线的线段中，垂线段最短”，当$CM⊥ AB$时，CM的长度最小，此时CM为AB边上的高。
由三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CM$，
代入数值：$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×13× CM$，
解得：$CM=\frac{60}{13}$。
∴ $DE$的最小值为$\frac{1}{2}×\frac{60}{13}=\frac{30}{13}$。
【答案】
$\dfrac{30}{13}$
【知识点】
三角形中位线定理，垂线段最短，勾股定理
【点评】
本题属于几何最值类问题，核心是利用中位线定理将未知线段的最值转化为点到直线的垂线段长度求解，融合了勾股定理、面积法求高的知识点，体现了转化思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.6
首先根据D、E分别为CN、MN的中点，可联想到三角形中位线定理，得到DE与CM的数量关系：$DE=\frac{1}{2}CM$，因此求DE的最小值可转化为求CM的最小值；再根据点到直线的所有线段中，垂线段最短，可知当$CM⊥ AB$时，CM的长度最小，最后利用勾股定理求出AB的长度，结合面积法求出AB边上的高即可得到DE的最小值。
【解析】
连接CM，
∵ D是CN的中点，E是MN的中点，
∴ DE是$△ CMN$的中位线，根据三角形中位线定理可得：$DE=\frac{1}{2}CM$，
因此要使DE最小，只需CM最小即可。
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=5$，$BC=12$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$。
根据“点到直线的线段中，垂线段最短”，当$CM⊥ AB$时，CM的长度最小，此时CM为AB边上的高。
由三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CM$，
代入数值：$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×13× CM$，
解得：$CM=\frac{60}{13}$。
∴ $DE$的最小值为$\frac{1}{2}×\frac{60}{13}=\frac{30}{13}$。
【答案】
$\dfrac{30}{13}$
【知识点】
三角形中位线定理，垂线段最短，勾股定理
【点评】
本题属于几何最值类问题，核心是利用中位线定理将未知线段的最值转化为点到直线的垂线段长度求解，融合了勾股定理、面积法求高的知识点，体现了转化思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.6
6. 下列可以作为一个多边形的内角和的度数是(
A.$2080°$
B.$1240°$
C.$1980°$
D.$1600°$
C
).A.$2080°$
B.$1240°$
C.$1980°$
D.$1600°$
答案
6. C
解析
【分析】
要判断哪个度数可以作为多边形内角和，首先回忆多边形内角和公式：n边形（n≥3，n为整数）的内角和为$(n-2)×180°$，由此可知多边形的内角和一定是180°的整数倍，因此只需逐一验证各选项是否能被180整除即可，能整除的就是正确答案。
【解析】
根据多边形内角和公式：n边形（n为大于等于3的整数）的内角和为$\boldsymbol{(n-2)×180°}$，因此多边形内角和的度数一定是180°的整数倍。
对各选项逐一验证：
A. $2080°÷180°\approx11.56$，不是整数，不符合要求；
B. $1240°÷180°\approx6.89$，不是整数，不符合要求；
C. $1980°÷180°=11$，是整数，此时$n-2=11$，解得$n=13$，符合多边形边数的要求；
D. $1600°÷180°\approx8.89$，不是整数，不符合要求。
因此只有1980°可以作为多边形的内角和。
【答案】
C
【知识点】
多边形内角和公式
【点评】
本题是对多边形内角和公式的基础应用考查，解题关键是抓住“多边形内角和是180°的整数倍”这一特征，无需复杂计算即可快速排除错误选项，熟练掌握公式的隐含特征能提升解题效率。
【难度系数】
0.8
要判断哪个度数可以作为多边形内角和，首先回忆多边形内角和公式：n边形（n≥3，n为整数）的内角和为$(n-2)×180°$，由此可知多边形的内角和一定是180°的整数倍，因此只需逐一验证各选项是否能被180整除即可，能整除的就是正确答案。
【解析】
根据多边形内角和公式：n边形（n为大于等于3的整数）的内角和为$\boldsymbol{(n-2)×180°}$，因此多边形内角和的度数一定是180°的整数倍。
对各选项逐一验证：
A. $2080°÷180°\approx11.56$，不是整数，不符合要求；
B. $1240°÷180°\approx6.89$，不是整数，不符合要求；
C. $1980°÷180°=11$，是整数，此时$n-2=11$，解得$n=13$，符合多边形边数的要求；
D. $1600°÷180°\approx8.89$，不是整数，不符合要求。
因此只有1980°可以作为多边形的内角和。
【答案】
C
【知识点】
多边形内角和公式
【点评】
本题是对多边形内角和公式的基础应用考查，解题关键是抓住“多边形内角和是180°的整数倍”这一特征，无需复杂计算即可快速排除错误选项，熟练掌握公式的隐含特征能提升解题效率。
【难度系数】
0.8
7. 把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个四边形，则原多边形纸片的边数不可能是（
A.3
B.4
C.5
D.6
D
）。A.3
B.4
C.5
D.6
答案
7. D
解析
【分析】
解题时我们可以通过分类讨论不同的截线位置，判断截去一个三角形后得到四边形时原多边形的可能边数。我们需要考虑截下三角形的三种常见截法：①截线经过原多边形两条相邻边（均不经过顶点）；②截线经过原多边形1个顶点和1条边（非顶点处）；③截线经过原多边形2个相邻顶点。分别对应原多边形边数与所得四边形边数的关系，即可排除不可能的选项。
【解析】
我们分情况验证各选项：
1. 原多边形为3边（三角形）：沿不经过任意顶点的直线截去一个小三角形，截下的部分是三角形，剩余图形为四边形，符合要求，故A选项可能；
2. 原多边形为4边（四边形）：沿经过1个顶点和该顶点对边上某非顶点位置的直线截去一个三角形，剩余图形仍为四边形，符合要求，故B选项可能；
3. 原多边形为5边（五边形）：沿经过2个相邻顶点的直线截去一个三角形，剩余图形为四边形，符合要求，故C选项可能；
4. 原多边形为6边（六边形）：无论选择哪种截法截去一个三角形，剩余图形的边数最少为5，不可能得到四边形，故D选项不可能。
【答案】
D
【知识点】
多边形截角规律，多边形的认识
【点评】
本题核心考查多边形截角后边数的变化规律，解题的关键是要全面考虑所有可能的截线位置，避免因考虑不全面漏判可能的情况，是几何部分的典型易错题。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以通过分类讨论不同的截线位置，判断截去一个三角形后得到四边形时原多边形的可能边数。我们需要考虑截下三角形的三种常见截法：①截线经过原多边形两条相邻边（均不经过顶点）；②截线经过原多边形1个顶点和1条边（非顶点处）；③截线经过原多边形2个相邻顶点。分别对应原多边形边数与所得四边形边数的关系，即可排除不可能的选项。
【解析】
我们分情况验证各选项：
1. 原多边形为3边（三角形）：沿不经过任意顶点的直线截去一个小三角形，截下的部分是三角形，剩余图形为四边形，符合要求，故A选项可能；
2. 原多边形为4边（四边形）：沿经过1个顶点和该顶点对边上某非顶点位置的直线截去一个三角形，剩余图形仍为四边形，符合要求，故B选项可能；
3. 原多边形为5边（五边形）：沿经过2个相邻顶点的直线截去一个三角形，剩余图形为四边形，符合要求，故C选项可能；
4. 原多边形为6边（六边形）：无论选择哪种截法截去一个三角形，剩余图形的边数最少为5，不可能得到四边形，故D选项不可能。
【答案】
D
【知识点】
多边形截角规律，多边形的认识
【点评】
本题核心考查多边形截角后边数的变化规律，解题的关键是要全面考虑所有可能的截线位置，避免因考虑不全面漏判可能的情况，是几何部分的典型易错题。
【难度系数】
0.7
8. 平行四边形不具有的性质是(
A.对边平行
B.对边相等
C.对角线互相平行
D.对角线互相平分
C
).A.对边平行
B.对边相等
C.对角线互相平行
D.对角线互相平分
答案
8. C
解析
【分析】
首先明确题干要求是选出平行四边形不具有的性质，解题时先回忆平行四边形的基本性质，再将选项逐一和性质对比排查即可。首先回忆平行四边形边的性质：两组对边平行且相等，可先判断A、B选项的正误；再回忆对角线的性质：对角线互相平分，据此判断C、D选项的正误，最终选出符合要求的答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
1. 根据平行四边形的边的性质：平行四边形的两组对边分别平行且相等，因此A、B选项都是平行四边形具有的性质，不符合题意，排除；
2. 根据平行四边形的对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分，即两条对角线相交于一点，且交点是两条对角线的中点，说明对角线为相交关系，不可能互相平行，因此D选项是平行四边形具有的性质，不符合题意，排除；C选项描述的性质不存在，符合题意。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考查对平行四边形基本性质的识记和区分，答题时要注意审题，明确题干要求是选“不具有”的性质，避免因粗心看错题干失分。
【难度系数】
0.9
首先明确题干要求是选出平行四边形不具有的性质，解题时先回忆平行四边形的基本性质，再将选项逐一和性质对比排查即可。首先回忆平行四边形边的性质：两组对边平行且相等，可先判断A、B选项的正误；再回忆对角线的性质：对角线互相平分，据此判断C、D选项的正误，最终选出符合要求的答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
1. 根据平行四边形的边的性质：平行四边形的两组对边分别平行且相等，因此A、B选项都是平行四边形具有的性质，不符合题意，排除；
2. 根据平行四边形的对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分，即两条对角线相交于一点，且交点是两条对角线的中点，说明对角线为相交关系，不可能互相平行，因此D选项是平行四边形具有的性质，不符合题意，排除；C选项描述的性质不存在，符合题意。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考查对平行四边形基本性质的识记和区分，答题时要注意审题，明确题干要求是选“不具有”的性质，避免因粗心看错题干失分。
【难度系数】
0.9
9. 若$□ ABCD$的周长为$32$，$AB=4$，则$BC=$（
A.4
B.12
C.24
D.28
B
）.A.4
B.12
C.24
D.28
答案
9. B
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆平行四边形的基本性质：平行四边形的两组对边分别相等，因此它的周长等于相邻两边长度和的2倍。已知周长和其中一边AB的长度，我们可以先根据周长公式求出相邻两边的和，再减去AB的长度就能得到BC的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB=CD，AD=BC（平行四边形对边相等）
∴ 平行四边形ABCD的周长 = AB+BC+CD+AD = 2(AB+BC)
已知周长为32，AB=4，代入得：
$2×(4+BC)=32$
等式两边同时除以2，得：$4+BC=16$
解得：$BC=16-4=12$
【答案】B
【知识点】
平行四边形的性质；周长计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平行四边形对边相等的性质，结合周长公式即可快速求解，是对平行四边形基础性质的直接应用。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要回忆平行四边形的基本性质：平行四边形的两组对边分别相等，因此它的周长等于相邻两边长度和的2倍。已知周长和其中一边AB的长度，我们可以先根据周长公式求出相邻两边的和，再减去AB的长度就能得到BC的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB=CD，AD=BC（平行四边形对边相等）
∴ 平行四边形ABCD的周长 = AB+BC+CD+AD = 2(AB+BC)
已知周长为32，AB=4，代入得：
$2×(4+BC)=32$
等式两边同时除以2，得：$4+BC=16$
解得：$BC=16-4=12$
【答案】B
【知识点】
平行四边形的性质；周长计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平行四边形对边相等的性质，结合周长公式即可快速求解，是对平行四边形基础性质的直接应用。
【难度系数】
0.9
