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10. 如图,正五边形ABCDE,BG平分∠ABC,DG平分正五边形ABCDE的外角∠EDF,则∠G=(
A.$60°$
B.$54°$
C.$36°$
D.$72°$
B
).A.$60°$
B.$54°$
C.$36°$
D.$72°$
答案
10. B
解析
【分析】
解题首先要利用多边形内角和公式求出正五边形每个内角的度数，再结合角平分线的性质得到被平分后的角的度数，最后利用三角形内角和定理，通过角的和差关系推导求出∠G的度数。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$540°÷5=108°$，即$∠ ABC=∠ C=∠ CDE=108°$。
2. 计算∠EDF及角平分线分得的角：∠EDF是正五边形的外角，因此$∠ EDF=180°-∠ CDE=180°-108°=72°$，因为DG平分$∠ EDF$，所以$∠ GDF=\frac{1}{2}∠ EDF=36°$。
3. 计算BG平分∠ABC后的角：因为BG平分$∠ ABC$，所以$∠ GBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×108°=54°$。
4. 在$△ BCD$中，根据三角形内角和定理，$∠ CBD+∠ CDB=180°-∠ C=180°-108°=72°$。
5. 在$△ BDG$中，$∠ G=180°-∠ GBD-∠ BDG$，其中$∠ GBD=54°-∠ CBD$，$∠ BDG=180°-∠ CDB-36°=144°-∠ CDB$，代入得：
$\begin{aligned}∠ G&=180°-(54°-∠ CBD)-(144°-∠ CDB)\\&=(∠ CBD+∠ CDB)-18°\\&=72°-18°=54°\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
正多边形内角和，角平分线的性质，三角形内角和
【点评】
本题综合考查正多边形性质与三角形角度计算，解题的关键是熟练掌握正多边形内角计算方法，能够通过角的和差关系建立已知角与未知角的联系。
【难度系数】
0.6
解题首先要利用多边形内角和公式求出正五边形每个内角的度数，再结合角平分线的性质得到被平分后的角的度数，最后利用三角形内角和定理，通过角的和差关系推导求出∠G的度数。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$540°÷5=108°$，即$∠ ABC=∠ C=∠ CDE=108°$。
2. 计算∠EDF及角平分线分得的角：∠EDF是正五边形的外角，因此$∠ EDF=180°-∠ CDE=180°-108°=72°$，因为DG平分$∠ EDF$，所以$∠ GDF=\frac{1}{2}∠ EDF=36°$。
3. 计算BG平分∠ABC后的角：因为BG平分$∠ ABC$，所以$∠ GBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×108°=54°$。
4. 在$△ BCD$中，根据三角形内角和定理，$∠ CBD+∠ CDB=180°-∠ C=180°-108°=72°$。
5. 在$△ BDG$中，$∠ G=180°-∠ GBD-∠ BDG$，其中$∠ GBD=54°-∠ CBD$，$∠ BDG=180°-∠ CDB-36°=144°-∠ CDB$，代入得：
$\begin{aligned}∠ G&=180°-(54°-∠ CBD)-(144°-∠ CDB)\\&=(∠ CBD+∠ CDB)-18°\\&=72°-18°=54°\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
正多边形内角和，角平分线的性质，三角形内角和
【点评】
本题综合考查正多边形性质与三角形角度计算，解题的关键是熟练掌握正多边形内角计算方法，能够通过角的和差关系建立已知角与未知角的联系。
【难度系数】
0.6
三、解答题
(第 10 题)
11. (1) 在四边形 $ABCD$ 中, 四个内角度数之比为 $1:2:3:4$, 求该四边形最大内角的度数;
(2) 一个多边形的内角和与外角和度数之比为 $4:1$, 求这个多边形对角线的条数.
(第 10 题)
11. (1) 在四边形 $ABCD$ 中, 四个内角度数之比为 $1:2:3:4$, 求该四边形最大内角的度数;
(2) 一个多边形的内角和与外角和度数之比为 $4:1$, 求这个多边形对角线的条数.
答案
11. (1) $144°$ (2) 35条
解析
【分析】
（1）解决第一问首先要明确四边形内角和为360°，已知四个内角的度数比，可采用设参数的方法，将四个内角分别用含参数的式子表示，再根据内角和列方程求解，最后求出最大内角的度数即可。
（2）解决第二问首先要牢记任意多边形的外角和恒为360°，根据内角和与外角和的比例先求出多边形的内角和，再利用多边形内角和公式求出边数，最后代入多边形对角线公式计算对角线总数即可。
【解析】
（1）
∵ 四边形的内角和为$(4-2)×180°=360°$
设四个内角的度数分别为$x$、$2x$、$3x$、$4x$，根据题意得：
$x+2x+3x+4x=360°$
合并同类项得：$10x=360°$
解得：$x=36°$
∴ 最大内角的度数为$4x=4×36°=144°$
（2）
∵ 任意多边形的外角和恒为$360°$，已知该多边形内角和与外角和的比为$4:1$
∴ 该多边形的内角和为$4×360°=1440°$
设这个多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式$(n-2)×180°$得：
$(n-2)×180°=1440°$
两边同时除以$180°$得：$n-2=8$
解得：$n=10$
∵ $n$边形的对角线条数公式为$\frac{n(n-3)}{2}$
∴ 当$n=10$时，对角线条数为$\frac{10×(10-3)}{2}=\frac{10×7}{2}=35$（条）
【答案】
(1) $144°$；(2) 35条
【知识点】
多边形内角和定理；多边形外角和性质；多边形对角线公式
【点评】
本题属于多边形的基础计算题，解题的关键是熟练掌握多边形内角和公式、外角和固定为360°以及对角线计算公式，计算过程中注意参数设置和方程求解的准确性即可。
【难度系数】
0.8
（1）解决第一问首先要明确四边形内角和为360°，已知四个内角的度数比，可采用设参数的方法，将四个内角分别用含参数的式子表示，再根据内角和列方程求解，最后求出最大内角的度数即可。
（2）解决第二问首先要牢记任意多边形的外角和恒为360°，根据内角和与外角和的比例先求出多边形的内角和，再利用多边形内角和公式求出边数，最后代入多边形对角线公式计算对角线总数即可。
【解析】
（1）
∵ 四边形的内角和为$(4-2)×180°=360°$
设四个内角的度数分别为$x$、$2x$、$3x$、$4x$，根据题意得：
$x+2x+3x+4x=360°$
合并同类项得：$10x=360°$
解得：$x=36°$
∴ 最大内角的度数为$4x=4×36°=144°$
（2）
∵ 任意多边形的外角和恒为$360°$，已知该多边形内角和与外角和的比为$4:1$
∴ 该多边形的内角和为$4×360°=1440°$
设这个多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式$(n-2)×180°$得：
$(n-2)×180°=1440°$
两边同时除以$180°$得：$n-2=8$
解得：$n=10$
∵ $n$边形的对角线条数公式为$\frac{n(n-3)}{2}$
∴ 当$n=10$时，对角线条数为$\frac{10×(10-3)}{2}=\frac{10×7}{2}=35$（条）
【答案】
(1) $144°$；(2) 35条
【知识点】
多边形内角和定理；多边形外角和性质；多边形对角线公式
【点评】
本题属于多边形的基础计算题，解题的关键是熟练掌握多边形内角和公式、外角和固定为360°以及对角线计算公式，计算过程中注意参数设置和方程求解的准确性即可。
【难度系数】
0.8
12. 如图，在$□ ABCD$中，$AC$与$BD$交于点$O$，$AD=8$，$AB=10$，$BD ⊥ AD$，求$AC$的长.
答案
12. $2\sqrt{73}$
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，因此要求AC的长，只需要先求出AO的长即可。观察图形可知BD⊥AD，所以△ADB和△ADO都是直角三角形：第一步先在Rt△ADB中，利用勾股定理求出BD的长度；第二步根据平行四边形对角线互相平分的性质，求出OD的长度；第三步在Rt△ADO中，再次利用勾股定理求出AO的长度，最后乘以2即可得到AC的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$。
∵$BD⊥AD$，
∴$∠ ADB=90°$，
在Rt△ADB中，$AD=8$，$AB=10$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6$，
∴$OD=\frac{1}{2}BD=3$，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AD^2 + OD^2}=\sqrt{8^2 + 3^2}=\sqrt{73}$，
∴$AC=2AO=2\sqrt{73}$。
【答案】
$2\sqrt{73}$
【知识点】
平行四边形的性质、勾股定理、直角三角形计算
【点评】
本题是平行四边形与勾股定理结合的基础几何题，解题核心是灵活运用平行四边形对角线互相平分的性质，结合两次勾股定理运算即可求出结果，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，因此要求AC的长，只需要先求出AO的长即可。观察图形可知BD⊥AD，所以△ADB和△ADO都是直角三角形：第一步先在Rt△ADB中，利用勾股定理求出BD的长度；第二步根据平行四边形对角线互相平分的性质，求出OD的长度；第三步在Rt△ADO中，再次利用勾股定理求出AO的长度，最后乘以2即可得到AC的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$。
∵$BD⊥AD$，
∴$∠ ADB=90°$，
在Rt△ADB中，$AD=8$，$AB=10$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6$，
∴$OD=\frac{1}{2}BD=3$，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AD^2 + OD^2}=\sqrt{8^2 + 3^2}=\sqrt{73}$，
∴$AC=2AO=2\sqrt{73}$。
【答案】
$2\sqrt{73}$
【知识点】
平行四边形的性质、勾股定理、直角三角形计算
【点评】
本题是平行四边形与勾股定理结合的基础几何题，解题核心是灵活运用平行四边形对角线互相平分的性质，结合两次勾股定理运算即可求出结果，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.7
13. 如图，E，F 是$□ ABCD$对角线 AC 上的两点，且 $BE ⊥ AC$，$DF ⊥ AC$.
（1）求证：$△ ABE ≌ △ CDF$；
（2）请写出图中除 $△ ABE ≌ △ CDF$ 外其余两对全等三角形（不再添加辅助线）.
（1）求证：$△ ABE ≌ △ CDF$；
（2）请写出图中除 $△ ABE ≌ △ CDF$ 外其余两对全等三角形（不再添加辅助线）.
答案
13. (1) $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$\therefore AB =CD, AB // CD. \therefore ∠ BAE =∠ FCD.$又 $\because BE ⊥ AC, DF ⊥ AC, \therefore ∠ AEB =∠ CFD = 90°. \therefore △ ABE ≌ △ CDF$
(2) $△ ABC ≌ △ CDA$, $△ BCE ≌ △ DAF$
(2) $△ ABC ≌ △ CDA$, $△ BCE ≌ △ DAF$
解析
【分析】
（1）要证明△ABE≌△CDF，可先结合平行四边形的性质推导全等所需的边、角条件：首先根据平行四边形对边平行且相等，可得AB=CD、AB//CD，进而推出内错角∠BAE=∠DCF；再结合BE⊥AC、DF⊥AC的条件，得到∠AEB=∠CFD=90°，满足AAS全等判定的要求，即可完成证明。
（2）找其余全等三角形时，首先利用平行四边形对边相等、对角线为公共边的特点，可直接得到△ABC与△CDA全等；再结合第一问的全等结论，可推出AE=CF、BE=DF，进而得到AF=CE，结合垂直得到的直角相等，即可证明△BCE与△DAF全等。
【解析】
（1）证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB = CD$，$AB // CD$，
∴ $∠BAE = ∠FCD$（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ $BE ⊥ AC$，$DF ⊥ AC$，
∴ $∠AEB = ∠CFD = 90°$。
在$△ ABE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases}∠AEB = ∠CFD \\∠BAE = ∠DCF \\AB = CD\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ CDF$（AAS）。
（2）① 证$△ ABC ≌ △ CDA$：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB = CD$，$BC = AD$，
又
∵ $AC = CA$（公共边），
∴ $△ ABC ≌ △ CDA$（SSS）。
② 证$△ BCE ≌ △ DAF$：
由$△ ABE ≌ △ CDF$可得：$BE = DF$，$AE = CF$，
∴ $AC - AE = AC - CF$，即$AF = CE$，
∵ $BE ⊥ AC$，$DF ⊥ AC$，
∴ $∠BEC = ∠DFA = 90°$，
在$△ BCE$和$△ DAF$中：
$\begin{cases}CE = AF \\∠BEC = ∠DFA \\BE = DF\end{cases}$
∴ $△ BCE ≌ △ DAF$（SAS）。
因此其余两对全等三角形为$△ ABC ≌ △ CDA$、$△ BCE ≌ △ DAF$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $△ ABC ≌ △ CDA$，$△ BCE ≌ △ DAF$
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定、平行线的性质
【点评】
本题是几何基础题，核心考查平行四边形性质与全等三角形判定的结合应用，解题时要善于从平行四边形的性质中挖掘隐含的边、角相等关系，找全等三角形时不要忽略公共边、第一问已证的全等结论这些可用条件。
【难度系数】
0.8
（1）要证明△ABE≌△CDF，可先结合平行四边形的性质推导全等所需的边、角条件：首先根据平行四边形对边平行且相等，可得AB=CD、AB//CD，进而推出内错角∠BAE=∠DCF；再结合BE⊥AC、DF⊥AC的条件，得到∠AEB=∠CFD=90°，满足AAS全等判定的要求，即可完成证明。
（2）找其余全等三角形时，首先利用平行四边形对边相等、对角线为公共边的特点，可直接得到△ABC与△CDA全等；再结合第一问的全等结论，可推出AE=CF、BE=DF，进而得到AF=CE，结合垂直得到的直角相等，即可证明△BCE与△DAF全等。
【解析】
（1）证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB = CD$，$AB // CD$，
∴ $∠BAE = ∠FCD$（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ $BE ⊥ AC$，$DF ⊥ AC$，
∴ $∠AEB = ∠CFD = 90°$。
在$△ ABE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases}∠AEB = ∠CFD \\∠BAE = ∠DCF \\AB = CD\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ CDF$（AAS）。
（2）① 证$△ ABC ≌ △ CDA$：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB = CD$，$BC = AD$，
又
∵ $AC = CA$（公共边），
∴ $△ ABC ≌ △ CDA$（SSS）。
② 证$△ BCE ≌ △ DAF$：
由$△ ABE ≌ △ CDF$可得：$BE = DF$，$AE = CF$，
∴ $AC - AE = AC - CF$，即$AF = CE$，
∵ $BE ⊥ AC$，$DF ⊥ AC$，
∴ $∠BEC = ∠DFA = 90°$，
在$△ BCE$和$△ DAF$中：
$\begin{cases}CE = AF \\∠BEC = ∠DFA \\BE = DF\end{cases}$
∴ $△ BCE ≌ △ DAF$（SAS）。
因此其余两对全等三角形为$△ ABC ≌ △ CDA$、$△ BCE ≌ △ DAF$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $△ ABC ≌ △ CDA$，$△ BCE ≌ △ DAF$
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定、平行线的性质
【点评】
本题是几何基础题，核心考查平行四边形性质与全等三角形判定的结合应用，解题时要善于从平行四边形的性质中挖掘隐含的边、角相等关系，找全等三角形时不要忽略公共边、第一问已证的全等结论这些可用条件。
【难度系数】
0.8
14. 如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,AB // CD, AO=CO. 求证: 四边形ABCD是平行四边形.
答案
14. $\because AB // CD, \therefore ∠ OAB = ∠ OCD. \because ∠ AOB = ∠ COD, AO = CO, \therefore △ ABO ≌ △ CDO. \therefore AB = CD. \therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形
解析
【分析】
要证明四边形ABCD是平行四边形，已知AB//CD，结合平行四边形的判定定理，只需再证明AB=CD即可。要证AB=CD，可证明AB、CD所在的△ABO和△CDO全等：由AB//CD可得内错角∠OAB=∠OCD，已知AO=CO，再加上对顶角∠AOB=∠COD，可通过ASA判定两三角形全等，得到AB=CD，即可证明四边形是平行四边形。
【解析】
证明：
$\because AB // CD$，
$\therefore ∠ OAB = ∠ OCD$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ ABO$和$△ CDO$中：
$\begin{cases}∠ OAB = ∠ OCD \\AO = CO \\∠ AOB = ∠ COD（对顶角相等）\end{cases}$
$\therefore △ ABO ≌ △ CDO$（ASA）。
$\therefore AB = CD$。
又$\because AB // CD$，
$\therefore$ 四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
四边形ABCD是平行四边形
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形判定的常规基础题，核心是结合已知条件通过全等三角形得到对边相等的结论，考察学生对基础几何定理的综合运用能力，解题时需注意挖掘图形中的隐含条件（如对顶角相等）。
【难度系数】
0.8
要证明四边形ABCD是平行四边形，已知AB//CD，结合平行四边形的判定定理，只需再证明AB=CD即可。要证AB=CD，可证明AB、CD所在的△ABO和△CDO全等：由AB//CD可得内错角∠OAB=∠OCD，已知AO=CO，再加上对顶角∠AOB=∠COD，可通过ASA判定两三角形全等，得到AB=CD，即可证明四边形是平行四边形。
【解析】
证明：
$\because AB // CD$，
$\therefore ∠ OAB = ∠ OCD$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ ABO$和$△ CDO$中：
$\begin{cases}∠ OAB = ∠ OCD \\AO = CO \\∠ AOB = ∠ COD（对顶角相等）\end{cases}$
$\therefore △ ABO ≌ △ CDO$（ASA）。
$\therefore AB = CD$。
又$\because AB // CD$，
$\therefore$ 四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
四边形ABCD是平行四边形
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形判定的常规基础题，核心是结合已知条件通过全等三角形得到对边相等的结论，考察学生对基础几何定理的综合运用能力，解题时需注意挖掘图形中的隐含条件（如对顶角相等）。
【难度系数】
0.8
