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1. $□ ABCD$ 的周长为 60 cm,对角线交于点 $O$, $△ AOB$ 的周长比 $△ BOC$ 的周长大 8 cm,则 $AB=\_\_\_\_\_\_$ , $BC=\_\_\_\_\_\_$.
答案
1. 19 cm 11 cm
解析
【分析】
解题思路：首先结合平行四边形的性质思考：一是平行四边形对边相等，二是平行四边形对角线互相平分。第一步，根据平行四边形周长为60cm，可推出相邻两边AB与BC的和；第二步，分析△AOB和△BOC的周长组成，两个三角形共享边OB，且对角线平分可得AO=OC，因此两个三角形的周长差实际就是AB和BC的差；最后联立邻边的和与差的关系式，解二元一次方程组即可求出AB、BC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，BC=AD，AO=CO（平行四边形对边相等、对角线互相平分）
∵平行四边形ABCD周长为60cm
∴$2(AB+BC)=60$，化简得：$AB+BC=30$ ---①
∵△AOB的周长比△BOC的周长大8cm
∴$(AB+AO+BO)-(BC+CO+BO)=8$
∵AO=CO，BO为公共边，化简得：$AB-BC=8$ ---②
联立①②，①+②得：$2AB=38$，解得$AB=19\ \mathrm{cm}$
将$AB=19$代入①，得$19+BC=30$，解得$BC=11\ \mathrm{cm}$
【答案】
19 cm；11 cm
【知识点】
平行四边形的性质；二元一次方程组的应用
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题，解题核心是利用对角线互相平分的性质消去两个三角形周长的公共部分，快速得到邻边的差，再结合周长得到邻边的和，转化为方程组求解即可，解题时需注意两个三角形周长差对应的边的大小关系，避免计算出错。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先结合平行四边形的性质思考：一是平行四边形对边相等，二是平行四边形对角线互相平分。第一步，根据平行四边形周长为60cm，可推出相邻两边AB与BC的和；第二步，分析△AOB和△BOC的周长组成，两个三角形共享边OB，且对角线平分可得AO=OC，因此两个三角形的周长差实际就是AB和BC的差；最后联立邻边的和与差的关系式，解二元一次方程组即可求出AB、BC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，BC=AD，AO=CO（平行四边形对边相等、对角线互相平分）
∵平行四边形ABCD周长为60cm
∴$2(AB+BC)=60$，化简得：$AB+BC=30$ ---①
∵△AOB的周长比△BOC的周长大8cm
∴$(AB+AO+BO)-(BC+CO+BO)=8$
∵AO=CO，BO为公共边，化简得：$AB-BC=8$ ---②
联立①②，①+②得：$2AB=38$，解得$AB=19\ \mathrm{cm}$
将$AB=19$代入①，得$19+BC=30$，解得$BC=11\ \mathrm{cm}$
【答案】
19 cm；11 cm
【知识点】
平行四边形的性质；二元一次方程组的应用
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题，解题核心是利用对角线互相平分的性质消去两个三角形周长的公共部分，快速得到邻边的差，再结合周长得到邻边的和，转化为方程组求解即可，解题时需注意两个三角形周长差对应的边的大小关系，避免计算出错。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在$□ ABCD$中,$∠ A + ∠ C = 110°$,则$∠ B =$
125°
.答案
2. 125°
解析
【分析】
解题时先结合平行四边形的性质思考：首先平行四边形的对角相等，已知∠A与∠C的和，可先求出∠A的度数；再根据平行四边形的邻角互补，即可求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，且平行四边形的邻角互补，即∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠C=110°，
∴2∠A=110°，解得∠A=55°，
∴∠B=180°-∠A=180°-55°=125°。
【答案】
125°
【知识点】
平行四边形对角相等；平行四边形邻角互补
【点评】
本题属于基础题，重点考查平行四边形角相关性质的应用，解题的关键是牢记平行四边形对角相等、邻角互补的性质，代入数值计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时先结合平行四边形的性质思考：首先平行四边形的对角相等，已知∠A与∠C的和，可先求出∠A的度数；再根据平行四边形的邻角互补，即可求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，且平行四边形的邻角互补，即∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠C=110°，
∴2∠A=110°，解得∠A=55°，
∴∠B=180°-∠A=180°-55°=125°。
【答案】
125°
【知识点】
平行四边形对角相等；平行四边形邻角互补
【点评】
本题属于基础题，重点考查平行四边形角相关性质的应用，解题的关键是牢记平行四边形对角相等、邻角互补的性质，代入数值计算即可。
【难度系数】
0.8
3. 如图，在$□ ABCD$中，$∠ D = 65°$，$∠ 1 = 75°$，则$∠ DAC$的度数是________.
答案
3. 40°
解析
【分析】
解题时首先利用平行四边形的性质：平行四边形的邻角互补，先求出∠BAD的度数；再观察图形可知∠BAD是由∠1和∠DAC组成的，已知∠1的度数，用∠BAD减去∠1的度数就可以求出∠DAC的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ ∠D + ∠BAD = 180°（平行四边形邻角互补）
∵ ∠D = 65°
∴ ∠BAD = 180° - 65° = 115°
又
∵ ∠BAD = ∠1 + ∠DAC，∠1 = 75°
∴ ∠DAC = ∠BAD - ∠1 = 115° - 75° = 40°
【答案】
40°
【知识点】
平行四边形的性质；角的和差计算
【点评】
本题是基础几何计算题，重点考查平行四边形邻角互补的性质的应用，只要能准确识别图中角的和差关系，就能快速求出结果。
【难度系数】
0.85
解题时首先利用平行四边形的性质：平行四边形的邻角互补，先求出∠BAD的度数；再观察图形可知∠BAD是由∠1和∠DAC组成的，已知∠1的度数，用∠BAD减去∠1的度数就可以求出∠DAC的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ ∠D + ∠BAD = 180°（平行四边形邻角互补）
∵ ∠D = 65°
∴ ∠BAD = 180° - 65° = 115°
又
∵ ∠BAD = ∠1 + ∠DAC，∠1 = 75°
∴ ∠DAC = ∠BAD - ∠1 = 115° - 75° = 40°
【答案】
40°
【知识点】
平行四边形的性质；角的和差计算
【点评】
本题是基础几何计算题，重点考查平行四边形邻角互补的性质的应用，只要能准确识别图中角的和差关系，就能快速求出结果。
【难度系数】
0.85
4. 如图，在$□ ABCD$中，$BD=10$，$AE⊥ BD$于点$E$，且$AE=6$，$BC=8$，则边$AD$与边$BC$之间的距离为________。
答案
4. $\frac{15}{2}$
解析
【分析】
要求AD与BC之间的距离，本质是求平行四边形以BC为底时对应的高，已知BC的长度，只需先求出平行四边形ABCD的面积，再根据“平行四边形面积=底×高”即可求出对应高。已知BD是平行四边形的对角线，AE⊥BD，可先计算△ABD的面积，平行四边形面积是△ABD面积的2倍，由此可求出总面积，进而求解高。
【解析】
首先计算△ABD的面积：
∵AE⊥BD，BD=10，AE=6
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × BD × AE = \frac{1}{2} × 10 × 6 = 30$
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线将平行四边形分为两个面积相等的三角形
∴$S_{□ ABCD}=2S_{△ ABD}=2 × 30 = 60$
设AD与BC之间的距离为$h$，平行四边形面积也可表示为底$BC$乘以高$h$，已知$BC=8$
∴$S_{□ ABCD}=BC × h$，即$8h=60$
解得$h=\frac{60}{8}=\frac{15}{2}$
【答案】
$\frac{15}{2}$
【知识点】
平行四边形的性质，平行四边形面积计算，三角形面积计算
【点评】
本题解题核心是灵活运用平行四边形面积的两种计算方式，先通过对角线及对应高求出总面积，再结合已知底边长求对边间的距离，解题时注意区分不同底对应的高，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
要求AD与BC之间的距离，本质是求平行四边形以BC为底时对应的高，已知BC的长度，只需先求出平行四边形ABCD的面积，再根据“平行四边形面积=底×高”即可求出对应高。已知BD是平行四边形的对角线，AE⊥BD，可先计算△ABD的面积，平行四边形面积是△ABD面积的2倍，由此可求出总面积，进而求解高。
【解析】
首先计算△ABD的面积：
∵AE⊥BD，BD=10，AE=6
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × BD × AE = \frac{1}{2} × 10 × 6 = 30$
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线将平行四边形分为两个面积相等的三角形
∴$S_{□ ABCD}=2S_{△ ABD}=2 × 30 = 60$
设AD与BC之间的距离为$h$，平行四边形面积也可表示为底$BC$乘以高$h$，已知$BC=8$
∴$S_{□ ABCD}=BC × h$，即$8h=60$
解得$h=\frac{60}{8}=\frac{15}{2}$
【答案】
$\frac{15}{2}$
【知识点】
平行四边形的性质，平行四边形面积计算，三角形面积计算
【点评】
本题解题核心是灵活运用平行四边形面积的两种计算方式，先通过对角线及对应高求出总面积，再结合已知底边长求对边间的距离，解题时注意区分不同底对应的高，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$, $AB=10$, $BC=6$.点 $F$ 是 $AB$ 中点,连接 $CF$,把线段 $CF$ 沿射线 $BC$ 方向平移到 $DE$,点 $D$ 在 $AC$ 上.则线段 $CF$ 在平移过程中扫过区域形成的四边形 $CFDE$ 的面积为$\underline{\hspace{3em}}$.
答案
5. 12
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出直角边AC的长度；2. 根据平移的性质，可判断四边形CFDE是平行四边形，且DF平行于BC；3. 结合F是AB中点的条件，可得DF是△ABC的中位线，从而得到DF的长度，同时得到D是AC中点，求出CD的长度；4. 因为∠ACB=90°，即CD垂直于BC，CD就是平行四边形CFDE的高，DF等于平行四边形的底CE，最后用平行四边形面积公式计算即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=10$，$BC=6$，
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
∵线段$CF$沿射线$BC$方向平移得到$DE$，
∴$CF// DE$且$CF=DE$，$DF// CE$且$DF=CE$，
∴四边形$CFDE$是平行四边形。
∵点$F$是$AB$中点，$DF// BC$，
∴$DF$是$△ABC$的中位线，
∴$DF=\frac{1}{2}BC=3$，且$D$是$AC$中点，
∴$CD=\frac{1}{2}AC=4$。
又
∵$∠ ACB=90°$，即$CD⊥ BC$，
∴平行四边形$CFDE$的面积$S=CE× CD=DF× CD=3×4=12$。
【答案】
12
【知识点】
勾股定理，平移的性质，平行四边形面积计算
【点评】
本题是平移性质应用的典型题目，将直角三角形性质、中位线性质和平行四边形面积计算结合考查，解题的关键是通过平移性质和中位线定理快速找到平行四边形的底和高。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 首先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出直角边AC的长度；2. 根据平移的性质，可判断四边形CFDE是平行四边形，且DF平行于BC；3. 结合F是AB中点的条件，可得DF是△ABC的中位线，从而得到DF的长度，同时得到D是AC中点，求出CD的长度；4. 因为∠ACB=90°，即CD垂直于BC，CD就是平行四边形CFDE的高，DF等于平行四边形的底CE，最后用平行四边形面积公式计算即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=10$，$BC=6$，
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
∵线段$CF$沿射线$BC$方向平移得到$DE$，
∴$CF// DE$且$CF=DE$，$DF// CE$且$DF=CE$，
∴四边形$CFDE$是平行四边形。
∵点$F$是$AB$中点，$DF// BC$，
∴$DF$是$△ABC$的中位线，
∴$DF=\frac{1}{2}BC=3$，且$D$是$AC$中点，
∴$CD=\frac{1}{2}AC=4$。
又
∵$∠ ACB=90°$，即$CD⊥ BC$，
∴平行四边形$CFDE$的面积$S=CE× CD=DF× CD=3×4=12$。
【答案】
12
【知识点】
勾股定理，平移的性质，平行四边形面积计算
【点评】
本题是平移性质应用的典型题目，将直角三角形性质、中位线性质和平行四边形面积计算结合考查，解题的关键是通过平移性质和中位线定理快速找到平行四边形的底和高。
【难度系数】
0.7
6. 若一个多边形的内角和度数是外角和度数的2倍,则这个多边形的边数为(
A.4
B.5
C.6
D.7
C
)边.A.4
B.5
C.6
D.7
答案
6. C
解析
【分析】
解题时先回忆多边形的相关性质：任意多边形的外角和固定为360°，n边形的内角和公式为$(n-2)×180°$。首先根据“内角和是外角和的2倍”算出该多边形的内角和度数，再代入内角和公式列方程，即可求出边数n。
【解析】
第一步：明确多边形外角和性质：任意多边形的外角和均为$360°$。
第二步：计算该多边形的内角和：由题意得，内角和为$2×360°=720°$。
第三步：设这个多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式列方程：
$(n-2)×180°=720°$
第四步：解方程：
等式两边同时除以$180°$，得$n-2=4$
解得$n=6$
因此这个多边形是6边形。
【答案】
C
【知识点】
多边形外角和性质；多边形内角和公式
【点评】
本题属于多边形基础题型，核心考查对多边形内外角和相关性质的掌握，只要牢记外角和为固定值，熟练运用内角和公式列方程求解即可得分。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆多边形的相关性质：任意多边形的外角和固定为360°，n边形的内角和公式为$(n-2)×180°$。首先根据“内角和是外角和的2倍”算出该多边形的内角和度数，再代入内角和公式列方程，即可求出边数n。
【解析】
第一步：明确多边形外角和性质：任意多边形的外角和均为$360°$。
第二步：计算该多边形的内角和：由题意得，内角和为$2×360°=720°$。
第三步：设这个多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式列方程：
$(n-2)×180°=720°$
第四步：解方程：
等式两边同时除以$180°$，得$n-2=4$
解得$n=6$
因此这个多边形是6边形。
【答案】
C
【知识点】
多边形外角和性质；多边形内角和公式
【点评】
本题属于多边形基础题型，核心考查对多边形内外角和相关性质的掌握，只要牢记外角和为固定值，熟练运用内角和公式列方程求解即可得分。
【难度系数】
0.8
