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9. 下列满足条件的三角形中,不是直角三角形的是(
A.三内角度数之比为$3:4:5$
B.三边长的平方之比为$1:2:3$
C.三边长分别为$8$,$15$,$17$
D.三边长分别为$1+n^2$,$n^2-1$,$2n(n＞1)$
A
).A.三内角度数之比为$3:4:5$
B.三边长的平方之比为$1:2:3$
C.三边长分别为$8$,$15$,$17$
D.三边长分别为$1+n^2$,$n^2-1$,$2n(n＞1)$
答案
9. A
解析
【分析】
要判断三角形是否为直角三角形，有两种核心判定方法：①通过三角形内角和计算最大内角，验证是否等于90°；②利用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。我们只需对每个选项分别用对应方法验证，即可找到不符合要求的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：三内角度数之比为$3:4:5$，三角形内角和为$180°$，则最大内角为$180° × \frac{5}{3+4+5}=75°＜90°$，因此该三角形不是直角三角形。
B选项：设三边长的平方分别为$k、2k、3k(k＞0)$，可得$k+2k=3k$，即两条短边的平方和等于最长边的平方，符合勾股定理逆定理，是直角三角形。
C选项：计算边长平方：$8^2=64$，$15^2=225$，$17^2=289$，可得$8^2+15^2=64+225=289=17^2$，符合勾股定理逆定理，是直角三角形。
D选项：当$n＞1$时，最长边为$1+n^2$，计算另外两边的平方和：
$(n^2-1)^2+(2n)^2=n^4-2n^2+1+4n^2=n^4+2n^2+1$
而$(1+n^2)^2=n^4+2n^2+1$，因此$(n^2-1)^2+(2n)^2=(1+n^2)^2$，符合勾股定理逆定理，是直角三角形。
综上，只有A选项的三角形不是直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形判定
【点评】
本题考查直角三角形的两类判定方法，解题时需逐个验证选项，涉及含参数的边长时，要先确定最长边再验证平方和关系，避免因误判长边导致错误。
【难度系数】
0.7
要判断三角形是否为直角三角形，有两种核心判定方法：①通过三角形内角和计算最大内角，验证是否等于90°；②利用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。我们只需对每个选项分别用对应方法验证，即可找到不符合要求的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：三内角度数之比为$3:4:5$，三角形内角和为$180°$，则最大内角为$180° × \frac{5}{3+4+5}=75°＜90°$，因此该三角形不是直角三角形。
B选项：设三边长的平方分别为$k、2k、3k(k＞0)$，可得$k+2k=3k$，即两条短边的平方和等于最长边的平方，符合勾股定理逆定理，是直角三角形。
C选项：计算边长平方：$8^2=64$，$15^2=225$，$17^2=289$，可得$8^2+15^2=64+225=289=17^2$，符合勾股定理逆定理，是直角三角形。
D选项：当$n＞1$时，最长边为$1+n^2$，计算另外两边的平方和：
$(n^2-1)^2+(2n)^2=n^4-2n^2+1+4n^2=n^4+2n^2+1$
而$(1+n^2)^2=n^4+2n^2+1$，因此$(n^2-1)^2+(2n)^2=(1+n^2)^2$，符合勾股定理逆定理，是直角三角形。
综上，只有A选项的三角形不是直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形判定
【点评】
本题考查直角三角形的两类判定方法，解题时需逐个验证选项，涉及含参数的边长时，要先确定最长边再验证平方和关系，避免因误判长边导致错误。
【难度系数】
0.7
10. 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ B=90°$, $AB=8$, $AC=10$, $AC$ 的垂直平分线 $DE$ 分别交 $AB$, $AC$ 于点 $D$, $E$, 则 $BD$ 的长为(
A.$\dfrac{3}{2}$
B.$\dfrac{7}{4}$
C.$2$
D.$\dfrac{5}{2}$
B
).A.$\dfrac{3}{2}$
B.$\dfrac{7}{4}$
C.$2$
D.$\dfrac{5}{2}$
答案
10. B
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先在$Rt△ ABC$中，已知斜边$AC$和直角边$AB$的长度，利用勾股定理求出另一条直角边$BC$的长度；2. 由$DE$是$AC$的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得$AD=CD$，将问题转化到$Rt△ BCD$中求解；3. 设$BD$的长为$x$，用含$x$的式子表示出$CD$的长度，再在$Rt△ BCD$中根据勾股定理列方程，解方程即可得到$BD$的长。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=8$，$AC=10$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$。
连接$CD$，
$\because DE$是$AC$的垂直平分线，
$\therefore AD=CD$。
设$BD=x$，则$AD=AB-BD=8-x$，即$CD=8-x$。
在$Rt△ BCD$中，$∠ B=90°$，由勾股定理得：
$BD^2+BC^2=CD^2$，
即$x^2+6^2=(8-x)^2$，
展开得$x^2+36=64-16x+x^2$，
化简得$16x=28$，
解得$x=\frac{7}{4}$，即$BD=\frac{7}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是几何常见的计算类题型，解题关键是利用线段垂直平分线的性质得到相等线段，再结合勾股定理列方程求解，较好地考察了几何性质的应用和方程思想的运用。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先在$Rt△ ABC$中，已知斜边$AC$和直角边$AB$的长度，利用勾股定理求出另一条直角边$BC$的长度；2. 由$DE$是$AC$的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得$AD=CD$，将问题转化到$Rt△ BCD$中求解；3. 设$BD$的长为$x$，用含$x$的式子表示出$CD$的长度，再在$Rt△ BCD$中根据勾股定理列方程，解方程即可得到$BD$的长。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=8$，$AC=10$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$。
连接$CD$，
$\because DE$是$AC$的垂直平分线，
$\therefore AD=CD$。
设$BD=x$，则$AD=AB-BD=8-x$，即$CD=8-x$。
在$Rt△ BCD$中，$∠ B=90°$，由勾股定理得：
$BD^2+BC^2=CD^2$，
即$x^2+6^2=(8-x)^2$，
展开得$x^2+36=64-16x+x^2$，
化简得$16x=28$，
解得$x=\frac{7}{4}$，即$BD=\frac{7}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是几何常见的计算类题型，解题关键是利用线段垂直平分线的性质得到相等线段，再结合勾股定理列方程求解，较好地考察了几何性质的应用和方程思想的运用。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 如图, 在 $Rt △ ABC$ 中, $∠ C=90°, ∠ 1=∠ 2, CD=1.5$, $BD=2.5, DE ⊥ AB$ 于点 $E$.求:
(1) $BE$ 的长;
(2) $AC$ 的长.
11. 如图, 在 $Rt △ ABC$ 中, $∠ C=90°, ∠ 1=∠ 2, CD=1.5$, $BD=2.5, DE ⊥ AB$ 于点 $E$.求:
(1) $BE$ 的长;
(2) $AC$ 的长.
答案
11. (1) 提示：利用$CD = DE$和勾股定理 (2) 3
解析
【分析】
(1) 求BE的长时，首先观察到BE在Rt△BDE中，已知BD的长度，只需先求出DE的长度即可。由∠1=∠2可知AD是∠CAB的角平分线，结合∠C=90°、DE⊥AB，根据角平分线的性质可直接得到DE=CD，再代入勾股定理即可计算BE的长度。
(2) 求AC的长时，先通过AAS证明△ACD和△AED全等，得到AC=AE；再设AC的长度为x，可将AB的长度用含x的式子表示，最后在Rt△ABC中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1)
∵∠1=∠2，∠C=90°，DE⊥AB，
∴根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DE=CD=1.5$。
在Rt△BDE中，$BD=2.5$，$DE=1.5$，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BD^2-DE^2}=\sqrt{2.5^2-1.5^2}=\sqrt{6.25-2.25}=\sqrt{4}=2$。
(2) 在△ACD和△AED中：
$\begin{cases}∠C=∠AED=90° \\∠1=∠2 \\AD=AD\end{cases}$
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴$AC=AE$。
设$AC=x$，则$AE=x$，$AB=AE+BE=x+2$，
又$BC=CD+BD=1.5+2.5=4$，
在Rt△ABC中，由勾股定理得$AC^2+BC^2=AB^2$，代入得：
$x^2+4^2=(x+2)^2$
展开得$x^2+16=x^2+4x+4$，
化简得$4x=12$，解得$x=3$。
【答案】
(1) $BE=2$；(2) $AC=3$
【知识点】
角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是灵活运用角平分线性质得到相等线段，再结合勾股定理计算边长；第二问通过设未知数列方程的方法是几何求边长的常用思路，要熟练掌握这种数形结合的解题方法。
【难度系数】
0.7
(1) 求BE的长时，首先观察到BE在Rt△BDE中，已知BD的长度，只需先求出DE的长度即可。由∠1=∠2可知AD是∠CAB的角平分线，结合∠C=90°、DE⊥AB，根据角平分线的性质可直接得到DE=CD，再代入勾股定理即可计算BE的长度。
(2) 求AC的长时，先通过AAS证明△ACD和△AED全等，得到AC=AE；再设AC的长度为x，可将AB的长度用含x的式子表示，最后在Rt△ABC中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1)
∵∠1=∠2，∠C=90°，DE⊥AB，
∴根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DE=CD=1.5$。
在Rt△BDE中，$BD=2.5$，$DE=1.5$，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BD^2-DE^2}=\sqrt{2.5^2-1.5^2}=\sqrt{6.25-2.25}=\sqrt{4}=2$。
(2) 在△ACD和△AED中：
$\begin{cases}∠C=∠AED=90° \\∠1=∠2 \\AD=AD\end{cases}$
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴$AC=AE$。
设$AC=x$，则$AE=x$，$AB=AE+BE=x+2$，
又$BC=CD+BD=1.5+2.5=4$，
在Rt△ABC中，由勾股定理得$AC^2+BC^2=AB^2$，代入得：
$x^2+4^2=(x+2)^2$
展开得$x^2+16=x^2+4x+4$，
化简得$4x=12$，解得$x=3$。
【答案】
(1) $BE=2$；(2) $AC=3$
【知识点】
角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是灵活运用角平分线性质得到相等线段，再结合勾股定理计算边长；第二问通过设未知数列方程的方法是几何求边长的常用思路，要熟练掌握这种数形结合的解题方法。
【难度系数】
0.7
