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1. 周长为12的等边三角形的面积为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
1. $4\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，根据等边三角形三边相等的性质，结合已知周长先求出等边三角形的边长；第二步，要求三角形面积需已知底和高，底就是求出的边长，接下来作等边三角形的高，利用等边三角形三线合一的性质，得到高将等边三角形分为两个全等的直角三角形，再用勾股定理求出高的长度；第三步，代入三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 等边三角形的三边长度相等，周长为12
∴ 该等边三角形的边长 $ a = 12 ÷ 3 = 4 $
过等边三角形的一个顶点作对边的高，根据等边三角形三线合一的性质，高平分对边
∴ 高将对边分为长度为 $ 4 ÷ 2 = 2 $ 的两段
设高的长度为 $ h $，根据勾股定理可得：
$ h = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} $
根据三角形面积公式 $ S = \frac{1}{2} × 底 × 高 $，代入数据得：
$ S = \frac{1}{2} × 4 × 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} $
【答案】
$ 4\sqrt{3} $
【知识点】
等边三角形的性质；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，能通过作高构造直角三角形，结合勾股定理求出高的长度，再代入面积公式求解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，根据等边三角形三边相等的性质，结合已知周长先求出等边三角形的边长；第二步，要求三角形面积需已知底和高，底就是求出的边长，接下来作等边三角形的高，利用等边三角形三线合一的性质，得到高将等边三角形分为两个全等的直角三角形，再用勾股定理求出高的长度；第三步，代入三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 等边三角形的三边长度相等，周长为12
∴ 该等边三角形的边长 $ a = 12 ÷ 3 = 4 $
过等边三角形的一个顶点作对边的高，根据等边三角形三线合一的性质，高平分对边
∴ 高将对边分为长度为 $ 4 ÷ 2 = 2 $ 的两段
设高的长度为 $ h $，根据勾股定理可得：
$ h = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} $
根据三角形面积公式 $ S = \frac{1}{2} × 底 × 高 $，代入数据得：
$ S = \frac{1}{2} × 4 × 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} $
【答案】
$ 4\sqrt{3} $
【知识点】
等边三角形的性质；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，能通过作高构造直角三角形，结合勾股定理求出高的长度，再代入面积公式求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在高 3 m、坡面线段距离 AB 为 5 m 的楼梯表面铺地毯,则地毯长度至少需
(单位：m)
(单位：cm)
7
m.(单位：m)
(单位：cm)
答案
2. 7
解析
【分析】
要计算铺地毯的最小长度，可利用平移的思路：将所有台阶的水平边向下平移，其总长度等于楼梯的水平总宽度；将所有台阶的竖直边向右平移，其总长度等于楼梯的总高度3m。因此地毯长度=水平总宽度+总高度，我们只需要先通过勾股定理求出楼梯的水平总宽度，再求和即可。
【解析】
由题意可知，楼梯的竖直高度为3m，坡面AB为直角三角形的斜边，长度为5m。
设楼梯的水平总宽度为$x$ m，根据勾股定理：
$x^2+3^2=5^2$
解得$x^2=25-9=16$，结合实际长度为正，得$x=4$。
根据平移的性质，地毯最小长度=水平总宽度+竖直总高度，即$4+3=7$ m。
【答案】
7
【知识点】
勾股定理的应用，平移的性质
【点评】
本题将生活中的铺地毯问题转化为几何边长计算问题，核心是通过平移简化边长求和过程，结合勾股定理计算未知边长，能很好地考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
要计算铺地毯的最小长度，可利用平移的思路：将所有台阶的水平边向下平移，其总长度等于楼梯的水平总宽度；将所有台阶的竖直边向右平移，其总长度等于楼梯的总高度3m。因此地毯长度=水平总宽度+总高度，我们只需要先通过勾股定理求出楼梯的水平总宽度，再求和即可。
【解析】
由题意可知，楼梯的竖直高度为3m，坡面AB为直角三角形的斜边，长度为5m。
设楼梯的水平总宽度为$x$ m，根据勾股定理：
$x^2+3^2=5^2$
解得$x^2=25-9=16$，结合实际长度为正，得$x=4$。
根据平移的性质，地毯最小长度=水平总宽度+竖直总高度，即$4+3=7$ m。
【答案】
7
【知识点】
勾股定理的应用，平移的性质
【点评】
本题将生活中的铺地毯问题转化为几何边长计算问题，核心是通过平移简化边长求和过程，结合勾股定理计算未知边长，能很好地考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
3. 若$\sqrt{c - 13} + |a - 12| + (b - 5)^2 = 0$，则以$a$，$b$，$c$为三边长的三角形是________三角形.
答案
3. 直角
解析
【分析】
解题时首先要回忆非负数的性质：算术平方根、绝对值、完全平方数都是非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0。据此先分别求出a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理，验证三边长度是否满足两边平方和等于第三边的平方，即可判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵$\sqrt{c - 13} ≥ 0$，$|a - 12| ≥ 0$，$(b - 5)^2 ≥ 0$，且三者的和为0，
∴$\sqrt{c - 13} = 0$，$|a - 12| = 0$，$(b - 5)^2 = 0$，
即$c - 13 = 0$，$a - 12 = 0$，$b - 5 = 0$，
解得：$a = 12$，$b = 5$，$c = 13$。
∵$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$13^2 = 169$，
∴$a^2 + b^2 = c^2$，
根据勾股定理的逆定理可知，以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是基础类题型，解题的关键是掌握非负数的性质求出三边长，再结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，这类题型是代数与几何结合的典型常考题。
【难度系数】
0.85
解题时首先要回忆非负数的性质：算术平方根、绝对值、完全平方数都是非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0。据此先分别求出a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理，验证三边长度是否满足两边平方和等于第三边的平方，即可判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵$\sqrt{c - 13} ≥ 0$，$|a - 12| ≥ 0$，$(b - 5)^2 ≥ 0$，且三者的和为0，
∴$\sqrt{c - 13} = 0$，$|a - 12| = 0$，$(b - 5)^2 = 0$，
即$c - 13 = 0$，$a - 12 = 0$，$b - 5 = 0$，
解得：$a = 12$，$b = 5$，$c = 13$。
∵$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$13^2 = 169$，
∴$a^2 + b^2 = c^2$，
根据勾股定理的逆定理可知，以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是基础类题型，解题的关键是掌握非负数的性质求出三边长，再结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，这类题型是代数与几何结合的典型常考题。
【难度系数】
0.85
4. 如图,一根长 18 cm 的牙刷置于底面直径为 5 cm、高为 12 cm 的圆柱形水杯中,牙刷露在杯子外面的长度为$h\ \mathrm{cm}$,则$h$的取值范围是
$5≤ h≤6$
.答案
4. $5≤ h≤6$
解析
【分析】
要确定h的取值范围，需先明确牙刷在杯内部分的长度的最值：杯内长度越短，露在外面的h越大；杯内长度越长，露在外面的h越小。杯内最短长度等于水杯的高度，杯内最长长度是水杯底面直径和高组成的直角三角形的斜边长，用勾股定理算出该斜边长后，结合牙刷总长度即可求出h的范围。
【解析】
1. 求h的最大值：
当牙刷竖直放入水杯中时，杯内牙刷长度最短，等于水杯的高12cm，此时露在外面的长度最大：
$ h_{\mathrm{最大}} = 18 - 12 = 6\ \mathrm{cm} $
2. 求h的最小值：
当牙刷斜放，底端接触杯底一侧边缘、顶端刚好接触杯口另一侧边缘时，杯内牙刷长度最长，此时杯内长度是直角边分别为5cm（底面直径）、12cm（水杯高）的直角三角形的斜边长，根据勾股定理：
斜边长$ = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\ \mathrm{cm} $
此时露在外面的长度最小：
$ h_{\mathrm{最小}} = 18 - 13 = 5\ \mathrm{cm} $
综上，h的取值范围是$ 5≤ h≤ 6 $。
【答案】
$ 5≤ h≤ 6 $
【知识点】
勾股定理的应用，最值分析，圆柱的特征
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的实际应用，解题的核心是找到杯内牙刷长度的两种极端情况，对空间想象能力有一定要求，难度适中。
【难度系数】
0.7
要确定h的取值范围，需先明确牙刷在杯内部分的长度的最值：杯内长度越短，露在外面的h越大；杯内长度越长，露在外面的h越小。杯内最短长度等于水杯的高度，杯内最长长度是水杯底面直径和高组成的直角三角形的斜边长，用勾股定理算出该斜边长后，结合牙刷总长度即可求出h的范围。
【解析】
1. 求h的最大值：
当牙刷竖直放入水杯中时，杯内牙刷长度最短，等于水杯的高12cm，此时露在外面的长度最大：
$ h_{\mathrm{最大}} = 18 - 12 = 6\ \mathrm{cm} $
2. 求h的最小值：
当牙刷斜放，底端接触杯底一侧边缘、顶端刚好接触杯口另一侧边缘时，杯内牙刷长度最长，此时杯内长度是直角边分别为5cm（底面直径）、12cm（水杯高）的直角三角形的斜边长，根据勾股定理：
斜边长$ = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\ \mathrm{cm} $
此时露在外面的长度最小：
$ h_{\mathrm{最小}} = 18 - 13 = 5\ \mathrm{cm} $
综上，h的取值范围是$ 5≤ h≤ 6 $。
【答案】
$ 5≤ h≤ 6 $
【知识点】
勾股定理的应用，最值分析，圆柱的特征
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的实际应用，解题的核心是找到杯内牙刷长度的两种极端情况，对空间想象能力有一定要求，难度适中。
【难度系数】
0.7
5. 在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别是$a$，$b$，$c$，若$∠ C=90°$，且$a+b=7$，$△ ABC$的面积等于6，则边长$c=$______.
答案
5. 5
解析
【分析】
本题是直角三角形边长求解问题，解题思路可按以下步骤梳理：首先，由∠C=90°可知c为斜边，a、b为直角边，要求c的值需先根据勾股定理得到c²=a²+b²；其次，已知a+b=7，结合完全平方公式的变形a²+b²=(a+b)²-2ab，只需先求出ab的值即可计算a²+b²；最后，根据直角三角形的面积公式可直接算出ab的数值，代入计算后开方即可得到c的长度。
【解析】
解：
∵∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，c为斜边，a、b为直角边。
根据直角三角形面积公式：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab=6$，
解得：$ab=12$。
已知$a+b=7$，根据勾股定理得：
$c^2=a^2+b^2$
由完全平方公式变形可得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，
代入数值计算：
$c^2=7^2 - 2×12=49-24=25$
∵c为三角形边长，为正数，
∴$c=\sqrt{25}=5$。
【答案】
5
【知识点】
直角三角形面积公式；勾股定理；完全平方公式变形
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，解题的核心是熟练掌握勾股定理以及完全平方公式的变形应用，无需分别求出a、b的具体值，通过整体代入即可快速求解，能很好地考查学生对公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形边长求解问题，解题思路可按以下步骤梳理：首先，由∠C=90°可知c为斜边，a、b为直角边，要求c的值需先根据勾股定理得到c²=a²+b²；其次，已知a+b=7，结合完全平方公式的变形a²+b²=(a+b)²-2ab，只需先求出ab的值即可计算a²+b²；最后，根据直角三角形的面积公式可直接算出ab的数值，代入计算后开方即可得到c的长度。
【解析】
解：
∵∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，c为斜边，a、b为直角边。
根据直角三角形面积公式：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab=6$，
解得：$ab=12$。
已知$a+b=7$，根据勾股定理得：
$c^2=a^2+b^2$
由完全平方公式变形可得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，
代入数值计算：
$c^2=7^2 - 2×12=49-24=25$
∵c为三角形边长，为正数，
∴$c=\sqrt{25}=5$。
【答案】
5
【知识点】
直角三角形面积公式；勾股定理；完全平方公式变形
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，解题的核心是熟练掌握勾股定理以及完全平方公式的变形应用，无需分别求出a、b的具体值，通过整体代入即可快速求解，能很好地考查学生对公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
6. 已知直角三角形的周长为12，其斜边长为5，则该三角形的面积为(
A.12
B.6
C.8
D.10
A
B
).A.12
B.6
C.8
D.10
A
答案
6. B
解析
【分析】
本题可先根据周长求出两条直角边的和，再结合勾股定理，利用完全平方公式的变形求出两条直角边的乘积，最后代入直角三角形面积公式求解即可。解题时不需要单独求出每条直角边的长度，用整体代入的方法可简化计算。
【解析】
设该直角三角形的两条直角边长分别为$a$、$b$。
1. 根据周长条件计算两直角边的和：
已知三角形周长为12，斜边长为5，因此$a + b + 5 = 12$，解得$a + b = 7$。
2. 根据勾股定理列等式：
由直角三角形勾股定理可得，$a^2 + b^2 = 5^2 = 25$。
3. 利用完全平方公式求两直角边的乘积：
将$a + b = 7$两边同时平方得$(a + b)^2 = 7^2 = 49$，展开等式左边得$a^2 + 2ab + b^2 = 49$。
将$a^2 + b^2 = 25$代入上式，可得$25 + 2ab = 49$，解得$ab = 12$。
4. 计算三角形面积：
直角三角形面积$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 12 = 6$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、完全平方公式、直角三角形面积计算
【点评】
本题是直角三角形性质的常规考法，核心是利用整体思想求两直角边的乘积，避免了单独求解直角边的繁琐计算，熟练掌握勾股定理和完全平方公式的变形是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题可先根据周长求出两条直角边的和，再结合勾股定理，利用完全平方公式的变形求出两条直角边的乘积，最后代入直角三角形面积公式求解即可。解题时不需要单独求出每条直角边的长度，用整体代入的方法可简化计算。
【解析】
设该直角三角形的两条直角边长分别为$a$、$b$。
1. 根据周长条件计算两直角边的和：
已知三角形周长为12，斜边长为5，因此$a + b + 5 = 12$，解得$a + b = 7$。
2. 根据勾股定理列等式：
由直角三角形勾股定理可得，$a^2 + b^2 = 5^2 = 25$。
3. 利用完全平方公式求两直角边的乘积：
将$a + b = 7$两边同时平方得$(a + b)^2 = 7^2 = 49$，展开等式左边得$a^2 + 2ab + b^2 = 49$。
将$a^2 + b^2 = 25$代入上式，可得$25 + 2ab = 49$，解得$ab = 12$。
4. 计算三角形面积：
直角三角形面积$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 12 = 6$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、完全平方公式、直角三角形面积计算
【点评】
本题是直角三角形性质的常规考法，核心是利用整体思想求两直角边的乘积，避免了单独求解直角边的繁琐计算，熟练掌握勾股定理和完全平方公式的变形是解题的关键。
【难度系数】
0.7
7. 若$△ ABC$的三边长$a$，$b$，$c$满足$(a - c)^2 = b^2 - 2ac$，则（
A.$△ ABC$不是直角三角形
B.$∠ A$为直角
C.$∠ B$为直角
D.$∠ C$为直角
C
）.A.$△ ABC$不是直角三角形
B.$∠ A$为直角
C.$∠ B$为直角
D.$∠ C$为直角
答案
7. C
解析
【分析】
要判断三角形的直角，需结合勾股定理的逆定理推导三边的平方关系。首先对已知的等式利用完全平方公式展开，再通过移项化简得到三边平方的等量关系，最后根据三角形中边与其对角的对应关系，即可确定对应的直角。
【解析】
先展开等式左边的完全平方：
$(a - c)^2 = a^2 - 2ac + c^2$
已知$(a - c)^2 = b^2 - 2ac$，代入得：
$a^2 - 2ac + c^2 = b^2 - 2ac$
等式两边同时加上$2ac$消去同类项，可得：
$a^2 + c^2 = b^2$
根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形，且边$b$为斜边。三角形中斜边对应的角为直角，边$b$对应的角是$∠ B$，因此$∠ B$为直角，故选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，勾股定理的逆定理，三角形边角对应关系
【点评】
本题属于勾股定理逆定理的基础应用题型，解题核心是通过整式化简得到三边的平方关系，再结合边与角的对应关系判断直角，解题时注意不要混淆边对应的角即可。
【难度系数】
0.8
要判断三角形的直角，需结合勾股定理的逆定理推导三边的平方关系。首先对已知的等式利用完全平方公式展开，再通过移项化简得到三边平方的等量关系，最后根据三角形中边与其对角的对应关系，即可确定对应的直角。
【解析】
先展开等式左边的完全平方：
$(a - c)^2 = a^2 - 2ac + c^2$
已知$(a - c)^2 = b^2 - 2ac$，代入得：
$a^2 - 2ac + c^2 = b^2 - 2ac$
等式两边同时加上$2ac$消去同类项，可得：
$a^2 + c^2 = b^2$
根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形，且边$b$为斜边。三角形中斜边对应的角为直角，边$b$对应的角是$∠ B$，因此$∠ B$为直角，故选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，勾股定理的逆定理，三角形边角对应关系
【点评】
本题属于勾股定理逆定理的基础应用题型，解题核心是通过整式化简得到三边的平方关系，再结合边与角的对应关系判断直角，解题时注意不要混淆边对应的角即可。
【难度系数】
0.8
8. 如图，$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=12$，$BC=5$，点$M$，$N$在边$AB$上，$AM=AC$，$BN=BC$，则$MN$的长为（
A.$2$
B.$2.6$
C.$3$
D.$4$
D
）.A.$2$
B.$2.6$
C.$3$
D.$4$
答案
8. D
解析
【分析】
解题思路可分为三步：①首先△ABC是直角三角形，已知两条直角边长度，可先用勾股定理求出斜边AB的长；②分析线段关系：点M、N在AB上，AM=AC、BN=BC，AM与BN在AB上的重叠部分就是MN，因此可得AM+BN = AB + MN；③将已知数值代入上述关系式，即可计算出MN的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$
由题意得$AM=AC=12$，$BN=BC=5$，
因为AM、BN在线段AB上存在重叠段MN，因此$AM+BN=AB+MN$，
变形得$MN=AM+BN-AB$，
代入数值计算：$MN=12+5-13=4$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，线段和差计算
【点评】
本题考查勾股定理的基础应用，解题的核心是找准线段之间的和差关系，明确重叠部分是求解的关键，计算量小，理清思路就能快速得到答案。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：①首先△ABC是直角三角形，已知两条直角边长度，可先用勾股定理求出斜边AB的长；②分析线段关系：点M、N在AB上，AM=AC、BN=BC，AM与BN在AB上的重叠部分就是MN，因此可得AM+BN = AB + MN；③将已知数值代入上述关系式，即可计算出MN的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$
由题意得$AM=AC=12$，$BN=BC=5$，
因为AM、BN在线段AB上存在重叠段MN，因此$AM+BN=AB+MN$，
变形得$MN=AM+BN-AB$，
代入数值计算：$MN=12+5-13=4$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，线段和差计算
【点评】
本题考查勾股定理的基础应用，解题的核心是找准线段之间的和差关系，明确重叠部分是求解的关键，计算量小，理清思路就能快速得到答案。
【难度系数】
0.7
