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14. 如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向600 km的B处，其正以200 km/h的速度向北偏东$60°$的方向移动.已知距台风中心500 km的范围内都是受台风影响的区域.
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受影响的时间有多长？
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受影响的时间有多长？
答案
(1) 受到台风影响，理由略 (2) 4 h
解析
【分析】
（1）判断A城是否受台风影响，只需比较A城到台风移动路线的最短距离和500km的大小：若最短距离≤500km则受影响，反之不受。我们可过A作台风移动路径的垂线，利用直角三角形中30°角的性质算出垂线段长度，再和500km比较即可。
（2）若A城受影响，先找出台风移动路径上到A距离为500km的两个端点，两点间的距离就是台风影响A城时移动的总路程，用勾股定理算出这段路程后，再根据“时间=路程÷速度”即可求出影响时长。
【解析】
（1）过点A作AC⊥台风的移动路线，垂足为C。
由题意得AB=600km，台风移动方向为北偏东60°，因此∠ABC=90°-60°=30°。
在Rt△ABC中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×600=300(\mathrm{km})$
因为$300\mathrm{km}＜500\mathrm{km}$，所以A城会受到这次台风的影响。
（2）设台风中心移动到点D时A城刚开始受影响，移动到点E时A城刚好结束受影响，则$AD=AE=500\mathrm{km}$。
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AD^2-AC^2}=\sqrt{500^2-300^2}=\sqrt{160000}=400(\mathrm{km})$
同理可得$CE=400\mathrm{km}$，因此台风影响A城时移动的总路程$DE=CD+CE=400+400=800(\mathrm{km})$。
已知台风移动速度为200km/h，因此影响时间$t=800÷200=4(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) A城受到这次台风的影响，理由见解析；
(2) 4 h
【知识点】
30°直角三角形性质，勾股定理，方向角应用
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的实际应用，解题关键是通过作垂线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，能有效锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
（1）判断A城是否受台风影响，只需比较A城到台风移动路线的最短距离和500km的大小：若最短距离≤500km则受影响，反之不受。我们可过A作台风移动路径的垂线，利用直角三角形中30°角的性质算出垂线段长度，再和500km比较即可。
（2）若A城受影响，先找出台风移动路径上到A距离为500km的两个端点，两点间的距离就是台风影响A城时移动的总路程，用勾股定理算出这段路程后，再根据“时间=路程÷速度”即可求出影响时长。
【解析】
（1）过点A作AC⊥台风的移动路线，垂足为C。
由题意得AB=600km，台风移动方向为北偏东60°，因此∠ABC=90°-60°=30°。
在Rt△ABC中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×600=300(\mathrm{km})$
因为$300\mathrm{km}＜500\mathrm{km}$，所以A城会受到这次台风的影响。
（2）设台风中心移动到点D时A城刚开始受影响，移动到点E时A城刚好结束受影响，则$AD=AE=500\mathrm{km}$。
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AD^2-AC^2}=\sqrt{500^2-300^2}=\sqrt{160000}=400(\mathrm{km})$
同理可得$CE=400\mathrm{km}$，因此台风影响A城时移动的总路程$DE=CD+CE=400+400=800(\mathrm{km})$。
已知台风移动速度为200km/h，因此影响时间$t=800÷200=4(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) A城受到这次台风的影响，理由见解析；
(2) 4 h
【知识点】
30°直角三角形性质，勾股定理，方向角应用
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的实际应用，解题关键是通过作垂线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，能有效锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
15. 如图,笔直的河流一侧有一旅游地 C,河边有两个漂流点 A, B. 其中 AB = AC, 由于某种原因,由点 C 到点 A 的路现在不通.为方便游客,决定在河边新建一个漂流点 H(A, H, B三点在同一直线上),并新修一条路 CH,测得 BC = 5 km, CH = 4 km, BH = 3 km.
(1) 判断 $△ BCH$ 的形状,并说明理由;
(2) 求原路线 AC 的长.
(1) 判断 $△ BCH$ 的形状,并说明理由;
(2) 求原路线 AC 的长.
答案
(1) 直角三角形，理由略 (2) $\dfrac{25}{6}\ \mathrm{km}$
解析
【分析】
(1) 判断△BCH的形状时，已知三边的长度，可优先用勾股定理的逆定理验证：若三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，只需计算验证三边的平方关系即可。
(2) 求AC的长时，已知AB=AC，可设AC的长度为x，则AB=x，结合第一问得出的CH⊥AB的结论，可知△ACH为直角三角形，利用勾股定理列关于x的方程，解方程即可求出AC的长度。
【解析】
(1) △BCH是直角三角形，理由如下：
在△BCH中，CH=4km，BH=3km，BC=5km，
∵ $CH^2 + BH^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$，$BC^2 = 5^2 = 25$，
∴ $CH^2 + BH^2 = BC^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得△BCH是直角三角形，且$∠ CHB = 90°$，即$CH ⊥ AB$。
(2) 设$AC = x\ \mathrm{km}$，
∵ $AB = AC$，
∴ $AB = x\ \mathrm{km}$，
∵ A、H、B三点共线，
∴ $AH = AB - BH = (x - 3)\ \mathrm{km}$，
由(1)知$∠ CHA = 180° - ∠ CHB = 90°$，即△ACH为直角三角形，
在$Rt△ ACH$中，根据勾股定理可得：$AC^2 = AH^2 + CH^2$，
代入数据得：$x^2 = (x - 3)^2 + 4^2$，
展开得：$x^2 = x^2 - 6x + 9 + 16$，
移项化简得：$6x = 25$，
解得：$x = \dfrac{25}{6}$。
【答案】
(1) △BCH是直角三角形；(2) $\dfrac{25}{6}\ \mathrm{km}$
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，一元一次方程的应用
【点评】
本题是勾股定理相关的基础应用题型，先通过边长关系判定直角三角形，再借助直角三角形的性质结合方程思想求解未知边长，解题的核心是熟练掌握勾股定理及其逆定理的使用条件。
【难度系数】
0.7
(1) 判断△BCH的形状时，已知三边的长度，可优先用勾股定理的逆定理验证：若三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，只需计算验证三边的平方关系即可。
(2) 求AC的长时，已知AB=AC，可设AC的长度为x，则AB=x，结合第一问得出的CH⊥AB的结论，可知△ACH为直角三角形，利用勾股定理列关于x的方程，解方程即可求出AC的长度。
【解析】
(1) △BCH是直角三角形，理由如下：
在△BCH中，CH=4km，BH=3km，BC=5km，
∵ $CH^2 + BH^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$，$BC^2 = 5^2 = 25$，
∴ $CH^2 + BH^2 = BC^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得△BCH是直角三角形，且$∠ CHB = 90°$，即$CH ⊥ AB$。
(2) 设$AC = x\ \mathrm{km}$，
∵ $AB = AC$，
∴ $AB = x\ \mathrm{km}$，
∵ A、H、B三点共线，
∴ $AH = AB - BH = (x - 3)\ \mathrm{km}$，
由(1)知$∠ CHA = 180° - ∠ CHB = 90°$，即△ACH为直角三角形，
在$Rt△ ACH$中，根据勾股定理可得：$AC^2 = AH^2 + CH^2$，
代入数据得：$x^2 = (x - 3)^2 + 4^2$，
展开得：$x^2 = x^2 - 6x + 9 + 16$，
移项化简得：$6x = 25$，
解得：$x = \dfrac{25}{6}$。
【答案】
(1) △BCH是直角三角形；(2) $\dfrac{25}{6}\ \mathrm{km}$
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，一元一次方程的应用
【点评】
本题是勾股定理相关的基础应用题型，先通过边长关系判定直角三角形，再借助直角三角形的性质结合方程思想求解未知边长，解题的核心是熟练掌握勾股定理及其逆定理的使用条件。
【难度系数】
0.7
