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12. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面时还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面（此时绳子被拉直），求旗杆的高度.
答案
12 m
解析
【分析】
这是一道结合勾股定理求解实际问题的应用题，解题思路如下：首先可将题目中的场景抽象为几何模型：旗杆与地面垂直，拉开的绳子、旗杆、地面水平距离恰好构成直角三角形。我们设旗杆高度为未知数，根据“绳子垂到地面还多1m”表示出绳子总长度，再利用勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”列方程，求解即可得到旗杆高度。
【解析】
解：设旗杆的高度为$x\ \mathrm{m}$，则旗杆顶端绳子的总长度为$(x+1)\ \mathrm{m}$。
由题意可知，旗杆垂直于地面，拉开绳子后，旗杆、地面水平距离5m、拉直的绳子构成直角三角形，其中绳子为斜边。
根据勾股定理列方程：
$x^2 + 5^2 = (x+1)^2$
展开等式右侧得：$x^2 + 25 = x^2 + 2x + 1$
移项化简得：$2x = 24$
解得：$x = 12$
【答案】
12 m
【知识点】
1.勾股定理 2.一元一次方程的应用
【点评】
本题是方程思想结合勾股定理解决实际问题的经典题型，解题核心是从实际场景中正确抽象出直角三角形模型，准确梳理各边的数量关系列方程，同时要注意解方程时的计算准确性。
【难度系数】
0.7
这是一道结合勾股定理求解实际问题的应用题，解题思路如下：首先可将题目中的场景抽象为几何模型：旗杆与地面垂直，拉开的绳子、旗杆、地面水平距离恰好构成直角三角形。我们设旗杆高度为未知数，根据“绳子垂到地面还多1m”表示出绳子总长度，再利用勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”列方程，求解即可得到旗杆高度。
【解析】
解：设旗杆的高度为$x\ \mathrm{m}$，则旗杆顶端绳子的总长度为$(x+1)\ \mathrm{m}$。
由题意可知，旗杆垂直于地面，拉开绳子后，旗杆、地面水平距离5m、拉直的绳子构成直角三角形，其中绳子为斜边。
根据勾股定理列方程：
$x^2 + 5^2 = (x+1)^2$
展开等式右侧得：$x^2 + 25 = x^2 + 2x + 1$
移项化简得：$2x = 24$
解得：$x = 12$
【答案】
12 m
【知识点】
1.勾股定理 2.一元一次方程的应用
【点评】
本题是方程思想结合勾股定理解决实际问题的经典题型，解题核心是从实际场景中正确抽象出直角三角形模型，准确梳理各边的数量关系列方程，同时要注意解方程时的计算准确性。
【难度系数】
0.7
13. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $AD, BE$ 分别为边 $BC, AC$ 上的中线.
(1) 若 $CD=4, CE=3, AB=10$, 求证: $∠ C=90°$;
(2) 若 $∠ C=90°, AD=6, BE=8$, 求 $AB$ 的长.
(1) 若 $CD=4, CE=3, AB=10$, 求证: $∠ C=90°$;
(2) 若 $∠ C=90°, AD=6, BE=8$, 求 $AB$ 的长.
答案
(1)略 (2)$4\sqrt{5}$
解析
【分析】
(1) 要证明∠C=90°，可利用勾股定理的逆定理，验证△ABC中AC²+BC²是否等于AB²。首先根据三角形中线的定义，由已知的CD、CE长度求出BC、AC的长度，再计算三边平方关系即可得证。
(2) 已知∠C=90°，AD、BE为中线，可设未知数表示AC、BC的一半，分别在两个直角三角形中利用勾股定理列方程，求出两未知数平方和的值，再在Rt△ABC中用勾股定理计算AB的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵AD是BC边上的中线，CD=4，
∴BC=2CD=8，
∵BE是AC边上的中线，CE=3，
∴AC=2CE=6。
计算得：$AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$AB^2=10^2=100$，
∴$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且$∠ C=90°$。
(2) 解：
设$CE=x$，$CD=y$，
∵BE是AC边上的中线，
∴$AC=2CE=2x$，
∵AD是BC边上的中线，
∴$BC=2CD=2y$。
∵$∠ C=90°$，
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：$AC^2 + CD^2 = AD^2$，即$(2x)^2 + y^2 = 6^2$，化简得$4x^2 + y^2 = 36$ ①；
在$Rt△ BCE$中，由勾股定理得：$BC^2 + CE^2 = BE^2$，即$(2y)^2 + x^2 = 8^2$，化简得$x^2 + 4y^2 = 64$ ②。
①+②得：$5x^2 + 5y^2 = 100$，整理得$x^2 + y^2 = 20$。
在$Rt△ ABC$中，$AB^2 = AC^2 + BC^2 = (2x)^2 + (2y)^2 = 4x^2 + 4y^2 = 4(x^2 + y^2) = 4×20 = 80$，
∴$AB=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$（线段长度为正，舍去负根）。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $4\sqrt{5}$
【知识点】
三角形中线的定义，勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题结合三角形中线的性质考查勾股定理及其逆定理的应用，第二问通过设参数建立方程，整体代入求解，能很好地考查方程思想和整体思想的运用。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明∠C=90°，可利用勾股定理的逆定理，验证△ABC中AC²+BC²是否等于AB²。首先根据三角形中线的定义，由已知的CD、CE长度求出BC、AC的长度，再计算三边平方关系即可得证。
(2) 已知∠C=90°，AD、BE为中线，可设未知数表示AC、BC的一半，分别在两个直角三角形中利用勾股定理列方程，求出两未知数平方和的值，再在Rt△ABC中用勾股定理计算AB的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵AD是BC边上的中线，CD=4，
∴BC=2CD=8，
∵BE是AC边上的中线，CE=3，
∴AC=2CE=6。
计算得：$AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$AB^2=10^2=100$，
∴$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且$∠ C=90°$。
(2) 解：
设$CE=x$，$CD=y$，
∵BE是AC边上的中线，
∴$AC=2CE=2x$，
∵AD是BC边上的中线，
∴$BC=2CD=2y$。
∵$∠ C=90°$，
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：$AC^2 + CD^2 = AD^2$，即$(2x)^2 + y^2 = 6^2$，化简得$4x^2 + y^2 = 36$ ①；
在$Rt△ BCE$中，由勾股定理得：$BC^2 + CE^2 = BE^2$，即$(2y)^2 + x^2 = 8^2$，化简得$x^2 + 4y^2 = 64$ ②。
①+②得：$5x^2 + 5y^2 = 100$，整理得$x^2 + y^2 = 20$。
在$Rt△ ABC$中，$AB^2 = AC^2 + BC^2 = (2x)^2 + (2y)^2 = 4x^2 + 4y^2 = 4(x^2 + y^2) = 4×20 = 80$，
∴$AB=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$（线段长度为正，舍去负根）。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $4\sqrt{5}$
【知识点】
三角形中线的定义，勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题结合三角形中线的性质考查勾股定理及其逆定理的应用，第二问通过设参数建立方程，整体代入求解，能很好地考查方程思想和整体思想的运用。
【难度系数】
0.7
