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8. 如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O, E为边BC的中点,连接OE.若AC=6, BD=8, 则OE=(
A.2
B.$\dfrac{5}{2}$
C.3
D.4
B
).A.2
B.$\dfrac{5}{2}$
C.3
D.4
答案
B
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，根据菱形的性质，对角线互相垂直且平分，可先求出线段OB、OC的长度，同时得到△BOC是直角三角形；第二步，在Rt△BOC中利用勾股定理计算出边BC的长度；第三步，已知E是BC中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，即可求出OE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，$OC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$，$OB=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×8=4$，
∴△BOC是直角三角形，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
∵E为BC的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴$OE=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握菱形对角线的性质，结合直角三角形的相关性质进行推导计算，只要理清各线段之间的关系即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，根据菱形的性质，对角线互相垂直且平分，可先求出线段OB、OC的长度，同时得到△BOC是直角三角形；第二步，在Rt△BOC中利用勾股定理计算出边BC的长度；第三步，已知E是BC中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，即可求出OE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，$OC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$，$OB=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×8=4$，
∴△BOC是直角三角形，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
∵E为BC的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴$OE=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握菱形对角线的性质，结合直角三角形的相关性质进行推导计算，只要理清各线段之间的关系即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
9. 在 $△ ABC$ 中，$AB = 13$，$AC = 15$，边 $BC$ 上的高为 12. 则 $△ ABC$ 的面积为(
A.24 或 84
B.84
C.48 或 84
D.48
A
).A.24 或 84
B.84
C.48 或 84
D.48
答案
A
解析
【分析】
解决这道题首先要注意：三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部（钝角三角形的高），所以需要分两种情况讨论。解题步骤依次为：1. 设BC边上的高为AD，构造两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD；2. 用勾股定理分别计算BD、CD的长度；3. 结合高的位置求出对应情况下BC的总长度；4. 用三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
设BC边上的高为AD，AD=12，AD⊥BC，因此△ABD和△ACD均为直角三角形。
情况1：高AD在△ABC内部（△ABC为锐角三角形）：
根据勾股定理：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9$
此时$BC=BD+CD=5+9=14$
三角形面积$S=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×14×12=84$
情况2：高AD在△ABC外部（△ABC为钝角三角形）：
此时D在CB的延长线上，同理可得BD=5，CD=9
$BC=CD-BD=9-5=4$
三角形面积$S=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×4×12=24$
综上，△ABC的面积为24或84。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，三角形的高，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略钝角三角形的高在三角形外部的情况，只计算锐角三角形的面积。解题时遇到涉及三角形高的问题，要注意考虑高的位置是否有多种可能，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解决这道题首先要注意：三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部（钝角三角形的高），所以需要分两种情况讨论。解题步骤依次为：1. 设BC边上的高为AD，构造两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD；2. 用勾股定理分别计算BD、CD的长度；3. 结合高的位置求出对应情况下BC的总长度；4. 用三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
设BC边上的高为AD，AD=12，AD⊥BC，因此△ABD和△ACD均为直角三角形。
情况1：高AD在△ABC内部（△ABC为锐角三角形）：
根据勾股定理：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9$
此时$BC=BD+CD=5+9=14$
三角形面积$S=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×14×12=84$
情况2：高AD在△ABC外部（△ABC为钝角三角形）：
此时D在CB的延长线上，同理可得BD=5，CD=9
$BC=CD-BD=9-5=4$
三角形面积$S=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×4×12=24$
综上，△ABC的面积为24或84。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，三角形的高，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略钝角三角形的高在三角形外部的情况，只计算锐角三角形的面积。解题时遇到涉及三角形高的问题，要注意考虑高的位置是否有多种可能，避免漏解。
【难度系数】
0.6
10. 在$△ ABC$中，$AB=AC=10$，$BD$是边$AC$上的高，$DC=2$，则$BD$等于（
A.4
B.6
C.8
D.$2\sqrt{10}$
B
）.A.4
B.6
C.8
D.$2\sqrt{10}$
答案
B
解析
【分析】
解题首先从已知的AC和DC长度入手，先计算出线段AD的长度；再根据BD是AC边上的高，可得△ABD是直角三角形，最后利用勾股定理即可求出BD的长度。
【解析】
已知$AC=10$，$DC=2$，
则$AD=AC-DC=10-2=8$。
∵$BD$是$AC$边上的高，
∴$∠ ADB=90°$，即$△ ABD$是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB=10$，$AD=8$，根据勾股定理$AB^2=AD^2+BD^2$，
可得$BD^2=AB^2-AD^2=10^2-8^2=100-64=36$，
∵线段长度为正数，
∴$BD=\sqrt{36}=6$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，三角形高的定义，线段和差计算
【点评】
本题属于基础计算题，解题的关键是结合高的性质得到直角三角形，再利用勾股定理列式计算，掌握勾股定理的适用条件即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题首先从已知的AC和DC长度入手，先计算出线段AD的长度；再根据BD是AC边上的高，可得△ABD是直角三角形，最后利用勾股定理即可求出BD的长度。
【解析】
已知$AC=10$，$DC=2$，
则$AD=AC-DC=10-2=8$。
∵$BD$是$AC$边上的高，
∴$∠ ADB=90°$，即$△ ABD$是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB=10$，$AD=8$，根据勾股定理$AB^2=AD^2+BD^2$，
可得$BD^2=AB^2-AD^2=10^2-8^2=100-64=36$，
∵线段长度为正数，
∴$BD=\sqrt{36}=6$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，三角形高的定义，线段和差计算
【点评】
本题属于基础计算题，解题的关键是结合高的性质得到直角三角形，再利用勾股定理列式计算，掌握勾股定理的适用条件即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
三、解答题
11. 如图,某社区要在 AB 所在的直线 $ l $ 上建一图书室.本社区有两所学校,所在位置在点 $ C $和点 $ D $ 处, $ CA ⊥ l $ 于点 $ A $, $ DB ⊥ l $ 于点 $ B $.已知 $ AB=25 \ \mathrm{km} $, $ CA =15 \ \mathrm{km} $, $ DB=10 \ \mathrm{km} $.图书室 $ E $ 应该建在距点 $ A $ 多远处,才能使它到两所学校的距离相等?
11. 如图,某社区要在 AB 所在的直线 $ l $ 上建一图书室.本社区有两所学校,所在位置在点 $ C $和点 $ D $ 处, $ CA ⊥ l $ 于点 $ A $, $ DB ⊥ l $ 于点 $ B $.已知 $ AB=25 \ \mathrm{km} $, $ CA =15 \ \mathrm{km} $, $ DB=10 \ \mathrm{km} $.图书室 $ E $ 应该建在距点 $ A $ 多远处,才能使它到两所学校的距离相等?
答案
10 km
解析
【分析】
要使图书室E到两所学校C、D的距离相等，即满足EC=ED。我们可以设E到A的距离为未知数，结合CA⊥l、DB⊥l的垂直条件，可知△CAE和△EBD都是直角三角形，利用勾股定理分别表示出EC²和ED²，再根据EC=ED则二者平方相等的关系列方程求解即可。
【解析】
设图书室E距点A的距离为$x\ \mathrm{km}$，则E距点B的距离为$(25-x)\ \mathrm{km}$。
$\because CA⊥ l$，$DB⊥ l$
$\therefore ∠ CAE=∠ EBD=90°$，$△ CAE$和$△ EBD$均为直角三角形。
根据勾股定理：
在$\mathrm{Rt}△ CAE$中，$CE^2=CA^2+AE^2=15^2+x^2$
在$\mathrm{Rt}△ EBD$中，$ED^2=DB^2+EB^2=10^2+(25-x)^2$
$\because CE=ED$
$\therefore CE^2=ED^2$，即：
$15^2+x^2=10^2+(25-x)^2$
展开得：$225+x^2=100+625-50x+x^2$
消去$x^2$，整理得：$50x=500$
解得：$x=10$
【答案】
10 km
【知识点】
勾股定理；一元一次方程的应用；垂直的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类题目，通过设未知数结合几何性质建立方程求解，体现了数形结合和方程思想的运用，解题关键是抓住距离相等的条件列出等式。
【难度系数】
0.7
要使图书室E到两所学校C、D的距离相等，即满足EC=ED。我们可以设E到A的距离为未知数，结合CA⊥l、DB⊥l的垂直条件，可知△CAE和△EBD都是直角三角形，利用勾股定理分别表示出EC²和ED²，再根据EC=ED则二者平方相等的关系列方程求解即可。
【解析】
设图书室E距点A的距离为$x\ \mathrm{km}$，则E距点B的距离为$(25-x)\ \mathrm{km}$。
$\because CA⊥ l$，$DB⊥ l$
$\therefore ∠ CAE=∠ EBD=90°$，$△ CAE$和$△ EBD$均为直角三角形。
根据勾股定理：
在$\mathrm{Rt}△ CAE$中，$CE^2=CA^2+AE^2=15^2+x^2$
在$\mathrm{Rt}△ EBD$中，$ED^2=DB^2+EB^2=10^2+(25-x)^2$
$\because CE=ED$
$\therefore CE^2=ED^2$，即：
$15^2+x^2=10^2+(25-x)^2$
展开得：$225+x^2=100+625-50x+x^2$
消去$x^2$，整理得：$50x=500$
解得：$x=10$
【答案】
10 km
【知识点】
勾股定理；一元一次方程的应用；垂直的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类题目，通过设未知数结合几何性质建立方程求解，体现了数形结合和方程思想的运用，解题关键是抓住距离相等的条件列出等式。
【难度系数】
0.7
