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1. 等腰三角形$ABC$中，如果一腰$AB$上的高为$\sqrt{2}$，这条高与底边的夹角为$45°$，则$△ ABC$的周长为________.
答案
$2+2\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先根据题意画出图形，先在腰上的高、底边、腰的一部分构成的直角三角形中，利用直角三角形两锐角互余求出等腰三角形的底角度数，进而判断出△ABC是顶角为90°的等腰直角三角形；再结合腰上高的长度求出腰长，最后利用勾股定理求出底边长，三边相加即可得到周长。
【解析】
设AB、AC为等腰△ABC的腰，BC为底边，CD是腰AB上的高，垂足为D，由题意得CD=√2，∠CDB=90°，高CD与底边BC的夹角∠DCB=45°。
1. 在Rt△CDB中，根据直角三角形两锐角互余，可得∠B=90°-∠DCB=90°-45°=45°。
2. 因为△ABC是等腰三角形，AB=AC，所以底角∠B=∠ACB=45°，因此顶角∠A=180°-∠B-∠ACB=90°，即△ABC是等腰直角三角形，∠A为直角。
3. 因为∠A=90°，所以AC⊥AB，即AC就是点C到AB的高，因此AC=CD=√2，所以AB=AC=√2。
4. 在Rt△ABC中，由勾股定理得底边长BC=√(AB²+AC²)=√((√2)²+(√2)²)=√(2+2)=2。
5. 三角形周长为AB+AC+BC=√2+√2+2=2+2√2。
【答案】
$2+2\sqrt{2}$
【知识点】
等腰三角形性质；直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题是等腰三角形与直角三角形性质的综合应用题，解题的核心是通过高与底边的夹角推导得出三角形为等腰直角三角形，解题时建议先画图辅助分析，避免混淆各边和角的对应关系。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据题意画出图形，先在腰上的高、底边、腰的一部分构成的直角三角形中，利用直角三角形两锐角互余求出等腰三角形的底角度数，进而判断出△ABC是顶角为90°的等腰直角三角形；再结合腰上高的长度求出腰长，最后利用勾股定理求出底边长，三边相加即可得到周长。
【解析】
设AB、AC为等腰△ABC的腰，BC为底边，CD是腰AB上的高，垂足为D，由题意得CD=√2，∠CDB=90°，高CD与底边BC的夹角∠DCB=45°。
1. 在Rt△CDB中，根据直角三角形两锐角互余，可得∠B=90°-∠DCB=90°-45°=45°。
2. 因为△ABC是等腰三角形，AB=AC，所以底角∠B=∠ACB=45°，因此顶角∠A=180°-∠B-∠ACB=90°，即△ABC是等腰直角三角形，∠A为直角。
3. 因为∠A=90°，所以AC⊥AB，即AC就是点C到AB的高，因此AC=CD=√2，所以AB=AC=√2。
4. 在Rt△ABC中，由勾股定理得底边长BC=√(AB²+AC²)=√((√2)²+(√2)²)=√(2+2)=2。
5. 三角形周长为AB+AC+BC=√2+√2+2=2+2√2。
【答案】
$2+2\sqrt{2}$
【知识点】
等腰三角形性质；直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题是等腰三角形与直角三角形性质的综合应用题，解题的核心是通过高与底边的夹角推导得出三角形为等腰直角三角形，解题时建议先画图辅助分析，避免混淆各边和角的对应关系。
【难度系数】
0.6
2. 以三角形三边分别向形外作正方形，正方形的面积分别是9，25，16，则此三角形为
直角
三角形。答案
直角
解析
【分析】
我们可以先结合正方形面积公式，把三个正方形的面积转化为三角形对应三边的平方值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状：首先回忆正方形面积等于边长的平方，因此每个正方形的面积恰好是对应三角形边长的平方；接下来找到三个面积中最大的数值，验证另外两个较小的面积之和是否等于最大的面积，若相等就满足勾股定理逆定理的条件，可判定为直角三角形。
【解析】
设三角形的三条边从小到大分别为$a$、$b$、$c$。
因为以三角形三边为边的正方形面积分别为9、16、25，根据正方形面积公式$S=\mathrm{边长}^2$，可得：
$a^2=9$，$b^2=16$，$c^2=25$
计算较小两边的平方和：$a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25 = c^2$
根据勾股定理的逆定理：如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，因此该三角形为直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
勾股定理的逆定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题的核心是建立正方形面积和三角形边长平方的对应关系，熟练掌握勾股定理逆定理的判定规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
我们可以先结合正方形面积公式，把三个正方形的面积转化为三角形对应三边的平方值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状：首先回忆正方形面积等于边长的平方，因此每个正方形的面积恰好是对应三角形边长的平方；接下来找到三个面积中最大的数值，验证另外两个较小的面积之和是否等于最大的面积，若相等就满足勾股定理逆定理的条件，可判定为直角三角形。
【解析】
设三角形的三条边从小到大分别为$a$、$b$、$c$。
因为以三角形三边为边的正方形面积分别为9、16、25，根据正方形面积公式$S=\mathrm{边长}^2$，可得：
$a^2=9$，$b^2=16$，$c^2=25$
计算较小两边的平方和：$a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25 = c^2$
根据勾股定理的逆定理：如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，因此该三角形为直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
勾股定理的逆定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题的核心是建立正方形面积和三角形边长平方的对应关系，熟练掌握勾股定理逆定理的判定规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AB = 7$，则$AB^2 + BC^2 + AC^2$的值为________.
答案
98
解析
【分析】
看到题目中出现直角三角形且求各边长平方的和，首先联想到勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。本题中∠C=90°，因此斜边为AB，可先将BC²+AC²替换为AB²，再代入已知的AB长度计算即可。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠C=90°，
∴ △ABC是直角三角形，AB为斜边，
根据勾股定理得：$BC^2 + AC^2 = AB^2$，
则 $AB^2 + BC^2 + AC^2 = AB^2 + AB^2 = 2AB^2$，
又
∵ AB=7，
∴ $2AB^2 = 2×7^2 = 2×49 = 98$。
【答案】
98
【知识点】
勾股定理、代数式代入求值
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题的核心是准确判断直角三角形的斜边，利用勾股定理将所求式子简化后计算即可，整体计算量小，不易出错。
【难度系数】
0.9
看到题目中出现直角三角形且求各边长平方的和，首先联想到勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。本题中∠C=90°，因此斜边为AB，可先将BC²+AC²替换为AB²，再代入已知的AB长度计算即可。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠C=90°，
∴ △ABC是直角三角形，AB为斜边，
根据勾股定理得：$BC^2 + AC^2 = AB^2$，
则 $AB^2 + BC^2 + AC^2 = AB^2 + AB^2 = 2AB^2$，
又
∵ AB=7，
∴ $2AB^2 = 2×7^2 = 2×49 = 98$。
【答案】
98
【知识点】
勾股定理、代数式代入求值
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题的核心是准确判断直角三角形的斜边，利用勾股定理将所求式子简化后计算即可，整体计算量小，不易出错。
【难度系数】
0.9
4. 在$△ ABC$中，$AB=15$，$AC=13$，高$AD=12$，则$△ ABC$的周长为________.
答案
42 或 32
解析
【分析】
解题时首先要明确三角形的高的位置有两种可能：高在三角形内部（对应锐角三角形）、高在三角形外部（对应钝角三角形，需排除高和边重合的直角三角形情况）。接下来分别在两个直角三角形ABD、ACD中用勾股定理求出BD、CD的长度，再根据高的位置不同计算BC的长度，最后相加得到三角形周长即可，注意不要漏掉任意一种情况。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当高AD在$△ ABC$内部时：
∵AD是$△ ABC$的高，
∴$∠ ADB=∠ ADC=90°$
在$Rt△ ABD$中，$AB=15$，$AD=12$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9$
在$Rt△ ACD$中，$AC=13$，$AD=12$，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$
∴$BC=BD+CD=9+5=14$
此时$△ ABC$的周长为$AB+AC+BC=15+13+14=42$
② 当高AD在$△ ABC$外部时：
同理可得$BD=9$，$CD=5$
此时$BC=BD-CD=9-5=4$
∴$△ ABC$的周长为$AB+AC+BC=15+13+4=32$
综上，$△ ABC$的周长为42或32。
【答案】
42 或 32
【知识点】
勾股定理，三角形的高，周长计算
【点评】
本题容易因忽略高在三角形外部的情况导致漏解，主要考查勾股定理的应用和分类讨论的数学思想，对思维的严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确三角形的高的位置有两种可能：高在三角形内部（对应锐角三角形）、高在三角形外部（对应钝角三角形，需排除高和边重合的直角三角形情况）。接下来分别在两个直角三角形ABD、ACD中用勾股定理求出BD、CD的长度，再根据高的位置不同计算BC的长度，最后相加得到三角形周长即可，注意不要漏掉任意一种情况。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当高AD在$△ ABC$内部时：
∵AD是$△ ABC$的高，
∴$∠ ADB=∠ ADC=90°$
在$Rt△ ABD$中，$AB=15$，$AD=12$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9$
在$Rt△ ACD$中，$AC=13$，$AD=12$，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$
∴$BC=BD+CD=9+5=14$
此时$△ ABC$的周长为$AB+AC+BC=15+13+14=42$
② 当高AD在$△ ABC$外部时：
同理可得$BD=9$，$CD=5$
此时$BC=BD-CD=9-5=4$
∴$△ ABC$的周长为$AB+AC+BC=15+13+4=32$
综上，$△ ABC$的周长为42或32。
【答案】
42 或 32
【知识点】
勾股定理，三角形的高，周长计算
【点评】
本题容易因忽略高在三角形外部的情况导致漏解，主要考查勾股定理的应用和分类讨论的数学思想，对思维的严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.6
5. 如图,有一个边长为1的正方形,经过一次“生长”后,在它的左右肩上生出两个小正方形,其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形.再经过相同的“生长”,它将变得“枝繁叶茂”,请你计算出它“生长”了2 024次后形成的图形中所有正方形的面积之和为
2025
.答案
2025
解析
【分析】
解题时先结合勾股定理的几何意义分析每次“生长”的面积变化规律：首先明确直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积。我们从简单的生长次数入手推导：生长0次时，仅有的正方形面积为1；生长1次时，新增的两个小正方形面积和等于原正方形面积1，总面和为2；生长2次时，新增正方形面积总和仍为1，总面和为3；由此可归纳出生长n次后总面积和的规律，代入n=2024即可求解。
【解析】
解：①初始状态（生长0次）：只有边长为1的正方形，面积为$1^2=1$，即所有正方形面积和$S_0=1$。
②根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，对应几何意义为：直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积。
生长1次后，新增的2个小正方形的面积之和等于原正方形的面积1，此时所有正方形面积和$S_1=1+1=2$；
生长2次后，本次新增的所有正方形面积之和仍为1，此时总面积和$S_2=2+1=3$；
……
以此类推，每生长1次，所有正方形的总面积和增加1，因此生长$n$次后，所有正方形的面积和为$S_n=n+1$。
③当$n=2024$时，$S_{2024}=2024+1=2025$。
【答案】
2025
【知识点】
勾股定理，规律探究
【点评】
本题结合勾股定理的几何意义考查图形规律的探究，解题核心是发现每次生长新增的正方形面积总和为定值1，通过从简单情况归纳规律即可快速得到结果，很好地考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
解题时先结合勾股定理的几何意义分析每次“生长”的面积变化规律：首先明确直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积。我们从简单的生长次数入手推导：生长0次时，仅有的正方形面积为1；生长1次时，新增的两个小正方形面积和等于原正方形面积1，总面和为2；生长2次时，新增正方形面积总和仍为1，总面和为3；由此可归纳出生长n次后总面积和的规律，代入n=2024即可求解。
【解析】
解：①初始状态（生长0次）：只有边长为1的正方形，面积为$1^2=1$，即所有正方形面积和$S_0=1$。
②根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，对应几何意义为：直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积。
生长1次后，新增的2个小正方形的面积之和等于原正方形的面积1，此时所有正方形面积和$S_1=1+1=2$；
生长2次后，本次新增的所有正方形面积之和仍为1，此时总面积和$S_2=2+1=3$；
……
以此类推，每生长1次，所有正方形的总面积和增加1，因此生长$n$次后，所有正方形的面积和为$S_n=n+1$。
③当$n=2024$时，$S_{2024}=2024+1=2025$。
【答案】
2025
【知识点】
勾股定理，规律探究
【点评】
本题结合勾股定理的几何意义考查图形规律的探究，解题核心是发现每次生长新增的正方形面积总和为定值1，通过从简单情况归纳规律即可快速得到结果，很好地考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
6. 如图,所有阴影部分四边形都是正方形,所有空白三角形都是直角三角形,若正方形 A, B, D 的面积依次为 6, 10, 24,则正方形 C 的面积为(
A.4
B.6
C.8
D.12
C
).A.4
B.6
C.8
D.12
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以结合勾股定理的几何意义推导：直角三角形中，以两条直角边为边长的正方形面积之和，等于以斜边为边长的正方形面积。首先观察左侧直角三角形，它的两条直角边分别对应正方形A、B的边长，斜边对应中间阴影正方形的边长，因此可以先求出中间正方形的面积；再观察右侧直角三角形，它的两条直角边分别对应中间正方形、正方形C的边长，斜边对应正方形D的边长，结合已知的D的面积即可求出C的面积。
【解析】
设中间阴影正方形的面积为$ S $。
根据勾股定理的几何意义：
1. 左侧直角三角形中，斜边对应中间正方形的边长，因此：
$ S = S_A + S_B = 6 + 10 = 16 $
2. 右侧直角三角形中，斜边对应正方形D的边长，因此：
$ S + S_C = S_D $
将$ S=16 $、$ S_D=24 $代入上式得：
$ S_C = S_D - S = 24 - 16 = 8 $
即正方形C的面积为8。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的几何意义，正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理与正方形面积的结合应用题，解题核心是找到直角三角形三边对应的正方形，通过勾股定理建立面积的等量关系，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以结合勾股定理的几何意义推导：直角三角形中，以两条直角边为边长的正方形面积之和，等于以斜边为边长的正方形面积。首先观察左侧直角三角形，它的两条直角边分别对应正方形A、B的边长，斜边对应中间阴影正方形的边长，因此可以先求出中间正方形的面积；再观察右侧直角三角形，它的两条直角边分别对应中间正方形、正方形C的边长，斜边对应正方形D的边长，结合已知的D的面积即可求出C的面积。
【解析】
设中间阴影正方形的面积为$ S $。
根据勾股定理的几何意义：
1. 左侧直角三角形中，斜边对应中间正方形的边长，因此：
$ S = S_A + S_B = 6 + 10 = 16 $
2. 右侧直角三角形中，斜边对应正方形D的边长，因此：
$ S + S_C = S_D $
将$ S=16 $、$ S_D=24 $代入上式得：
$ S_C = S_D - S = 24 - 16 = 8 $
即正方形C的面积为8。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的几何意义，正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理与正方形面积的结合应用题，解题核心是找到直角三角形三边对应的正方形，通过勾股定理建立面积的等量关系，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.7
7. 如图,正方体盒子的棱长为 2，BC 的中点为 M，一只蚂蚁从点 A 爬行到点 M 的最短距离为(
A.$\sqrt{13}$
B.$\sqrt{17}$
C.5
D.$2+\sqrt{5}$
A
).A.$\sqrt{13}$
B.$\sqrt{17}$
C.5
D.$2+\sqrt{5}$
答案
A
解析
【分析】
要计算正方体表面上蚂蚁从A到M的最短距离，属于立体图形表面最短路径问题，核心思路是化曲为直：先将包含A、M两点的相邻两个面展开到同一平面内，根据“两点之间，线段最短”，此时A、M两点的线段长度就是最短爬行距离，再结合勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
解：已知正方体棱长为2，M是BC的中点，因此$MC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2=1$。
将点A所在的右侧面与点M所在的正面展开到同一平面，此时A、M两点可看作直角三角形的两个端点，该直角三角形的两条直角边长度分别为：
一条直角边为正方体的棱长2，另一条直角边长度为$2 + 1 = 3$。
根据勾股定理，最短距离$AM=\sqrt{3^2 + 2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
正方体展开图；两点之间线段最短；勾股定理的应用
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型题型，解题的关键是合理将立体图形展开为平面图形，把空间距离转化为平面上的两点距离，再结合勾股定理计算，解题时要注意准确判断展开后直角边的长度，避免因展开面选择错误导致计算失误。
【难度系数】
0.7
要计算正方体表面上蚂蚁从A到M的最短距离，属于立体图形表面最短路径问题，核心思路是化曲为直：先将包含A、M两点的相邻两个面展开到同一平面内，根据“两点之间，线段最短”，此时A、M两点的线段长度就是最短爬行距离，再结合勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
解：已知正方体棱长为2，M是BC的中点，因此$MC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2=1$。
将点A所在的右侧面与点M所在的正面展开到同一平面，此时A、M两点可看作直角三角形的两个端点，该直角三角形的两条直角边长度分别为：
一条直角边为正方体的棱长2，另一条直角边长度为$2 + 1 = 3$。
根据勾股定理，最短距离$AM=\sqrt{3^2 + 2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
正方体展开图；两点之间线段最短；勾股定理的应用
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型题型，解题的关键是合理将立体图形展开为平面图形，把空间距离转化为平面上的两点距离，再结合勾股定理计算，解题时要注意准确判断展开后直角边的长度，避免因展开面选择错误导致计算失误。
【难度系数】
0.7
