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13. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $D$ 是边 $AB$ 的中点, $DE ⊥ AB$ 于点 $D$, 交 $AC$ 于点 $E$, 且 $AE^2 - CE^2 = BC^2$.
(1) 求证: $∠ C = 90°$;
(2) 若 $DE = 6, BD = 8$, 求 $CE$ 的长.
(1) 求证: $∠ C = 90°$;
(2) 若 $DE = 6, BD = 8$, 求 $CE$ 的长.
答案
13. 连接 BE.(1) $\because D$ 是 $AB$ 的中点, $DE ⊥ AB$,
$\therefore DE$ 垂直平分 $AB.\therefore AE=BE$. 又 $\because AE^2 - CE^2 = BC^2$, $\therefore BE^2 - CE^2 = BC^2$. $\therefore △ BCE$是直角三角形,且$∠ C=90°$
(2) 在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 中, $BE=\sqrt{DE^2 + BD^2}=10.\therefore AE=10$. 设$CE=x$ ,则 $AC=10+x$ , $AB=2BD=16$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $BC^2=AB^2 - AC^2=16^2 -(10+x)^2$. 在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中, $BC^2=BE^2 - CE^2=10^2 - x^2$. $\therefore 16^2 -(10+x)^2=10^2 - x^2$. 解得 $x=2.8$. $\therefore CE$ 的长为 2.8
$\therefore DE$ 垂直平分 $AB.\therefore AE=BE$. 又 $\because AE^2 - CE^2 = BC^2$, $\therefore BE^2 - CE^2 = BC^2$. $\therefore △ BCE$是直角三角形,且$∠ C=90°$
(2) 在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 中, $BE=\sqrt{DE^2 + BD^2}=10.\therefore AE=10$. 设$CE=x$ ,则 $AC=10+x$ , $AB=2BD=16$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $BC^2=AB^2 - AC^2=16^2 -(10+x)^2$. 在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中, $BC^2=BE^2 - CE^2=10^2 - x^2$. $\therefore 16^2 -(10+x)^2=10^2 - x^2$. 解得 $x=2.8$. $\therefore CE$ 的长为 2.8
解析
【分析】
(1) 要证明∠C=90°，首先观察到D是AB中点且DE⊥AB，可知DE是AB的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得AE=BE，将题目给出的AE²-CE²=BC²中的AE替换为BE，即可得到符合勾股定理逆定理的式子，进而证明∠C为直角。
(2) 求CE长度时，先在Rt△BDE中用勾股定理算出BE的长度，即可得到AE的长度，再设CE为x，分别在Rt△ABC和Rt△BCE中用勾股定理表示出BC²，联立两个表达式得到关于x的方程，解方程即可求出CE的长。
【解析】
(1) 连接BE。
∵ D是AB的中点，DE⊥AB，
∴ DE是AB的垂直平分线，
∴ AE=BE。
又
∵ AE² - CE² = BC²，
∴ BE² - CE² = BC²，即BE²=CE²+BC²，
根据勾股定理的逆定理，可得△BCE是直角三角形，且∠C=90°。
(2) 在Rt△BDE中，DE=6，BD=8，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{DE^2+BD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
∴ AE=BE=10。
∵ D是AB中点，
∴ AB=2BD=16。
设CE=x，则AC=AE+CE=10+x。
在Rt△ABC中，由勾股定理得$BC^2=AB^2-AC^2=16^2-(10+x)^2$，
在Rt△BCE中，由勾股定理得$BC^2=BE^2-CE^2=10^2-x^2$，
∴ $16^2-(10+x)^2=10^2-x^2$，
展开计算得：$256-100-20x-x^2=100-x^2$，
化简得$20x=56$，解得$x=2.8$。
【答案】
(1) 已证∠C=90°；(2) CE的长为$\boxed{2.8}$
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 勾股定理及逆定理
3. 方程法求线段长
【点评】
本题的解题核心是通过连接BE作辅助线，将已知条件转化到同一个三角形中，结合垂直平分线性质和勾股定理相关知识求解，第二问利用公共量BC²建立方程是几何计算的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明∠C=90°，首先观察到D是AB中点且DE⊥AB，可知DE是AB的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得AE=BE，将题目给出的AE²-CE²=BC²中的AE替换为BE，即可得到符合勾股定理逆定理的式子，进而证明∠C为直角。
(2) 求CE长度时，先在Rt△BDE中用勾股定理算出BE的长度，即可得到AE的长度，再设CE为x，分别在Rt△ABC和Rt△BCE中用勾股定理表示出BC²，联立两个表达式得到关于x的方程，解方程即可求出CE的长。
【解析】
(1) 连接BE。
∵ D是AB的中点，DE⊥AB，
∴ DE是AB的垂直平分线，
∴ AE=BE。
又
∵ AE² - CE² = BC²，
∴ BE² - CE² = BC²，即BE²=CE²+BC²，
根据勾股定理的逆定理，可得△BCE是直角三角形，且∠C=90°。
(2) 在Rt△BDE中，DE=6，BD=8，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{DE^2+BD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
∴ AE=BE=10。
∵ D是AB中点，
∴ AB=2BD=16。
设CE=x，则AC=AE+CE=10+x。
在Rt△ABC中，由勾股定理得$BC^2=AB^2-AC^2=16^2-(10+x)^2$，
在Rt△BCE中，由勾股定理得$BC^2=BE^2-CE^2=10^2-x^2$，
∴ $16^2-(10+x)^2=10^2-x^2$，
展开计算得：$256-100-20x-x^2=100-x^2$，
化简得$20x=56$，解得$x=2.8$。
【答案】
(1) 已证∠C=90°；(2) CE的长为$\boxed{2.8}$
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 勾股定理及逆定理
3. 方程法求线段长
【点评】
本题的解题核心是通过连接BE作辅助线，将已知条件转化到同一个三角形中，结合垂直平分线性质和勾股定理相关知识求解，第二问利用公共量BC²建立方程是几何计算的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
14. 某工厂大门如图所示，一辆装满货物的卡车高 2.5 m、宽 1.6 m，这辆卡车能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明你的理由.
答案
14. 这辆卡车能通过厂门,理由略
解析
【分析】
判断卡车能否通过厂门，需先分析厂门结构：下方是高2.3m、宽2m的长方形，上方是直径为2m的半圆形拱门。卡车高2.5m，比长方形部分高出$2.5-2.3=0.2m$，因此只需计算卡车通行位置处，半圆拱门能提供的额外高度是否足够。解题时先取卡车宽度的一半，结合半圆半径，用勾股定理算出对应位置的拱高，再求和比较总高度即可。
【解析】
解：厂门上半部分半圆的直径为2m，因此半圆半径$r=2÷2=1m$。
卡车宽1.6m，若从厂门中间通行，其边缘到厂门中心线的水平距离为$1.6÷2=0.8m$。
设该水平位置处，长方形上沿到半圆对应点的竖直高度为$h$，根据勾股定理可得：
$h^2 + 0.8^2 = 1^2$
计算得：$h^2=1-0.64=0.36$，解得$h=0.6m$（高度为正，舍去负解）。
此时厂门在该位置的总高度为：$2.3+0.6=2.9m$。
因为$2.9m＞2.5m$，所以卡车可以通过。
【答案】
这辆卡车能通过厂门
【知识点】
勾股定理的应用，圆的基本性质
【点评】
本题是几何知识的实际应用问题，解题的关键是将实际问题转化为几何计算问题，找准对应边的长度关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
判断卡车能否通过厂门，需先分析厂门结构：下方是高2.3m、宽2m的长方形，上方是直径为2m的半圆形拱门。卡车高2.5m，比长方形部分高出$2.5-2.3=0.2m$，因此只需计算卡车通行位置处，半圆拱门能提供的额外高度是否足够。解题时先取卡车宽度的一半，结合半圆半径，用勾股定理算出对应位置的拱高，再求和比较总高度即可。
【解析】
解：厂门上半部分半圆的直径为2m，因此半圆半径$r=2÷2=1m$。
卡车宽1.6m，若从厂门中间通行，其边缘到厂门中心线的水平距离为$1.6÷2=0.8m$。
设该水平位置处，长方形上沿到半圆对应点的竖直高度为$h$，根据勾股定理可得：
$h^2 + 0.8^2 = 1^2$
计算得：$h^2=1-0.64=0.36$，解得$h=0.6m$（高度为正，舍去负解）。
此时厂门在该位置的总高度为：$2.3+0.6=2.9m$。
因为$2.9m＞2.5m$，所以卡车可以通过。
【答案】
这辆卡车能通过厂门
【知识点】
勾股定理的应用，圆的基本性质
【点评】
本题是几何知识的实际应用问题，解题的关键是将实际问题转化为几何计算问题，找准对应边的长度关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
15. 如图,在四边形 ABCD 中,$∠ABC=90^{\circ },AB=6,BC=8,CD=10,AD=10\sqrt {2}$.求:
(1) 四边形 ABCD 的面积;
(2) 对角线 BD 的长.
(1) 四边形 ABCD 的面积;
(2) 对角线 BD 的长.
答案
15. 连接 $AC$.(1) $\because ∠ ABC=90°, AB=6, BC=8, \therefore AC=\sqrt{AB^2 + BC^2}=10.\because CD=10,AD=10\sqrt{2} , \therefore CD^2 + AC^2 = AD^2$. $\therefore △ ACD$ 是直角三角形.$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=\dfrac{AB · BC}{2}+\dfrac{AC · CD}{2}=74$. $\therefore$ 四边形 $ABCD$的面积是 74
(2) 作 $DE ⊥ BC$ 交 $BC$ 的延长线于点 $E$,则 $∠ DEC=90°$. $\because ∠ ACD=90°$,$\therefore ∠ DCE + ∠ ACB=90°.\because ∠ ABC=90°$, $\therefore ∠ CAB + ∠ ACB=90°$. $\therefore ∠ DCE=∠ CAB$.
在$△ ABC$ 和$△ CED$ 中, $\begin{cases}∠ ABC=∠ CED,\\∠ CAB=∠ DCE,\\AC=CD,\end{cases}$$\therefore △ ABC ≌△ CED$. $\therefore AB=CE$, $BC=ED$.
$\because AB=6$, $BC=8$, $\therefore CE=6$, $ED=8.\therefore BE=BC+CE=14$. $\therefore BD=\sqrt{BE^2 + ED^2}=2\sqrt{65}$
(2) 作 $DE ⊥ BC$ 交 $BC$ 的延长线于点 $E$,则 $∠ DEC=90°$. $\because ∠ ACD=90°$,$\therefore ∠ DCE + ∠ ACB=90°.\because ∠ ABC=90°$, $\therefore ∠ CAB + ∠ ACB=90°$. $\therefore ∠ DCE=∠ CAB$.
在$△ ABC$ 和$△ CED$ 中, $\begin{cases}∠ ABC=∠ CED,\\∠ CAB=∠ DCE,\\AC=CD,\end{cases}$$\therefore △ ABC ≌△ CED$. $\therefore AB=CE$, $BC=ED$.
$\because AB=6$, $BC=8$, $\therefore CE=6$, $ED=8.\therefore BE=BC+CE=14$. $\therefore BD=\sqrt{BE^2 + ED^2}=2\sqrt{65}$
解析
【分析】
本题是不规则四边形的计算问题，运用转化思想求解：
(1) 求四边形面积时，因为已知∠ABC为直角，首先连接AC将四边形分割为两个三角形。先利用勾股定理算出Rt△ABC的斜边AC的长度，再结合△ACD的三边长，用勾股定理逆定理判断△ACD也为直角三角形，两个直角三角形的面积和就是四边形的总面积。
(2) 求BD长度时，构造直角三角形计算更简便，因此作DE⊥BC交BC的延长线于E。先通过同角的余角相等得到角相等，结合AC=CD、两组直角相等证明△ABC和△CED全等，得到CE、ED的长度，算出BE长度后，再用勾股定理计算BD即可。
【解析】
解：(1) 连接$AC$，
$\because ∠ABC=90°, AB=6, BC=8$，
$\therefore$ 在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
已知$CD=10,AD=10\sqrt{2}$，
$\therefore CD^2 + AC^2 = 10^2+10^2=200$，$AD^2=(10\sqrt{2})^2=200$，即$CD^2 + AC^2 = AD^2$，
根据勾股定理逆定理可得$△ ACD$是直角三角形，且$∠ACD=90°$，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=\dfrac{AB · BC}{2}+\dfrac{AC · CD}{2}=\dfrac{6×8}{2}+\dfrac{10×10}{2}=24+50=74$。
(2) 过$D$作$DE ⊥ BC$交$BC$的延长线于点$E$，则$∠ DEC=90°$，
$\because ∠ ACD=90°$，$\therefore ∠ DCE + ∠ ACB=180°-90°=90°$，
$\because ∠ ABC=90°$，$\therefore ∠ CAB + ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ DCE=∠ CAB$（同角的余角相等），
在$△ ABC$ 和$△ CED$ 中，
$\begin{cases}∠ ABC=∠ CED,\\∠ CAB=∠ DCE,\\AC=CD,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌△ CED(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AB=CE$，$BC=ED$，
$\because AB=6$，$BC=8$，$\therefore CE=6$，$ED=8$，
$\therefore BE=BC+CE=8+6=14$，
在$Rt△ BED$中，由勾股定理得$BD=\sqrt{BE^2 + ED^2}=\sqrt{14^2+8^2}=\sqrt{260}=2\sqrt{65}$。
【答案】
(1) 四边形$ABCD$的面积是$\boxed{74}$；
(2) 对角线$BD$的长为$\boxed{2\sqrt{65}}$。
【知识点】
勾股定理及逆定理，全等三角形的判定与性质，不规则图形面积计算
【点评】
本题是几何综合基础题，核心是通过添加辅助线将不规则四边形问题拆解为直角三角形、全等三角形的常规问题求解，解题时要熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用场景，学会用构造法和割补法解决几何计算问题。
【难度系数】
0.65
本题是不规则四边形的计算问题，运用转化思想求解：
(1) 求四边形面积时，因为已知∠ABC为直角，首先连接AC将四边形分割为两个三角形。先利用勾股定理算出Rt△ABC的斜边AC的长度，再结合△ACD的三边长，用勾股定理逆定理判断△ACD也为直角三角形，两个直角三角形的面积和就是四边形的总面积。
(2) 求BD长度时，构造直角三角形计算更简便，因此作DE⊥BC交BC的延长线于E。先通过同角的余角相等得到角相等，结合AC=CD、两组直角相等证明△ABC和△CED全等，得到CE、ED的长度，算出BE长度后，再用勾股定理计算BD即可。
【解析】
解：(1) 连接$AC$，
$\because ∠ABC=90°, AB=6, BC=8$，
$\therefore$ 在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
已知$CD=10,AD=10\sqrt{2}$，
$\therefore CD^2 + AC^2 = 10^2+10^2=200$，$AD^2=(10\sqrt{2})^2=200$，即$CD^2 + AC^2 = AD^2$，
根据勾股定理逆定理可得$△ ACD$是直角三角形，且$∠ACD=90°$，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=\dfrac{AB · BC}{2}+\dfrac{AC · CD}{2}=\dfrac{6×8}{2}+\dfrac{10×10}{2}=24+50=74$。
(2) 过$D$作$DE ⊥ BC$交$BC$的延长线于点$E$，则$∠ DEC=90°$，
$\because ∠ ACD=90°$，$\therefore ∠ DCE + ∠ ACB=180°-90°=90°$，
$\because ∠ ABC=90°$，$\therefore ∠ CAB + ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ DCE=∠ CAB$（同角的余角相等），
在$△ ABC$ 和$△ CED$ 中，
$\begin{cases}∠ ABC=∠ CED,\\∠ CAB=∠ DCE,\\AC=CD,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌△ CED(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AB=CE$，$BC=ED$，
$\because AB=6$，$BC=8$，$\therefore CE=6$，$ED=8$，
$\therefore BE=BC+CE=8+6=14$，
在$Rt△ BED$中，由勾股定理得$BD=\sqrt{BE^2 + ED^2}=\sqrt{14^2+8^2}=\sqrt{260}=2\sqrt{65}$。
【答案】
(1) 四边形$ABCD$的面积是$\boxed{74}$；
(2) 对角线$BD$的长为$\boxed{2\sqrt{65}}$。
【知识点】
勾股定理及逆定理，全等三角形的判定与性质，不规则图形面积计算
【点评】
本题是几何综合基础题，核心是通过添加辅助线将不规则四边形问题拆解为直角三角形、全等三角形的常规问题求解，解题时要熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用场景，学会用构造法和割补法解决几何计算问题。
【难度系数】
0.65
