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8. 如图，直线$ l $上有三个正方形A，B，C，若正方形A，C的面积分别为5和11，则正方形B的面积为（
A.4
B.6
C.16
D.55
C
）。A.4
B.6
C.16
D.55
答案
8. C
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：三个正方形放在同一直线$l$上，正方形B下方有两个直角三角形。首先利用正方形的性质得到边相等、角为直角，再通过“同角的余角相等”证明两个直角三角形全等，得到对应边相等，最后结合勾股定理即可推出正方形B的面积等于A、C的面积之和。
【解析】
设正方形A、B、C的边长分别为$a$、$b$、$c$，已知正方形A的面积$S_A=a^2=5$，正方形C的面积$S_C=c^2=11$。
1. 证三角形全等：
因为正方形的内角均为$90°$，所以正方形B的两条邻边相等，即两个直角三角形的斜边长度相等；
又因为平角为$180°$，可得两个直角三角形的一组锐角和为$180°-90°=90°$，而直角三角形的两锐角互余，因此这两个三角形的另一组锐角也相等；
结合两个三角形均为直角三角形，有一组直角相等，根据AAS可证两个直角三角形全等。
2. 结合勾股定理计算：
全等后对应边相等，因此以正方形B的边长为斜边的直角三角形的两条直角边长度分别为$a$和$c$。
根据勾股定理：$b^2=a^2+c^2$，而正方形B的面积$S_B=b^2$，代入得$S_B=5+11=16$。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，将正方形、全等三角形、勾股定理三个知识点结合考查，解题的突破口是找到图形中的全等三角形，进而通过勾股定理建立三个正方形面积的数量关系，属于常考的经典题型。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：三个正方形放在同一直线$l$上，正方形B下方有两个直角三角形。首先利用正方形的性质得到边相等、角为直角，再通过“同角的余角相等”证明两个直角三角形全等，得到对应边相等，最后结合勾股定理即可推出正方形B的面积等于A、C的面积之和。
【解析】
设正方形A、B、C的边长分别为$a$、$b$、$c$，已知正方形A的面积$S_A=a^2=5$，正方形C的面积$S_C=c^2=11$。
1. 证三角形全等：
因为正方形的内角均为$90°$，所以正方形B的两条邻边相等，即两个直角三角形的斜边长度相等；
又因为平角为$180°$，可得两个直角三角形的一组锐角和为$180°-90°=90°$，而直角三角形的两锐角互余，因此这两个三角形的另一组锐角也相等；
结合两个三角形均为直角三角形，有一组直角相等，根据AAS可证两个直角三角形全等。
2. 结合勾股定理计算：
全等后对应边相等，因此以正方形B的边长为斜边的直角三角形的两条直角边长度分别为$a$和$c$。
根据勾股定理：$b^2=a^2+c^2$，而正方形B的面积$S_B=b^2$，代入得$S_B=5+11=16$。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，将正方形、全等三角形、勾股定理三个知识点结合考查，解题的突破口是找到图形中的全等三角形，进而通过勾股定理建立三个正方形面积的数量关系，属于常考的经典题型。
【难度系数】
0.7
9. 勾股数 $a$，$b$，$c$ 可利用下列公式构造：$a=mn$，$b=\frac{1}{2}(m^2 - n^2)$，$c=\frac{1}{2}(m^2 + n^2)$，其中 $m ＞ n ＞ 0$，$m$，$n$ 是互素的奇数.下列四组勾股数中，不 能 由该公式直接得出的是（
A.3，4，5
B.5，12，13
C.7，24，25
D.6，8，10
D
）.A.3，4，5
B.5，12，13
C.7，24，25
D.6，8，10
答案
9. D
解析
【分析】
本题考查勾股数构造公式的应用，解题时首先要明确公式的限制条件：$m＞n＞0$，且$m$、$n$是互素的奇数，由此我们可以通过两种思路判断：一是根据奇数的运算性质，两个奇数的乘积是奇数，因此公式中$a=mn$必为奇数，可先排除不符合的选项；二是对每个选项尝试寻找符合条件的$m$、$n$，若找不到符合条件的$m$、$n$，则该组勾股数无法由公式直接得出。
【解析】
已知勾股数构造公式的条件为：$m＞n＞0$，$m$、$n$为互素的奇数，且$a=mn$，$b=\frac{1}{2}(m^2-n^2)$，$c=\frac{1}{2}(m^2+n^2)$，逐个验证选项：
1. 验证选项A（3，4，5）：取$m=3$，$n=1$，满足$m＞n＞0$，均为奇数且互素，代入公式得：
$a=3×1=3$，$b=\frac{1}{2}(3^2-1^2)=4$，$c=\frac{1}{2}(3^2+1^2)=5$，符合勾股数，可由公式得出。
2. 验证选项B（5，12，13）：取$m=5$，$n=1$，满足条件，代入公式得：
$a=5×1=5$，$b=\frac{1}{2}(5^2-1^2)=12$，$c=\frac{1}{2}(5^2+1^2)=13$，符合勾股数，可由公式得出。
3. 验证选项C（7，24，25）：取$m=7$，$n=1$，满足条件，代入公式得：
$a=7×1=7$，$b=\frac{1}{2}(7^2-1^2)=24$，$c=\frac{1}{2}(7^2+1^2)=25$，符合勾股数，可由公式得出。
4. 验证选项D（6，8，10）：因为$m$、$n$均为奇数，奇数乘奇数为奇数，所以$a=mn$必为奇数，而6是偶数；若尝试令$b=6$，则$\frac{1}{2}(m^2-n^2)=6$，即$m^2-n^2=12$，因式分解得$(m-n)(m+n)=12$，因$m$、$n$为奇数，$m-n$和$m+n$均为偶数，解得$m=4$、$n=2$，均为偶数，不符合条件；若令$c=10$，则$m^2+n^2=20$，不存在互素的奇数$m＞n＞0$满足该式，故D不能由公式直接得出。
【答案】
D
【知识点】
勾股数的构造；奇数的运算性质；互素的概念
【点评】
本题核心是抓住构造公式中$m$、$n$为互素奇数的限制条件，既可以通过奇数性质快速判断，也可以逐一代入验证，解题时要注意审题，不要忽略题目给出的公式限制条件。
【难度系数】
0.7
本题考查勾股数构造公式的应用，解题时首先要明确公式的限制条件：$m＞n＞0$，且$m$、$n$是互素的奇数，由此我们可以通过两种思路判断：一是根据奇数的运算性质，两个奇数的乘积是奇数，因此公式中$a=mn$必为奇数，可先排除不符合的选项；二是对每个选项尝试寻找符合条件的$m$、$n$，若找不到符合条件的$m$、$n$，则该组勾股数无法由公式直接得出。
【解析】
已知勾股数构造公式的条件为：$m＞n＞0$，$m$、$n$为互素的奇数，且$a=mn$，$b=\frac{1}{2}(m^2-n^2)$，$c=\frac{1}{2}(m^2+n^2)$，逐个验证选项：
1. 验证选项A（3，4，5）：取$m=3$，$n=1$，满足$m＞n＞0$，均为奇数且互素，代入公式得：
$a=3×1=3$，$b=\frac{1}{2}(3^2-1^2)=4$，$c=\frac{1}{2}(3^2+1^2)=5$，符合勾股数，可由公式得出。
2. 验证选项B（5，12，13）：取$m=5$，$n=1$，满足条件，代入公式得：
$a=5×1=5$，$b=\frac{1}{2}(5^2-1^2)=12$，$c=\frac{1}{2}(5^2+1^2)=13$，符合勾股数，可由公式得出。
3. 验证选项C（7，24，25）：取$m=7$，$n=1$，满足条件，代入公式得：
$a=7×1=7$，$b=\frac{1}{2}(7^2-1^2)=24$，$c=\frac{1}{2}(7^2+1^2)=25$，符合勾股数，可由公式得出。
4. 验证选项D（6，8，10）：因为$m$、$n$均为奇数，奇数乘奇数为奇数，所以$a=mn$必为奇数，而6是偶数；若尝试令$b=6$，则$\frac{1}{2}(m^2-n^2)=6$，即$m^2-n^2=12$，因式分解得$(m-n)(m+n)=12$，因$m$、$n$为奇数，$m-n$和$m+n$均为偶数，解得$m=4$、$n=2$，均为偶数，不符合条件；若令$c=10$，则$m^2+n^2=20$，不存在互素的奇数$m＞n＞0$满足该式，故D不能由公式直接得出。
【答案】
D
【知识点】
勾股数的构造；奇数的运算性质；互素的概念
【点评】
本题核心是抓住构造公式中$m$、$n$为互素奇数的限制条件，既可以通过奇数性质快速判断，也可以逐一代入验证，解题时要注意审题，不要忽略题目给出的公式限制条件。
【难度系数】
0.7
10. 如图,把矩形纸条ABCD沿EF,GH同时折叠,B,C两点恰好都落在边AD上的点P处.若$∠ FPH=90°$,$PF=8$,$PH=6$,则边BC的长为(
A.20
B.22
C.24
D.30
C
).A.20
B.22
C.24
D.30
答案
10. C
解析
【分析】
解题时首先回忆折叠的性质：折叠前后对应边的长度相等，因此可以得到BF=PF，CH=PH；已知∠FPH=90°，PF和PH的长度已知，可通过勾股定理求出FH的长度；最后边BC的长度等于BF+FH+HC，将对应线段长度代入计算即可得到结果。
【解析】
解：由折叠的性质可知，折叠前后对应边相等，因此：
$BF=PF=8$，$CH=PH=6$
∵$∠FPH=90°$，
∴$△ FPH$是直角三角形
在$Rt△ FPH$中，根据勾股定理：
$FH=\sqrt{PF^2+PH^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$
又
∵边BC的长度为$BF+FH+HC$
∴$BC=8+10+6=24$
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；矩形的性质
【点评】
本题属于几何基础应用题，解题的核心是抓住折叠前后对应边相等的性质，将BC的长度转化为已知长度的线段之和，再结合直角三角形的勾股定理计算未知线段长度，整体解题思路清晰，计算量较小。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆折叠的性质：折叠前后对应边的长度相等，因此可以得到BF=PF，CH=PH；已知∠FPH=90°，PF和PH的长度已知，可通过勾股定理求出FH的长度；最后边BC的长度等于BF+FH+HC，将对应线段长度代入计算即可得到结果。
【解析】
解：由折叠的性质可知，折叠前后对应边相等，因此：
$BF=PF=8$，$CH=PH=6$
∵$∠FPH=90°$，
∴$△ FPH$是直角三角形
在$Rt△ FPH$中，根据勾股定理：
$FH=\sqrt{PF^2+PH^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$
又
∵边BC的长度为$BF+FH+HC$
∴$BC=8+10+6=24$
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；矩形的性质
【点评】
本题属于几何基础应用题，解题的核心是抓住折叠前后对应边相等的性质，将BC的长度转化为已知长度的线段之和，再结合直角三角形的勾股定理计算未知线段长度，整体解题思路清晰，计算量较小。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 有一块土地形状如图所示，$∠ B = ∠ D = 90°$，$AB = 20\ \mathrm{m}$，$BC = 15\ \mathrm{m}$，$CD = 7\ \mathrm{m}$，请计算这块地的面积.
11. 有一块土地形状如图所示，$∠ B = ∠ D = 90°$，$AB = 20\ \mathrm{m}$，$BC = 15\ \mathrm{m}$，$CD = 7\ \mathrm{m}$，请计算这块地的面积.
答案
11. 234 m²
解析
【分析】
这是不规则四边形的面积计算问题，可采用割补法转化为规则图形求解。观察到图形有两个直角，因此连接AC，将四边形分成两个直角三角形：Rt△ABC和Rt△ADC。第一步先在Rt△ABC中用勾股定理求出斜边AC的长度，第二步在Rt△ADC中用勾股定理求出直角边AD的长度，第三步分别计算两个直角三角形的面积，相加即可得到四边形的总面积。
【解析】
解：连接AC，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=20\ \mathrm{m}$，$BC=15\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625$，
∴$AC = 25\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ D=90°$，$CD=7\ \mathrm{m}$，$AC=25\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 25^2 -7^2 = 625 - 49 = 576$，
∴$AD = 24\ \mathrm{m}$。
则这块地的面积为两个直角三角形的面积和：
$S = S_{△ ABC} + S_{△ ADC} = \frac{1}{2}AB· BC + \frac{1}{2}AD· CD$
代入数值计算：
$S = \frac{1}{2}×20×15 + \frac{1}{2}×24×7 = 150 + 84 = 234\ (\mathrm{m^2})$
【答案】
$234\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
勾股定理；割补法求面积；直角三角形面积公式
【点评】
本题属于不规则图形面积计算的基础题，解题核心是通过添加辅助线将不规则四边形转化为熟悉的直角三角形，再结合勾股定理求出未知边长，最后计算面积之和即可，掌握割补法和勾股定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
这是不规则四边形的面积计算问题，可采用割补法转化为规则图形求解。观察到图形有两个直角，因此连接AC，将四边形分成两个直角三角形：Rt△ABC和Rt△ADC。第一步先在Rt△ABC中用勾股定理求出斜边AC的长度，第二步在Rt△ADC中用勾股定理求出直角边AD的长度，第三步分别计算两个直角三角形的面积，相加即可得到四边形的总面积。
【解析】
解：连接AC，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=20\ \mathrm{m}$，$BC=15\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625$，
∴$AC = 25\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ D=90°$，$CD=7\ \mathrm{m}$，$AC=25\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 25^2 -7^2 = 625 - 49 = 576$，
∴$AD = 24\ \mathrm{m}$。
则这块地的面积为两个直角三角形的面积和：
$S = S_{△ ABC} + S_{△ ADC} = \frac{1}{2}AB· BC + \frac{1}{2}AD· CD$
代入数值计算：
$S = \frac{1}{2}×20×15 + \frac{1}{2}×24×7 = 150 + 84 = 234\ (\mathrm{m^2})$
【答案】
$234\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
勾股定理；割补法求面积；直角三角形面积公式
【点评】
本题属于不规则图形面积计算的基础题，解题核心是通过添加辅助线将不规则四边形转化为熟悉的直角三角形，再结合勾股定理求出未知边长，最后计算面积之和即可，掌握割补法和勾股定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
12. 如图,甲、乙两船上午 11:00 同时从港口 A 出发,甲船以 20 n mile/h 的速度向东北方向航行,乙船以 15 n mile/h 的速度向东南方向航行,求 13:00 时两船之间的距离.
答案
12. 50 n mile
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步先计算两船的航行时间，结合速度分别求出甲、乙两船行驶的路程，也就是直角三角形的两条直角边长度；第二步根据方位角判断两船航行方向的夹角，东北方向和东南方向刚好分别在正东方向的南北两侧，各偏45°，所以两条航线的夹角为90°，即两船与港口A的连线构成直角三角形；第三步利用勾股定理计算斜边的长度，就是两船之间的距离。
【解析】
解：两船的航行时间为 $13:00 - 11:00 = 2\ \mathrm{h}$
甲船航行的路程：$20 × 2 = 40\ \mathrm{n mile}$
乙船航行的路程：$15 × 2 = 30\ \mathrm{n mile}$
由方位角可知，甲船航行方向与乙船航行方向的夹角为 $45° + 45° = 90°$，即两船到港口A的连线构成直角三角形，直角在点A处。
根据勾股定理，两船之间的距离为：
$\sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50\ \mathrm{n mile}$
【答案】
50 n mile
【知识点】
方位角识别、路程计算、勾股定理
【点评】
本题是结合实际场景的几何应用题，解题的核心是先通过方位角判断出直角三角形，再结合行程问题的基本公式求出直角边长度，最后用勾股定理求解即可，很好的融合了几何知识和实际应用。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步先计算两船的航行时间，结合速度分别求出甲、乙两船行驶的路程，也就是直角三角形的两条直角边长度；第二步根据方位角判断两船航行方向的夹角，东北方向和东南方向刚好分别在正东方向的南北两侧，各偏45°，所以两条航线的夹角为90°，即两船与港口A的连线构成直角三角形；第三步利用勾股定理计算斜边的长度，就是两船之间的距离。
【解析】
解：两船的航行时间为 $13:00 - 11:00 = 2\ \mathrm{h}$
甲船航行的路程：$20 × 2 = 40\ \mathrm{n mile}$
乙船航行的路程：$15 × 2 = 30\ \mathrm{n mile}$
由方位角可知，甲船航行方向与乙船航行方向的夹角为 $45° + 45° = 90°$，即两船到港口A的连线构成直角三角形，直角在点A处。
根据勾股定理，两船之间的距离为：
$\sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50\ \mathrm{n mile}$
【答案】
50 n mile
【知识点】
方位角识别、路程计算、勾股定理
【点评】
本题是结合实际场景的几何应用题，解题的核心是先通过方位角判断出直角三角形，再结合行程问题的基本公式求出直角边长度，最后用勾股定理求解即可，很好的融合了几何知识和实际应用。
【难度系数】
0.8
