1. 在$△ ABC$中,若$AC=\dfrac{3}{5}AB$,$BC=\dfrac{4}{5}AB$,则$∠ C=$ .

1. 90°

【分析】
已知题目给出了△ABC三边的比例关系，要求∠C的度数，可考虑用勾股定理的逆定理求解：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，最长边对应的角为直角。为了方便计算，我们可以设参数表示三边的长度，这里因为AC、BC的长度都和AB成五分之几的比例，所以设AB=5k（k＞0），可直接将AC、BC转化为整数倍的k，再验证三边的平方关系，最后根据最长边对应的角是∠C，即可得出角度。
【解析】
解：设$AB=5k$（$k＞0$），
由题意得：
$AC=\dfrac{3}{5}AB=\dfrac{3}{5}×5k=3k$，
$BC=\dfrac{4}{5}AB=\dfrac{4}{5}×5k=4k$，
计算平方可得：
$AC^2+BC^2=(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2$，
$AB^2=(5k)^2=25k^2$，
因此$AC^2+BC^2=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理可知，$△ ABC$是直角三角形，且$AB$为斜边，
又因为斜边$AB$对应的角为$∠ C$，
所以$∠ C=90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形边与对角的对应关系
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查勾股定理逆定理的使用，解题时通过合理设参数可以简化计算，同时要注意准确找到最长边对应的角，避免混淆边和角的对应关系。
【难度系数】
0.9

2. 如图所示的网格是由相同的小正方形组成的，点A，B，P是网格线的交点，则$∠ PAB + ∠ PBA =$ $°$.

2. 45

【分析】
要求∠PAB + ∠PBA的度数，首先根据三角形内角和定理，三角形三个内角和为180°，因此∠PAB + ∠PBA = 180° - ∠APB，只需先求出∠APB的度数即可解题。我们可以借助网格特点，取合适的格点构造三角形，结合勾股定理、相似三角形的性质，将未知角转化为已知的特殊角求解。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，过点P作PD⊥AB，垂足为D，可得PD=1，AD=2，BD=3。
取格点Q（位于P点右侧1格、上方1格处），连接PQ、BQ：
由勾股定理计算各边长度：
$AP=\sqrt{AD^2+PD^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
$PQ=\sqrt{(3-2)^2+(2-1)^2}=\sqrt{2}$，
$BQ=\sqrt{(5-3)^2+(0-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
$BP=\sqrt{(5-2)^2+(0-1)^2}=\sqrt{10}$。
可得$\frac{AP}{BP}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，$\frac{PD}{PQ}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，$\frac{AD}{BQ}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，即$\frac{AP}{BP}=\frac{PD}{PQ}=\frac{AD}{BQ}$，因此△APD∽△BPQ，可得$∠ APD=∠ BPQ$。
因此$∠ APB=∠ APD+∠ DPB=∠ BPQ+∠ DPB=∠ DPQ$，结合网格可知$∠ DPQ=135°$。
根据三角形内角和定理：
$∠ PAB+∠ PBA=180°-∠ APB=180°-135°=45°$。
【答案】
45
【知识点】
三角形内角和定理，勾股定理及逆定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是网格背景下的角度计算问题，解题核心是合理构造辅助格点，将未知角度转化为特殊角求解，很好地考查了数形结合思想和几何定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6

3. 等边三角形的边长为2，则该三角形的高是.

3. √3

【分析】
求解本题可先利用等边三角形“三线合一”的性质，作出三角形的高，将等边三角形拆分为两个全等的直角三角形，得到直角三角形的斜边（等边三角形的边长）和一条直角边（底边的一半）的长度，再代入勾股定理计算即可得到高的长度。
【解析】
设等边三角形为△ABC，边长AB=BC=AC=2，过点A作AD⊥BC，垂足为D。
根据等边三角形“三线合一”的性质可知，D为BC的中点，因此BD=$\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×2=1。
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：$AD^2 + BD^2 = AB^2$，
将BD=1、AB=2代入得：$AD^2 + 1^2 = 2^2$，
计算得$AD^2=4-1=3$，
由于高为正数，因此AD=$\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是利用特殊三角形的性质将问题转化为直角三角形的边长计算，熟练掌握常见特殊三角形的性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.9

4. 在长方形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN = AB = 1。
当△DMN是直角三角形，且∠DMN = 90°时，则AD的长为________。

4. √2+1

【分析】
我们可以先设AD的长度为未知数，结合矩形的性质和勾股定理表示出相关线段的长度。观察到△DMN和△DAB有公共角∠D，且两个三角形都含直角，满足两角对应相等的相似判定条件，可证明两三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例列方程求解，最后结合线段长度为正的要求舍去不符合题意的根即可。
【解析】
设AD的长为$ x $。
∵ 四边形ABCD是长方形，$ AB=1 $，
∴ $ ∠A=90° $，由勾股定理得：$ BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{1+x^2} $。
∵ M是BD的中点，
∴ $ DM=\frac{1}{2}BD=\frac{\sqrt{x^2+1}}{2} $。
∵ $ AN=1 $，
∴ $ DN=AD-AN=x-1 $。
∵ $ ∠DMN=90°=∠A $，$ ∠MDN=∠ADB $（公共角），
∴ $ △DMN∽△DAB $（两角对应相等，两三角形相似）。
由相似三角形对应边成比例得：$ \frac{DM}{DA}=\frac{DN}{DB} $，
代入线段长度得：$ \frac{\frac{\sqrt{x^2+1}}{2}}{x}=\frac{x-1}{\sqrt{x^2+1}} $，
交叉相乘化简：$ \frac{x^2+1}{2}=x(x-1) $，
整理得：$ x^2 - 2x -1=0 $，
解得：$ x_1=1+\sqrt{2} $，$ x_2=1-\sqrt{2} $（线段长度为正，舍去）。
【答案】
$ \sqrt{2}+1 $
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，解题核心是找到角的等量关系证明三角形相似，结合方程思想求解，需要注意相似三角形对应边的对应关系，以及最终结果要符合线段长度的实际意义。
【难度系数】
0.6

5. 在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别是$a$，$b$，$c$，且满足$a^2c^2 - b^2c^2 = a^4 - b^4$，那么$△ ABC$的形状是________.

5. 等腰三角形或直角三角形

【分析】
要判断三角形的形状，需先对给出的边的等式进行变形处理。首先通过移项将等式右边的项全部移到左边，再利用因式分解对等式左边进行化简，注意不能直接在等式两边同时除以可能为0的整式，否则会漏解。化简后根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，结合等腰三角形的定义和勾股定理的逆定理，即可判断三角形的形状。
【解析】
对已知等式移项，得：
$a^2c^2 - b^2c^2 - a^4 + b^4 = 0$
提取公因式并利用平方差公式分解：
$c^2(a^2 - b^2) - (a^4 - b^4) = 0$
$c^2(a^2 - b^2) - (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = 0$
再次提取公因式$(a^2 - b^2)$，得：
$(a^2 - b^2)(c^2 - a^2 - b^2) = 0$
根据乘积为0的性质，可得两种情况：
1. 当$a^2 - b^2 = 0$时，因为$a、b$是三角形的边长，均为正数，所以$a = b$，此时$△ ABC$是等腰三角形；
2. 当$c^2 - a^2 - b^2 = 0$时，即$c^2 = a^2 + b^2$，根据勾股定理的逆定理，此时$△ ABC$是直角三角形。
综上，$△ ABC$的形状是等腰三角形或直角三角形。
【答案】
等腰三角形或直角三角形
【知识点】
因式分解的应用；勾股定理的逆定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题易错点是直接在等式两边除以含字母的整式，导致漏解。解题时需注意等式变形的等价性，全面考虑所有使乘积为0的情况，才能准确判断三角形的形状。
【难度系数】
0.6

二、选择题
6. 如图,四边形 A,B,C,D,E,F,G 都是正方形,三角形 M,N,Q 都是直角三角形,其中最大的正方形 G 的边长为 10 cm,正方形 A 的边长为6 cm,正方形 B 的边长为5 cm,正方形 C 的边长为5 cm,则正方形 D 的边长为().


A.$\sqrt{14}$ cm
B.4 cm
C.$\sqrt{15}$ cm
D.3 cm

6. A

【分析】
本题可结合勾股定理推导正方形面积之间的关系求解。我们知道，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，而以直角三角形三边为边长的正方形面积恰好对应三边的平方，因此可推出：所有小正方形A、B、C、D的面积之和等于最大正方形G的面积，利用这个等量关系就可以先算出正方形D的面积，再求边长。
【解析】
根据勾股定理的几何意义可得：
正方形A的面积 + 正方形B的面积 + 正方形C的面积 + 正方形D的面积 = 最大正方形G的面积
先计算各已知正方形的面积：
$S_G = 10^2 = 100\ \mathrm{cm}^2$
$S_A = 6^2 = 36\ \mathrm{cm}^2$
$S_B = 5^2 = 25\ \mathrm{cm}^2$
$S_C = 5^2 = 25\ \mathrm{cm}^2$
代入等量关系求正方形D的面积：
$S_D = S_G - S_A - S_B - S_C = 100 - 36 - 25 - 25 = 14\ \mathrm{cm}^2$
因此正方形D的边长为$\sqrt{S_D} = \sqrt{14}\ \mathrm{cm}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理几何意义的典型应用，解题的核心是发现不同正方形面积之间的等量关系，无需计算中间正方形的边长，通过总面积的等量关系即可快速求解，降低了计算量。
【难度系数】
0.7

7. 如图,有一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一根到达底部的直吸管在罐内部分$ a $的长(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)的取值范围是().

A.$ 12 ≤ a ≤ 13 $
B.$ 12 ≤ a ≤ 15 $
C.$ 5 ≤ a ≤ 12 $
D.$ 5 ≤ a ≤ 13 $

7. A

【分析】
要确定直吸管在罐内长度的取值范围，需分别找到长度的最小值和最大值两种极端情况：①最短情况：吸管竖直放置，从上方小孔垂直伸到罐底中心，此时长度等于圆柱的高；②最长情况：吸管斜放，下端触到罐底的边缘，上端刚好在上方小孔处，此时吸管、圆柱的高、底面半径刚好构成直角三角形，吸管为斜边，用勾股定理即可算出最长长度，结合两种情况就能得到取值范围。
【解析】
1. 求最短长度：
当吸管竖直放置时，罐内部分的长度等于圆柱的高，即$a_{\mathrm{最小}}=12$。
2. 求最长长度：
当吸管斜放，下端位于下底面圆周上、上端在上底面中心时，形成直角三角形，两条直角边分别为圆柱的高12、底面半径5，根据勾股定理：
$a_{\mathrm{最大}}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
综上，$a$的取值范围是$12≤ a≤13$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用，圆柱的特征
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的实际应用，解题核心是找准长度的两种极端情况，将实际问题转化为直角三角形求边长的问题，需要具备基础的空间想象能力。
【难度系数】
0.7