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14. 如图,一块四边形的空地ABCD,经测量,∠A=90°, AB=3 m, BC=12 m, CD=13 m, DA=4 m. 现计划在空地上种植草皮,若每平方米草皮需要100元,共需要投入多少元经费?
答案
14. 3 600元
解析
【分析】
本题是不规则四边形的面积计算问题，解题思路如下：首先观察到四边形中∠A为直角，因此可通过连接辅助线BD，将四边形分割为△ABD和△BCD两个三角形。第一步先在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD的长度；第二步根据△BCD的三边长，用勾股定理的逆定理判断它是否为直角三角形；第三步分别计算两个三角形的面积，相加得到四边形的总面积；最后用总面积乘每平方米草皮的成本，即可得到总投入经费。
【解析】
解：连接BD。
在Rt△ABD中，∠A=90°，AB=3m，AD=4m，
根据勾股定理可得：$BD^2=AB^2+AD^2=3^2+4^2=25$，因此$BD=5m$（边长为正，舍去负值）。
在△BCD中，$BD=5m$，$BC=12m$，$CD=13m$，
计算得：$BD^2+BC^2=5^2+12^2=25+144=169$，$CD^2=13^2=169$，
即$BD^2+BC^2=CD^2$，根据勾股定理的逆定理可知△BCD是直角三角形，且$∠ DBC=90°$。
四边形ABCD的总面积为：
$S_{ABCD}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× AB× AD+\frac{1}{2}× BD× BC=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×5×12=6+30=36(m^2)$
总投入经费为：$36×100=3600$（元）
【答案】
3600元
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；不规则图形面积计算
【点评】
本题核心考查勾股定理及其逆定理的综合应用，通过添加辅助线将不规则图形转化为规则的三角形求解，是解决这类多边形面积问题的常用方法。
【难度系数】
0.7
本题是不规则四边形的面积计算问题，解题思路如下：首先观察到四边形中∠A为直角，因此可通过连接辅助线BD，将四边形分割为△ABD和△BCD两个三角形。第一步先在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD的长度；第二步根据△BCD的三边长，用勾股定理的逆定理判断它是否为直角三角形；第三步分别计算两个三角形的面积，相加得到四边形的总面积；最后用总面积乘每平方米草皮的成本，即可得到总投入经费。
【解析】
解：连接BD。
在Rt△ABD中，∠A=90°，AB=3m，AD=4m，
根据勾股定理可得：$BD^2=AB^2+AD^2=3^2+4^2=25$，因此$BD=5m$（边长为正，舍去负值）。
在△BCD中，$BD=5m$，$BC=12m$，$CD=13m$，
计算得：$BD^2+BC^2=5^2+12^2=25+144=169$，$CD^2=13^2=169$，
即$BD^2+BC^2=CD^2$，根据勾股定理的逆定理可知△BCD是直角三角形，且$∠ DBC=90°$。
四边形ABCD的总面积为：
$S_{ABCD}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× AB× AD+\frac{1}{2}× BD× BC=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×5×12=6+30=36(m^2)$
总投入经费为：$36×100=3600$（元）
【答案】
3600元
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；不规则图形面积计算
【点评】
本题核心考查勾股定理及其逆定理的综合应用，通过添加辅助线将不规则图形转化为规则的三角形求解，是解决这类多边形面积问题的常用方法。
【难度系数】
0.7
15. 某同学在学习了勾股定理后，对《九章算术》中的勾股章产生了兴趣.书中记载：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽.问索长几何？”大意是：如图，木柱$AB ⊥ BC$，绳索$AC$比木柱$AB$长3尺，$BC$的长为8尺，绳索$AC$的长为多少尺？（注：尺为当时的长度单位）
答案
15. $12\dfrac{1}{6}$尺
解析
【分析】首先判断△ABC是直角三角形，∠B为直角，满足勾股定理的使用条件。已知绳索AC比木柱AB长3尺，BC长为8尺，我们可以先设AC的长度为未知数，用含该未知数的式子表示AB的长度，再代入勾股定理公式列方程，最后解方程得到结果即可。
【解析】解：设绳索$AC$的长为$x$尺，则木柱$AB$的长为$(x-3)$尺。
$\because AB⊥ BC$，$\therefore ∠ B=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理可得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
将$AB=x-3$，$BC=8$，$AC=x$代入得：
$(x-3)^2 + 8^2 = x^2$
展开计算：$x^2 -6x +9 +64 =x^2$
移项合并同类项得：$-6x=-73$
解得：$x=\dfrac{73}{6}=12\dfrac{1}{6}$
答：绳索$AC$的长为$12\dfrac{1}{6}$尺。
【答案】
$12\dfrac{1}{6}$尺
【知识点】
勾股定理的应用；列一元一次方程解应用题
【点评】
本题结合古代数学问题考查勾股定理的实际应用，解题核心是理清各边的数量关系，正确设未知数列方程求解，最终结果要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
【解析】解：设绳索$AC$的长为$x$尺，则木柱$AB$的长为$(x-3)$尺。
$\because AB⊥ BC$，$\therefore ∠ B=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理可得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
将$AB=x-3$，$BC=8$，$AC=x$代入得：
$(x-3)^2 + 8^2 = x^2$
展开计算：$x^2 -6x +9 +64 =x^2$
移项合并同类项得：$-6x=-73$
解得：$x=\dfrac{73}{6}=12\dfrac{1}{6}$
答：绳索$AC$的长为$12\dfrac{1}{6}$尺。
【答案】
$12\dfrac{1}{6}$尺
【知识点】
勾股定理的应用；列一元一次方程解应用题
【点评】
本题结合古代数学问题考查勾股定理的实际应用，解题核心是理清各边的数量关系，正确设未知数列方程求解，最终结果要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
