登录
12. (1) 如图(1)，它是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；
(2) 如图(2)，$\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ CDE$，$∠ B = ∠ D = 90°$，且$B$，$C$，$D$三点共线，试证明$∠ ACE = 90°$；
(3) 试利用第(1)小题中的公式和图(2)证明勾股定理.
(2) 如图(2)，$\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ CDE$，$∠ B = ∠ D = 90°$，且$B$，$C$，$D$三点共线，试证明$∠ ACE = 90°$；
(3) 试利用第(1)小题中的公式和图(2)证明勾股定理.
答案
12. (1) $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ (2) $\because \mathrm{Rt}△ABC ≌ \mathrm{Rt}△CDE, \therefore ∠BAC=∠DCE. \therefore ∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°. \because B, C, D$ 三点共线, $\therefore ∠ACE=180°-(∠ACB+∠DCE)=180°-90°=90°$ (3) $S_{\mathrm{梯形}ABDE}=\frac{1}{2}(AB+ED)· BD=\frac{1}{2}(a+b)·(a+b)=\frac{1}{2}(a+b)^2$; 另外, $S_{\mathrm{梯形}ABDE}=S_{△ABC}+S_{△CDE}+S_{△ACE}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2. \therefore \frac{1}{2}(a+b)^2=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$, 即 $a^2+b^2=c^2$
解析
【分析】
(1) 观察图(1)，可通过两种方法计算大正方形的面积：一是直接用边长的平方计算，二是将大正方形拆分为2个小正方形和2个长方形，分别计算面积再求和，两个结果相等即可得到对应的代数公式。
(2) 要证$∠ACE=90°$，先利用全等三角形对应角相等得到$∠BAC=∠DCE$，再结合直角三角形两锐角互余的性质，可得$∠ACB+∠DCE=90°$，最后根据平角为$180°$，减去这两个角的和即可推出$∠ACE$的度数。
(3) 采用等面积法推导：先通过梯形面积公式计算梯形$ABDE$的面积，再将梯形面积拆分为三个三角形的面积和，令两个面积表达式相等，结合第(1)问的完全平方公式化简，即可推导出勾股定理。
【解析】
(1) 图(1)中大正方形的边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；拆分后两个小正方形的面积分别为$a^2$、$b^2$，两个长方形的面积均为$ab$，总面积为$a^2+2ab+b^2$，因此可得对应公式。
(2) 证明：$\because \mathrm{Rt}△ABC ≌ \mathrm{Rt}△CDE$，$\therefore ∠BAC=∠DCE$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ACB+∠BAC=90°$，等量代换得$∠ACB+∠DCE=90°$。
$\because B,C,D$三点共线，$\therefore ∠BCD=180°$，
$\therefore ∠ACE=180°-(∠ACB+∠DCE)=180°-90°=90°$。
(3) 证明：梯形$ABDE$的上底为$b$，下底为$a$，高$BD=BC+CD=a+b$，
由梯形面积公式得：$S_{\mathrm{梯形}ABDE}=\frac{1}{2}(AB+ED)· BD=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a+b)^2$。
另一方面，梯形$ABDE$可分为$△ ABC$、$△ CDE$、$△ ACE$三个部分，
$\therefore S_{\mathrm{梯形}ABDE}=S_{△ ABC}+S_{△ CDE}+S_{△ ACE}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$。
联立两个面积表达式得：$\frac{1}{2}(a+b)^2=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$，
两边同乘2，结合(1)中的公式展开左边得：$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，
化简得$a^2+b^2=c^2$，勾股定理得证。
【答案】
(1) $\boxed{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$
(2) $∠ ACE=90°$，证明如上；
(3) 勾股定理$a^2+b^2=c^2$，证明如上。
【知识点】
完全平方和公式，全等三角形的性质，等面积法
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，将代数公式推导与几何定理证明结合，既考查了对基础公式、全等性质的掌握，也要求学生能熟练运用等面积法建立等量关系，对逻辑推导能力有较好的锻炼作用。
【难度系数】
0.7
(1) 观察图(1)，可通过两种方法计算大正方形的面积：一是直接用边长的平方计算，二是将大正方形拆分为2个小正方形和2个长方形，分别计算面积再求和，两个结果相等即可得到对应的代数公式。
(2) 要证$∠ACE=90°$，先利用全等三角形对应角相等得到$∠BAC=∠DCE$，再结合直角三角形两锐角互余的性质，可得$∠ACB+∠DCE=90°$，最后根据平角为$180°$，减去这两个角的和即可推出$∠ACE$的度数。
(3) 采用等面积法推导：先通过梯形面积公式计算梯形$ABDE$的面积，再将梯形面积拆分为三个三角形的面积和，令两个面积表达式相等，结合第(1)问的完全平方公式化简，即可推导出勾股定理。
【解析】
(1) 图(1)中大正方形的边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；拆分后两个小正方形的面积分别为$a^2$、$b^2$，两个长方形的面积均为$ab$，总面积为$a^2+2ab+b^2$，因此可得对应公式。
(2) 证明：$\because \mathrm{Rt}△ABC ≌ \mathrm{Rt}△CDE$，$\therefore ∠BAC=∠DCE$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ACB+∠BAC=90°$，等量代换得$∠ACB+∠DCE=90°$。
$\because B,C,D$三点共线，$\therefore ∠BCD=180°$，
$\therefore ∠ACE=180°-(∠ACB+∠DCE)=180°-90°=90°$。
(3) 证明：梯形$ABDE$的上底为$b$，下底为$a$，高$BD=BC+CD=a+b$，
由梯形面积公式得：$S_{\mathrm{梯形}ABDE}=\frac{1}{2}(AB+ED)· BD=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a+b)^2$。
另一方面，梯形$ABDE$可分为$△ ABC$、$△ CDE$、$△ ACE$三个部分，
$\therefore S_{\mathrm{梯形}ABDE}=S_{△ ABC}+S_{△ CDE}+S_{△ ACE}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$。
联立两个面积表达式得：$\frac{1}{2}(a+b)^2=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$，
两边同乘2，结合(1)中的公式展开左边得：$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，
化简得$a^2+b^2=c^2$，勾股定理得证。
【答案】
(1) $\boxed{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$
(2) $∠ ACE=90°$，证明如上；
(3) 勾股定理$a^2+b^2=c^2$，证明如上。
【知识点】
完全平方和公式，全等三角形的性质，等面积法
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，将代数公式推导与几何定理证明结合，既考查了对基础公式、全等性质的掌握，也要求学生能熟练运用等面积法建立等量关系，对逻辑推导能力有较好的锻炼作用。
【难度系数】
0.7
13. 如图,正方形网格的每一个小正方形的边长都是1,点$A_{1},A_{2},A_{4},E_{2},E_{5},C_{4}$都是格点.试求$∠A_{1}E_{2}A_{2}+∠A_{4}E_{2}C_{4}+∠A_{4}E_{5}C_{4}$的度数.
答案
13. 原式$=∠A_1E_2A_2 + ∠A_4E_5C_4 + ∠A_4E_2C_4 = ∠A_5E_5A_4 + ∠A_4E_5C_4 + ∠A_4E_2C_4 = ∠A_5E_5C_4 + ∠A_4E_2C_4 = ∠A_4E_2A_2 + ∠A_4E_2C_4 = ∠C_4E_2A_2 = 45°$
解析
【分析】
解题时我们可以利用网格的特征，通过角的转化将分散的三个角逐步合并：第一步，观察网格中△A₁A₂E₂和△A₄A₅E₅的边长和夹角，可证明二者全等，得到∠A₁E₂A₂=∠A₅E₅A₄，将E₅处的两个角合并为∠A₅E₅C₄；第二步，可证∠A₅E₅C₄=∠A₄E₂A₂，此时三个角就转化为∠A₄E₂A₂+∠A₄E₂C₄，即∠C₄E₂A₂；第三步，利用勾股定理逆定理判断△C₄E₂A₂的形状，即可求出最终角度和。
【解析】
1. 证明△A₁A₂E₂≌△A₄A₅E₅：
∵ 小正方形边长为1，
∴ A₁A₂=A₄A₅=1，∠A₁A₂E₂=∠A₄A₅E₅=90°，A₂E₂=A₅E₅=4，
∴ △A₁A₂E₂≌△A₄A₅E₅（SAS），
∴ ∠A₁E₂A₂=∠A₅E₅A₄。
2. 合并E₅处的角：
∴ ∠A₁E₂A₂ + ∠A₄E₅C₄ = ∠A₅E₅A₄ + ∠A₄E₅C₄ = ∠A₅E₅C₄。
3. 再次转化角：
同理可证∠A₅E₅C₄=∠A₄E₂A₂，
∴ 原式=∠A₅E₅C₄ + ∠A₄E₂C₄ = ∠A₄E₂A₂ + ∠A₄E₂C₄ = ∠C₄E₂A₂。
4. 求∠C₄E₂A₂的度数：
连接A₂C₄，由勾股定理得：
A₂C₄=√(2²+2²)=2√2，E₂C₄=√(2²+2²)=2√2，A₂E₂=4，
∵ A₂C₄² + E₂C₄² = (2√2)² + (2√2)² = 8+8=16 = 4² = A₂E₂²，且A₂C₄=E₂C₄，
∴ △A₂C₄E₂是等腰直角三角形，
∴ ∠C₄E₂A₂=45°。
【答案】
45°
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，角度和差计算
【点评】
本题考查网格中角度和的求解，核心是运用转化思想，通过三角形全等将分散的角集中到同一处，再结合勾股定理逆定理判断特殊三角形的性质求解，对图形观察能力和转化思想的应用有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时我们可以利用网格的特征，通过角的转化将分散的三个角逐步合并：第一步，观察网格中△A₁A₂E₂和△A₄A₅E₅的边长和夹角，可证明二者全等，得到∠A₁E₂A₂=∠A₅E₅A₄，将E₅处的两个角合并为∠A₅E₅C₄；第二步，可证∠A₅E₅C₄=∠A₄E₂A₂，此时三个角就转化为∠A₄E₂A₂+∠A₄E₂C₄，即∠C₄E₂A₂；第三步，利用勾股定理逆定理判断△C₄E₂A₂的形状，即可求出最终角度和。
【解析】
1. 证明△A₁A₂E₂≌△A₄A₅E₅：
∵ 小正方形边长为1，
∴ A₁A₂=A₄A₅=1，∠A₁A₂E₂=∠A₄A₅E₅=90°，A₂E₂=A₅E₅=4，
∴ △A₁A₂E₂≌△A₄A₅E₅（SAS），
∴ ∠A₁E₂A₂=∠A₅E₅A₄。
2. 合并E₅处的角：
∴ ∠A₁E₂A₂ + ∠A₄E₅C₄ = ∠A₅E₅A₄ + ∠A₄E₅C₄ = ∠A₅E₅C₄。
3. 再次转化角：
同理可证∠A₅E₅C₄=∠A₄E₂A₂，
∴ 原式=∠A₅E₅C₄ + ∠A₄E₂C₄ = ∠A₄E₂A₂ + ∠A₄E₂C₄ = ∠C₄E₂A₂。
4. 求∠C₄E₂A₂的度数：
连接A₂C₄，由勾股定理得：
A₂C₄=√(2²+2²)=2√2，E₂C₄=√(2²+2²)=2√2，A₂E₂=4，
∵ A₂C₄² + E₂C₄² = (2√2)² + (2√2)² = 8+8=16 = 4² = A₂E₂²，且A₂C₄=E₂C₄，
∴ △A₂C₄E₂是等腰直角三角形，
∴ ∠C₄E₂A₂=45°。
【答案】
45°
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，角度和差计算
【点评】
本题考查网格中角度和的求解，核心是运用转化思想，通过三角形全等将分散的角集中到同一处，再结合勾股定理逆定理判断特殊三角形的性质求解，对图形观察能力和转化思想的应用有一定要求。
【难度系数】
0.6
