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9. 如图,点A,B,C在同一直线上,点B在点A,C之间,点D,E在直线AC的同侧,AB＜BC,∠A=∠C=90°,△EAB≌△BCD,连接DE.设AB=a,BC=b,DE=c,有下列结论:① $a+b ＜ c$;② $a+b ＞ \sqrt{a^2 + b^2}$;③ $\sqrt{2}(a+b) ＞ c$.其中正确的是(
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
D
).A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
9. D
解析
【分析】
解题时首先利用全等三角形的性质得到对应边、对应角相等，推出△EBD是等腰直角三角形，再结合勾股定理表示出各相关线段的长度关系，最后通过平方作差比较大小、结合三角形三边关系逐一验证三个结论即可。
【解析】
解：
∵△EAB≌△BCD，
∴AB=CD=a，AE=BC=b，EB=BD，∠ABE=∠CDB。
∵∠C=90°，
∴∠CDB+∠CBD=90°，
∴∠ABE+∠CBD=90°，
∴∠EBD=180°-(∠ABE+∠CBD)=90°，即△EBD是等腰直角三角形。
由勾股定理：
在Rt△EAB中，$EB^2=AE^2+AB^2=a^2+b^2$；
在Rt△EBD中，$EB^2+BD^2=DE^2$，结合EB=BD得$2EB^2=c^2$，
∴$c^2=2(a^2+b^2)$。
1. 验证结论①：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
则$c^2-(a+b)^2=2a^2+2b^2-(a^2+2ab+b^2)=a^2+b^2-2ab=(a-b)^2$。
∵AB＜BC即$a≠ b$，
∴$(a-b)^2＞0$，故$c^2＞(a+b)^2$，
又c、a+b均为正数，
∴$c＞a+b$，即$a+b＜c$，①正确。
2. 验证结论②：
在Rt△EAB中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，
∴$AB+AE＞EB$，即$a+b＞\sqrt{a^2+b^2}$，②正确。
3. 验证结论③：
$[\sqrt{2}(a+b)]^2=2(a+b)^2=2(a^2+2ab+b^2)$，
∵$2(a^2+2ab+b^2)＞2(a^2+b^2)=c^2$，且$\sqrt{2}(a+b)$、c均为正数，
∴$\sqrt{2}(a+b)＞c$，③正确。
综上，①②③均正确。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系
【点评】
本题属于几何综合基础题，将全等三角形、勾股定理与不等式比较大小结合考查，解题的突破口是通过全等推出△EBD为等腰直角三角形，再通过平方作差的方法比较线段长度大小，能较好考查学生对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用全等三角形的性质得到对应边、对应角相等，推出△EBD是等腰直角三角形，再结合勾股定理表示出各相关线段的长度关系，最后通过平方作差比较大小、结合三角形三边关系逐一验证三个结论即可。
【解析】
解：
∵△EAB≌△BCD，
∴AB=CD=a，AE=BC=b，EB=BD，∠ABE=∠CDB。
∵∠C=90°，
∴∠CDB+∠CBD=90°，
∴∠ABE+∠CBD=90°，
∴∠EBD=180°-(∠ABE+∠CBD)=90°，即△EBD是等腰直角三角形。
由勾股定理：
在Rt△EAB中，$EB^2=AE^2+AB^2=a^2+b^2$；
在Rt△EBD中，$EB^2+BD^2=DE^2$，结合EB=BD得$2EB^2=c^2$，
∴$c^2=2(a^2+b^2)$。
1. 验证结论①：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
则$c^2-(a+b)^2=2a^2+2b^2-(a^2+2ab+b^2)=a^2+b^2-2ab=(a-b)^2$。
∵AB＜BC即$a≠ b$，
∴$(a-b)^2＞0$，故$c^2＞(a+b)^2$，
又c、a+b均为正数，
∴$c＞a+b$，即$a+b＜c$，①正确。
2. 验证结论②：
在Rt△EAB中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，
∴$AB+AE＞EB$，即$a+b＞\sqrt{a^2+b^2}$，②正确。
3. 验证结论③：
$[\sqrt{2}(a+b)]^2=2(a+b)^2=2(a^2+2ab+b^2)$，
∵$2(a^2+2ab+b^2)＞2(a^2+b^2)=c^2$，且$\sqrt{2}(a+b)$、c均为正数，
∴$\sqrt{2}(a+b)＞c$，③正确。
综上，①②③均正确。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系
【点评】
本题属于几何综合基础题，将全等三角形、勾股定理与不等式比较大小结合考查，解题的突破口是通过全等推出△EBD为等腰直角三角形，再通过平方作差的方法比较线段长度大小，能较好考查学生对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
10. 一职工下班后，从公司以 150 m/min 的速度骑自行车沿着东西走向的马路向东骑行了5.6 min，又沿南北走向的马路向南骑行了 19.2 min 到家，则他家到公司的距离为(
A.300 m
B.1 500 m
C.3 720 m
D.3 000 m
D
).A.300 m
B.1 500 m
C.3 720 m
D.3 000 m
答案
10. D
解析
【分析】
解题可按以下思路展开：第一步，回忆行程问题基本公式，路程=速度×时间，分别计算出职工向东、向南骑行的路程；第二步，结合常识可知东西方向与南北方向互相垂直，因此两段骑行路程、家到公司的距离可构成直角三角形，其中两段路程是直角边，所求距离是斜边；第三步，利用勾股定理计算斜边长度即可得到结果。
【解析】
首先计算两个方向的骑行路程：
向东骑行路程：$ s_1 = v × t_1 = 150 \, \mathrm{m/min} × 5.6 \, \mathrm{min} = 840 \, \mathrm{m} $
向南骑行路程：$ s_2 = v × t_2 = 150 \, \mathrm{m/min} × 19.2 \, \mathrm{min} = 2880 \, \mathrm{m} $
由于东西方向与南北方向互相垂直，因此$ s_1 $、$ s_2 $与家到公司的距离$ s $构成直角三角形，$ s $为斜边。
根据勾股定理：
$ s = \sqrt{s_1^2 + s_2^2} = \sqrt{840^2 + 2880^2} $
可简化计算：$ 840 = 120 × 7 $，$ 2880 = 120 × 24 $，代入得：
$ s = \sqrt{(120 × 7)^2 + (120 × 24)^2} = 120 × \sqrt{7^2 + 24^2} = 120 × 25 = 3000 \, \mathrm{m} $
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
行程问题公式、勾股定理、直角三角形判定
【点评】
本题结合日常通勤场景命题，将数学知识与实际生活紧密结合，解题的核心是通过方向的垂直关系构建直角三角形模型，再结合行程计算和勾股定理求解，侧重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
解题可按以下思路展开：第一步，回忆行程问题基本公式，路程=速度×时间，分别计算出职工向东、向南骑行的路程；第二步，结合常识可知东西方向与南北方向互相垂直，因此两段骑行路程、家到公司的距离可构成直角三角形，其中两段路程是直角边，所求距离是斜边；第三步，利用勾股定理计算斜边长度即可得到结果。
【解析】
首先计算两个方向的骑行路程：
向东骑行路程：$ s_1 = v × t_1 = 150 \, \mathrm{m/min} × 5.6 \, \mathrm{min} = 840 \, \mathrm{m} $
向南骑行路程：$ s_2 = v × t_2 = 150 \, \mathrm{m/min} × 19.2 \, \mathrm{min} = 2880 \, \mathrm{m} $
由于东西方向与南北方向互相垂直，因此$ s_1 $、$ s_2 $与家到公司的距离$ s $构成直角三角形，$ s $为斜边。
根据勾股定理：
$ s = \sqrt{s_1^2 + s_2^2} = \sqrt{840^2 + 2880^2} $
可简化计算：$ 840 = 120 × 7 $，$ 2880 = 120 × 24 $，代入得：
$ s = \sqrt{(120 × 7)^2 + (120 × 24)^2} = 120 × \sqrt{7^2 + 24^2} = 120 × 25 = 3000 \, \mathrm{m} $
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
行程问题公式、勾股定理、直角三角形判定
【点评】
本题结合日常通勤场景命题，将数学知识与实际生活紧密结合，解题的核心是通过方向的垂直关系构建直角三角形模型，再结合行程计算和勾股定理求解，侧重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 如图,把一块直角三角形土地 ABC 划出一个△ADC,其中∠ACB=90°,并测得 CD=3 m,AD=4 m,BC=12 m,AB=13 m.
(1) 求证:∠ADC=90°;
(2) 求图中阴影部分土地的面积.
11. 如图,把一块直角三角形土地 ABC 划出一个△ADC,其中∠ACB=90°,并测得 CD=3 m,AD=4 m,BC=12 m,AB=13 m.
(1) 求证:∠ADC=90°;
(2) 求图中阴影部分土地的面积.
答案
11. (1) $\because ∠ACB=90°, BC=12\ \mathrm{m}, AB=13\ \mathrm{m}, \therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=5\ \mathrm{m}. \because CD=3\ \mathrm{m}, AD=4\ \mathrm{m}, \therefore AD^2+CD^2=AC^2. \therefore ∠ADC=90°$ (2) $24\ \mathrm{m}^2$
解析
【分析】
(1) 要证明∠ADC=90°，可借助勾股定理的逆定理：若三角形三边满足两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。已知△ADC中CD=3m、AD=4m，仅缺AC的长度；而AC是Rt△ACB的直角边，已知Rt△ACB的斜边AB=13m、直角边BC=12m，可先用勾股定理求出AC的长度，再验证AD²+CD²是否等于AC²即可完成证明。
(2) 阴影部分为不规则图形，采用面积差法求解：阴影面积等于大三角形ABC的面积减去空白小三角形ADC的面积，两个三角形均为直角三角形，直角边均已知，分别计算面积后作差即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=12 m，AB=13 m，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5\ \mathrm{m}$。
已知CD=3 m，AD=4 m，
则$AD^2+CD^2=4^2+3^2=16+9=25$，$AC^2=5^2=25$，
∴$AD^2+CD^2=AC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得△ADC是直角三角形，即∠ADC=90°。
(2) 解：
阴影部分面积 = △ABC的面积 - △ADC的面积
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×5×12=30\ \mathrm{m^2}$
$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}× AD× CD=\frac{1}{2}×4×3=6\ \mathrm{m^2}$
∴$S_{\mathrm{阴影}}=30-6=24\ \mathrm{m^2}$
【答案】
(1) 证明见上述过程；(2) $\boldsymbol{24\ \mathrm{m^2}}$
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是将AC作为连接两个三角形的桥梁，先利用勾股定理求AC长度，再借助勾股定理逆定理判断直角三角形，最后通过面积差法求解阴影面积，是勾股定理章节的典型考法。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明∠ADC=90°，可借助勾股定理的逆定理：若三角形三边满足两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。已知△ADC中CD=3m、AD=4m，仅缺AC的长度；而AC是Rt△ACB的直角边，已知Rt△ACB的斜边AB=13m、直角边BC=12m，可先用勾股定理求出AC的长度，再验证AD²+CD²是否等于AC²即可完成证明。
(2) 阴影部分为不规则图形，采用面积差法求解：阴影面积等于大三角形ABC的面积减去空白小三角形ADC的面积，两个三角形均为直角三角形，直角边均已知，分别计算面积后作差即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=12 m，AB=13 m，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5\ \mathrm{m}$。
已知CD=3 m，AD=4 m，
则$AD^2+CD^2=4^2+3^2=16+9=25$，$AC^2=5^2=25$，
∴$AD^2+CD^2=AC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得△ADC是直角三角形，即∠ADC=90°。
(2) 解：
阴影部分面积 = △ABC的面积 - △ADC的面积
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×5×12=30\ \mathrm{m^2}$
$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}× AD× CD=\frac{1}{2}×4×3=6\ \mathrm{m^2}$
∴$S_{\mathrm{阴影}}=30-6=24\ \mathrm{m^2}$
【答案】
(1) 证明见上述过程；(2) $\boldsymbol{24\ \mathrm{m^2}}$
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是将AC作为连接两个三角形的桥梁，先利用勾股定理求AC长度，再借助勾股定理逆定理判断直角三角形，最后通过面积差法求解阴影面积，是勾股定理章节的典型考法。
【难度系数】
0.7
