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1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A = 90°$，若$AB = 7$，$AC = 24$，则$BC = \underline{\hspace{5em}}$.
答案
1. 25
解析
【分析】
本题是直角三角形中已知两条直角边求斜边的问题，解题思路如下：首先根据题中给出的$\mathrm{Rt}△ ABC$且$∠ A=90°$，确定$∠ A$的对边$BC$是斜边，$AB$、$AC$是两条直角边；接下来回忆勾股定理的内容：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，直接代入已知边长计算即可，注意边长为正数，开方时取正的结果。
【解析】
解：$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，
$\therefore$ $BC$为斜边，根据勾股定理可得：
$BC^2=AB^2+AC^2$
将$AB=7$，$AC=24$代入得：
$BC^2=7^2+24^2=49+576=625$
$\because$ 边长为正数，
$\therefore$ $BC=\sqrt{625}=25$
【答案】
25
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题的关键是先明确直角对应的斜边，再准确代入勾股定理计算，难度较低，熟练掌握勾股定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题是直角三角形中已知两条直角边求斜边的问题，解题思路如下：首先根据题中给出的$\mathrm{Rt}△ ABC$且$∠ A=90°$，确定$∠ A$的对边$BC$是斜边，$AB$、$AC$是两条直角边；接下来回忆勾股定理的内容：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，直接代入已知边长计算即可，注意边长为正数，开方时取正的结果。
【解析】
解：$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，
$\therefore$ $BC$为斜边，根据勾股定理可得：
$BC^2=AB^2+AC^2$
将$AB=7$，$AC=24$代入得：
$BC^2=7^2+24^2=49+576=625$
$\because$ 边长为正数，
$\therefore$ $BC=\sqrt{625}=25$
【答案】
25
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题的关键是先明确直角对应的斜边，再准确代入勾股定理计算，难度较低，熟练掌握勾股定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 若三角形三个内角度数的比为$1:2:3$，则这个三角形按角分类是________三角形。
答案
2. 直角
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。已知三个内角度数的比为1:2:3，我们可以通过设份数的方法表示三个内角的度数，设每份角度为x，那么三个内角就分别为x、2x、3x，再根据内角和列方程求解，最后根据最大内角的度数判断三角形的类型。
【解析】
设这个三角形三个内角的度数分别为$ x $、$ 2x $、$ 3x $。
根据三角形内角和定理可得：
$ x + 2x + 3x = 180° $
合并同类项得：$ 6x = 180° $
解得：$ x = 30° $
则最大内角的度数为$ 3x = 3×30° = 90° $，有一个角是直角的三角形是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形内角和定理的应用，以及三角形按角分类的判定标准，熟练掌握基础定理即可快速求解，是三角形章节的常规考题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。已知三个内角度数的比为1:2:3，我们可以通过设份数的方法表示三个内角的度数，设每份角度为x，那么三个内角就分别为x、2x、3x，再根据内角和列方程求解，最后根据最大内角的度数判断三角形的类型。
【解析】
设这个三角形三个内角的度数分别为$ x $、$ 2x $、$ 3x $。
根据三角形内角和定理可得：
$ x + 2x + 3x = 180° $
合并同类项得：$ 6x = 180° $
解得：$ x = 30° $
则最大内角的度数为$ 3x = 3×30° = 90° $，有一个角是直角的三角形是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形内角和定理的应用，以及三角形按角分类的判定标准，熟练掌握基础定理即可快速求解，是三角形章节的常规考题。
【难度系数】
0.9
3. 一座垂直于两岸的桥长 15 m,一艘小船自桥北头出发,向正南方向驶去,因水流原因,到达南岸后,发现已偏离桥南头 9 m,则小船实际行驶了$\underline{\hspace{5em}}$ m.
答案
3. $3\sqrt{34}$
解析
【分析】
首先提取题干中的几何关系：桥垂直于两岸，因此桥长（15m，南北方向）、小船偏离桥南头的距离（9m，东西方向）、小船实际行驶的路径刚好构成直角三角形，其中桥长和偏移距离是两条直角边，实际行驶路程为斜边。解题时只需要利用勾股定理计算斜边长度即可。
【解析】
由题意可得：桥长、小船偏移距离与实际行驶路程构成直角三角形，两条直角边长分别为15m、9m，实际行驶路程为斜边长。
设小船实际行驶路程为$ l $，根据勾股定理：
$ l^2 = 15^2 + 9^2 $
计算得：$ l^2 = 225 + 81 = 306 $
化简开方：$ l = \sqrt{306} = \sqrt{9×34} = 3\sqrt{34} \, \mathrm{m} $
【答案】
$ 3\sqrt{34} $
【知识点】
勾股定理；实际问题几何建模
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的基础应用，核心是要从题干描述里抽象出直角三角形模型，准确识别两条直角边的长度，代入公式计算即可，整体解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
首先提取题干中的几何关系：桥垂直于两岸，因此桥长（15m，南北方向）、小船偏离桥南头的距离（9m，东西方向）、小船实际行驶的路径刚好构成直角三角形，其中桥长和偏移距离是两条直角边，实际行驶路程为斜边。解题时只需要利用勾股定理计算斜边长度即可。
【解析】
由题意可得：桥长、小船偏移距离与实际行驶路程构成直角三角形，两条直角边长分别为15m、9m，实际行驶路程为斜边长。
设小船实际行驶路程为$ l $，根据勾股定理：
$ l^2 = 15^2 + 9^2 $
计算得：$ l^2 = 225 + 81 = 306 $
化简开方：$ l = \sqrt{306} = \sqrt{9×34} = 3\sqrt{34} \, \mathrm{m} $
【答案】
$ 3\sqrt{34} $
【知识点】
勾股定理；实际问题几何建模
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的基础应用，核心是要从题干描述里抽象出直角三角形模型，准确识别两条直角边的长度，代入公式计算即可，整体解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
4. 已知某等腰三角形的腰长是5 cm，底边长是8 cm，则该三角形底边上的高是________ cm.
答案
4. 3
解析
【分析】
要解决该问题，首先回忆等腰三角形的核心性质：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合（三线合一），因此底边上的高会将底边平分为长度相等的两段，此时高、半段底边、腰可构成直角三角形，再结合勾股定理即可计算出高的长度。
【解析】
解：过等腰三角形的顶角顶点作底边上的高，记为$h$。
根据等腰三角形三线合一的性质，高将底边平分，因此半段底边的长度为：$8÷2=4\ \mathrm{cm}$。
此时$h$、半段底边、腰构成直角三角形，腰为斜边，根据勾股定理可得：
$h^2 + 4^2 = 5^2$
整理得$h^2=25-16=9$，因为高为正数，所以$h=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
3
【知识点】
等腰三角形三线合一；勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是利用等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，再结合勾股定理计算，整体计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
要解决该问题，首先回忆等腰三角形的核心性质：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合（三线合一），因此底边上的高会将底边平分为长度相等的两段，此时高、半段底边、腰可构成直角三角形，再结合勾股定理即可计算出高的长度。
【解析】
解：过等腰三角形的顶角顶点作底边上的高，记为$h$。
根据等腰三角形三线合一的性质，高将底边平分，因此半段底边的长度为：$8÷2=4\ \mathrm{cm}$。
此时$h$、半段底边、腰构成直角三角形，腰为斜边，根据勾股定理可得：
$h^2 + 4^2 = 5^2$
整理得$h^2=25-16=9$，因为高为正数，所以$h=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
3
【知识点】
等腰三角形三线合一；勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是利用等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，再结合勾股定理计算，整体计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
5. 如图,在长方形$ABCD$中,$AB=5\ \mathrm{cm}$,$AC=13\ \mathrm{cm}$,则长方形$ABCD$的面积为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}^2$.
答案
5. 60
解析
【分析】
首先根据长方形的性质可知其四个角均为直角，因此△ABC为直角三角形。已知直角边AB和斜边AC的长度，我们可先通过勾股定理求出另一条直角边BC的长度，再利用长方形面积公式（长×宽）代入数值计算，即可得到长方形的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴$∠ B=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=5\ \mathrm{cm}$，$AC=13\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
代入数值：$5^2 + BC^2 = 13^2$
即$25 + BC^2 = 169$，
解得$BC^2=144$，
∵BC为线段长度，取正值，
∴$BC=12\ \mathrm{cm}$，
∴长方形$ABCD$的面积$S=AB× BC=5×12=60\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
60
【知识点】
长方形的性质；勾股定理；长方形面积计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是利用长方形的直角特征构造直角三角形，结合勾股定理求出未知边长，再代入面积公式求解，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
首先根据长方形的性质可知其四个角均为直角，因此△ABC为直角三角形。已知直角边AB和斜边AC的长度，我们可先通过勾股定理求出另一条直角边BC的长度，再利用长方形面积公式（长×宽）代入数值计算，即可得到长方形的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴$∠ B=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=5\ \mathrm{cm}$，$AC=13\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
代入数值：$5^2 + BC^2 = 13^2$
即$25 + BC^2 = 169$，
解得$BC^2=144$，
∵BC为线段长度，取正值，
∴$BC=12\ \mathrm{cm}$，
∴长方形$ABCD$的面积$S=AB× BC=5×12=60\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
60
【知识点】
长方形的性质；勾股定理；长方形面积计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是利用长方形的直角特征构造直角三角形，结合勾股定理求出未知边长，再代入面积公式求解，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
6. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ C=90°$, $AC=9$, $BC=12$, 则点 $C$ 到 $AB$ 的距离是(
A.$\dfrac{36}{5}$
B.$\dfrac{12}{25}$
C.$\dfrac{9}{4}$
D.$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
A
).A.$\dfrac{36}{5}$
B.$\dfrac{12}{25}$
C.$\dfrac{9}{4}$
D.$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
答案
6. A
解析
【分析】
要求点C到AB的距离，实质是求Rt△ABC斜边AB上的高。解题可按两步思考：第一步，已知直角三角形两条直角边的长度，可通过勾股定理先计算出斜边AB的长度；第二步，直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上高的一半计算，利用等面积法建立等式即可求出高的长度，也就是点C到AB的距离。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=9$，$BC=12$：
1. 根据勾股定理计算斜边$AB$的长度：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$
2. 设点C到AB的距离为$h$，根据三角形面积的两种计算方式列等式：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× AB× h$
代入数值可得：$\frac{1}{2}×9×12=\frac{1}{2}×15× h$
化简得：$108=15h$，解得$h=\frac{108}{15}=\frac{36}{5}$
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；点到直线的距离
【点评】
本题是直角三角形相关计算的典型题型，解题核心是灵活运用等面积法建立等式，既考查了勾股定理的基础应用，也要求学生能掌握同个三角形面积的不同表示方法，整体解题逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
要求点C到AB的距离，实质是求Rt△ABC斜边AB上的高。解题可按两步思考：第一步，已知直角三角形两条直角边的长度，可通过勾股定理先计算出斜边AB的长度；第二步，直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上高的一半计算，利用等面积法建立等式即可求出高的长度，也就是点C到AB的距离。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=9$，$BC=12$：
1. 根据勾股定理计算斜边$AB$的长度：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$
2. 设点C到AB的距离为$h$，根据三角形面积的两种计算方式列等式：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× AB× h$
代入数值可得：$\frac{1}{2}×9×12=\frac{1}{2}×15× h$
化简得：$108=15h$，解得$h=\frac{108}{15}=\frac{36}{5}$
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；点到直线的距离
【点评】
本题是直角三角形相关计算的典型题型，解题核心是灵活运用等面积法建立等式，既考查了勾股定理的基础应用，也要求学生能掌握同个三角形面积的不同表示方法，整体解题逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
7. 下列是勾股数的一组是(
A.4，5，6
B.5，7，12
C.12，13，15
D.21，28，35
D
).A.4，5，6
B.5，7，12
C.12，13，15
D.21，28，35
答案
7. D
解析
【分析】
要判断一组数是不是勾股数，首先明确勾股数的定义：满足两个较小正整数的平方和等于最大正整数的平方的三个正整数，叫做勾股数。解题时可以逐个验证选项：先找出每个选项中的最大数，再计算两个较小数的平方和，将其与最大数的平方比较，若相等则为勾股数，否则不是。
【解析】
我们根据勾股数的定义逐一验证选项：
A选项：三个数中最大数为6，计算得$4^2+5^2=16+25=41$，$6^2=36$，$41≠36$，因此不是勾股数；
B选项：三个数中最大数为12，计算得$5^2+7^2=25+49=74$，$12^2=144$，$74≠144$，因此不是勾股数；
C选项：三个数中最大数为15，计算得$12^2+13^2=144+169=313$，$15^2=225$，$313≠225$，因此不是勾股数；
D选项：三个数中最大数为35，计算得$21^2+28^2=441+784=1225$，$35^2=1225$，满足$21^2+28^2=35^2$，因此是勾股数。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股数的判定、勾股定理的应用
【点评】
本题是勾股数判定的基础题，解题核心是牢记勾股数的两个判定条件：一是三个数均为正整数，二是满足较小两数的平方和等于最大数的平方，采用逐一验证的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要判断一组数是不是勾股数，首先明确勾股数的定义：满足两个较小正整数的平方和等于最大正整数的平方的三个正整数，叫做勾股数。解题时可以逐个验证选项：先找出每个选项中的最大数，再计算两个较小数的平方和，将其与最大数的平方比较，若相等则为勾股数，否则不是。
【解析】
我们根据勾股数的定义逐一验证选项：
A选项：三个数中最大数为6，计算得$4^2+5^2=16+25=41$，$6^2=36$，$41≠36$，因此不是勾股数；
B选项：三个数中最大数为12，计算得$5^2+7^2=25+49=74$，$12^2=144$，$74≠144$，因此不是勾股数；
C选项：三个数中最大数为15，计算得$12^2+13^2=144+169=313$，$15^2=225$，$313≠225$，因此不是勾股数；
D选项：三个数中最大数为35，计算得$21^2+28^2=441+784=1225$，$35^2=1225$，满足$21^2+28^2=35^2$，因此是勾股数。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股数的判定、勾股定理的应用
【点评】
本题是勾股数判定的基础题，解题核心是牢记勾股数的两个判定条件：一是三个数均为正整数，二是满足较小两数的平方和等于最大数的平方，采用逐一验证的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.9
8. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$, $AD$平分$∠ CAB$, $CD=1.5$, $BD=2.5$, 则$AC$的长为(
A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$
B
).A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$
答案
8. B
解析
【分析】
解题时先利用角平分线的性质构造相等线段，再结合勾股定理求出未知线段长度，最后在大直角三角形中用勾股定理列方程求解AC的长度。首先，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以D到AB的距离等于CD的长度；其次在Rt△BDE中用勾股定理算出BE的长；最后设AC为x，根据AB=AE+BE=AC+BE，代入Rt△ABC的勾股定理公式列方程求解即可。
【解析】
解：过点D作$DE⊥AB$于点E。
∵AD平分$∠CAB$，$∠C=90°$（即$DC⊥AC$），$DE⊥AB$，
∴$DE=CD=1.5$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在$Rt△BDE$中，$BD=2.5$，$DE=1.5$，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BD^2-DE^2}=\sqrt{2.5^2-1.5^2}=\sqrt{4}=2$。
易证$△ACD≌△AED$（AAS），
∴$AC=AE$。
设$AC=x$，则$AE=x$，$AB=AE+BE=x+2$，$BC=CD+BD=1.5+2.5=4$。
在$Rt△ABC$中，由勾股定理得：$AC^2+BC^2=AB^2$，
代入得：$x^2+4^2=(x+2)^2$，
展开得：$x^2+16=x^2+4x+4$，
化简得：$4x=12$，解得$x=3$。
即AC的长为3。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了角平分线性质、勾股定理的应用，通过作辅助线构造直角三角形和全等三角形是解题的关键，同时运用方程思想求解线段长度是几何计算中常用的方法。
【难度系数】
0.7
解题时先利用角平分线的性质构造相等线段，再结合勾股定理求出未知线段长度，最后在大直角三角形中用勾股定理列方程求解AC的长度。首先，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以D到AB的距离等于CD的长度；其次在Rt△BDE中用勾股定理算出BE的长；最后设AC为x，根据AB=AE+BE=AC+BE，代入Rt△ABC的勾股定理公式列方程求解即可。
【解析】
解：过点D作$DE⊥AB$于点E。
∵AD平分$∠CAB$，$∠C=90°$（即$DC⊥AC$），$DE⊥AB$，
∴$DE=CD=1.5$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在$Rt△BDE$中，$BD=2.5$，$DE=1.5$，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BD^2-DE^2}=\sqrt{2.5^2-1.5^2}=\sqrt{4}=2$。
易证$△ACD≌△AED$（AAS），
∴$AC=AE$。
设$AC=x$，则$AE=x$，$AB=AE+BE=x+2$，$BC=CD+BD=1.5+2.5=4$。
在$Rt△ABC$中，由勾股定理得：$AC^2+BC^2=AB^2$，
代入得：$x^2+4^2=(x+2)^2$，
展开得：$x^2+16=x^2+4x+4$，
化简得：$4x=12$，解得$x=3$。
即AC的长为3。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了角平分线性质、勾股定理的应用，通过作辅助线构造直角三角形和全等三角形是解题的关键，同时运用方程思想求解线段长度是几何计算中常用的方法。
【难度系数】
0.7
