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14. 若关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + (m - 4)x + 6 - m = 0 $ 的两个实数根都大于 2，求实数 $ m $ 的取值范围.
答案
14. $-2＜m≤2-2\sqrt{3}.$
提示: 设方程的两根分别为$x_1,x_2$.则$\Delta=(m-4)^2-4(6-m)≥0$,即$m≤2-\sqrt{3}$或$m≥2+\sqrt{3}$.又$\because x_1+x_2=4-m$,$x_1x_2=6-m$,$\therefore (x_1-2)+(x_2-2)=(x_1+x_2)-4=(4-m)-4＞0$,$(x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4=6-m-2(4-m)+4＞0$.$\therefore -2＜m＜0$.
综上所述,$-2＜m≤2-\sqrt{3}$
提示: 设方程的两根分别为$x_1,x_2$.则$\Delta=(m-4)^2-4(6-m)≥0$,即$m≤2-\sqrt{3}$或$m≥2+\sqrt{3}$.又$\because x_1+x_2=4-m$,$x_1x_2=6-m$,$\therefore (x_1-2)+(x_2-2)=(x_1+x_2)-4=(4-m)-4＞0$,$(x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4=6-m-2(4-m)+4＞0$.$\therefore -2＜m＜0$.
综上所述,$-2＜m≤2-\sqrt{3}$
解析
【分析】
要解决方程两根都大于2的问题，可按三步思路推导：①首先方程要有两个实数根，因此根的判别式Δ必须大于等于0；②两根都大于2等价于两根减2后均为正数，两个正数的和大于0，因此可得$(x_1-2)+(x_2-2)＞0$；③两个正数的乘积也大于0，因此可得$(x_1-2)(x_2-2)＞0$。再通过韦达定理将上述两个不等式转化为关于m的表达式，最后联立所有不等式求解，取公共解集即可得到m的取值范围。
【解析】
设方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，解题步骤如下：
1. 由方程有两个实根，得判别式非负：
$\Delta=(m-4)^2 - 4×1×(6-m) ≥ 0$
展开整理：$m^2-8m+16-24+4m≥0$，即$m^2-4m-8≥0$
解得：$m≤ 2-2\sqrt{3}$或$m≥ 2+2\sqrt{3}$。
2. 根据韦达定理得：$x_1+x_2=4-m$，$x_1x_2=6-m$
因$x_1＞2$、$x_2＞2$，故$x_1-2＞0$、$x_2-2＞0$：
两根减2的和为正：$(x_1-2)+(x_2-2)=(x_1+x_2)-4=(4-m)-4=-m＞0$，解得$m＜0$；
两根减2的乘积为正：$(x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4=6-m-2(4-m)+4=m+2＞0$，解得$m＞-2$。
3. 联立所有条件取交集：
$m≥ 2+2\sqrt{3}$不符合$m＜0$的要求，舍去，最终得$-2＜m≤ 2-2\sqrt{3}$。
【答案】
$-2＜m≤2-2\sqrt{3}$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，一元二次不等式求解
【点评】
本题属于一元二次方程根的分布类问题，解题核心是将两根的范围条件合理转化为判别式、两根与临界值差值的和与积的符号约束，联立求解时要注意取各解集的公共部分，避免漏判判别式导致取值范围扩大。
【难度系数】
0.5
要解决方程两根都大于2的问题，可按三步思路推导：①首先方程要有两个实数根，因此根的判别式Δ必须大于等于0；②两根都大于2等价于两根减2后均为正数，两个正数的和大于0，因此可得$(x_1-2)+(x_2-2)＞0$；③两个正数的乘积也大于0，因此可得$(x_1-2)(x_2-2)＞0$。再通过韦达定理将上述两个不等式转化为关于m的表达式，最后联立所有不等式求解，取公共解集即可得到m的取值范围。
【解析】
设方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，解题步骤如下：
1. 由方程有两个实根，得判别式非负：
$\Delta=(m-4)^2 - 4×1×(6-m) ≥ 0$
展开整理：$m^2-8m+16-24+4m≥0$，即$m^2-4m-8≥0$
解得：$m≤ 2-2\sqrt{3}$或$m≥ 2+2\sqrt{3}$。
2. 根据韦达定理得：$x_1+x_2=4-m$，$x_1x_2=6-m$
因$x_1＞2$、$x_2＞2$，故$x_1-2＞0$、$x_2-2＞0$：
两根减2的和为正：$(x_1-2)+(x_2-2)=(x_1+x_2)-4=(4-m)-4=-m＞0$，解得$m＜0$；
两根减2的乘积为正：$(x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4=6-m-2(4-m)+4=m+2＞0$，解得$m＞-2$。
3. 联立所有条件取交集：
$m≥ 2+2\sqrt{3}$不符合$m＜0$的要求，舍去，最终得$-2＜m≤ 2-2\sqrt{3}$。
【答案】
$-2＜m≤2-2\sqrt{3}$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，一元二次不等式求解
【点评】
本题属于一元二次方程根的分布类问题，解题核心是将两根的范围条件合理转化为判别式、两根与临界值差值的和与积的符号约束，联立求解时要注意取各解集的公共部分，避免漏判判别式导致取值范围扩大。
【难度系数】
0.5
15. 某厂工业废气年排放量为 $ 4.5× 10^{6}\ \mathrm{m}^3 $，为改善大气环境质量，该厂决定分两期投入治理，使废气年排放量减少到 $ 2.88× 10^{6}\ \mathrm{m}^3 $，每期治理中废气年排放量减少的百分率相同.
（1）求每期治理中废气年排放量减少的百分率；
（2）预计第一期治理中每减少 $ 1× 10^{4}\ \mathrm{m}^3 $ 的废气需投入 3 万元，第二期治理中每减少 $ 1× 10^{4}\ \mathrm{m}^3 $ 的废气需投入 4.5 万元.两期治理共需投入多少万元？
（1）求每期治理中废气年排放量减少的百分率；
（2）预计第一期治理中每减少 $ 1× 10^{4}\ \mathrm{m}^3 $ 的废气需投入 3 万元，第二期治理中每减少 $ 1× 10^{4}\ \mathrm{m}^3 $ 的废气需投入 4.5 万元.两期治理共需投入多少万元？
答案
15. (1) 20% (2) 594 万元
解析
【分析】
（1）本题属于平均减少率问题，核心公式为：最终量=初始量×(1-减少率)ⁿ，其中n为变化次数。已知废气初始排放量、两期治理后的最终排放量，变化次数n=2，我们可以设减少的百分率为x，代入公式列一元二次方程求解，注意舍去不符合实际意义的负根即可。
（2）要计算两期总投入，需先分别求出两期各自减少的废气量：第一期减少量以初始排放量为基数计算，第二期减少量以第一期治理后的排放量为基数计算，再分别乘以对应单位治理费用，求和即可得到总投入。
【解析】
（1）设每期治理中废气年排放量减少的百分率为x，根据题意列方程：
$4.5×10^6(1-x)^2=2.88×10^6$
两边同时除以$10^6$得：
$4.5(1-x)^2=2.88$
化简得：
$(1-x)^2=0.64$
开平方得：$1-x=±0.8$
因为减少率x满足$0＜x＜1$，所以$1-x＞0$，故取$1-x=0.8$
解得：$x=0.2=20\%$
（2）计算第一期减少的废气量：
$4.5×10^6 ×20\% =9×10^5\ \mathrm{m}^3$
第一期投入费用：$\frac{9×10^5}{1×10^4}×3=90×3=270$（万元）
第一期治理后废气排放量：
$4.5×10^6×(1-20\%)=3.6×10^6\ \mathrm{m}^3$
第二期减少的废气量：
$3.6×10^6×20\%=7.2×10^5\ \mathrm{m}^3$
第二期投入费用：$\frac{7.2×10^5}{1×10^4}×4.5=72×4.5=324$（万元）
两期总投入：$270+324=594$（万元）
【答案】
（1）20%；（2）594万元
【知识点】
一元二次方程的应用；平均变化率问题；有理数运算
【点评】
本题是一元二次方程的常规实际应用题，解题关键是熟练掌握平均变化率的计算公式，注意两期治理的计算基数不同，避免混淆基数导致计算错误，整体解题逻辑清晰，计算量适中。
【难度系数】
0.7
（1）本题属于平均减少率问题，核心公式为：最终量=初始量×(1-减少率)ⁿ，其中n为变化次数。已知废气初始排放量、两期治理后的最终排放量，变化次数n=2，我们可以设减少的百分率为x，代入公式列一元二次方程求解，注意舍去不符合实际意义的负根即可。
（2）要计算两期总投入，需先分别求出两期各自减少的废气量：第一期减少量以初始排放量为基数计算，第二期减少量以第一期治理后的排放量为基数计算，再分别乘以对应单位治理费用，求和即可得到总投入。
【解析】
（1）设每期治理中废气年排放量减少的百分率为x，根据题意列方程：
$4.5×10^6(1-x)^2=2.88×10^6$
两边同时除以$10^6$得：
$4.5(1-x)^2=2.88$
化简得：
$(1-x)^2=0.64$
开平方得：$1-x=±0.8$
因为减少率x满足$0＜x＜1$，所以$1-x＞0$，故取$1-x=0.8$
解得：$x=0.2=20\%$
（2）计算第一期减少的废气量：
$4.5×10^6 ×20\% =9×10^5\ \mathrm{m}^3$
第一期投入费用：$\frac{9×10^5}{1×10^4}×3=90×3=270$（万元）
第一期治理后废气排放量：
$4.5×10^6×(1-20\%)=3.6×10^6\ \mathrm{m}^3$
第二期减少的废气量：
$3.6×10^6×20\%=7.2×10^5\ \mathrm{m}^3$
第二期投入费用：$\frac{7.2×10^5}{1×10^4}×4.5=72×4.5=324$（万元）
两期总投入：$270+324=594$（万元）
【答案】
（1）20%；（2）594万元
【知识点】
一元二次方程的应用；平均变化率问题；有理数运算
【点评】
本题是一元二次方程的常规实际应用题，解题关键是熟练掌握平均变化率的计算公式，注意两期治理的计算基数不同，避免混淆基数导致计算错误，整体解题逻辑清晰，计算量适中。
【难度系数】
0.7
