登录
10. 下列关于$ x $的方程中，无论实数$ b $取何值，总有两个不相等实数根的方程是(
A.$ x^2 + bx + 1 = 0 $
B.$ x^2 + bx = b^2 + 1 $
C.$ x^2 + bx + b = 0 $
D.$ x^2 + bx = b^2 $
B
).A.$ x^2 + bx + 1 = 0 $
B.$ x^2 + bx = b^2 + 1 $
C.$ x^2 + bx + b = 0 $
D.$ x^2 + bx = b^2 $
答案
10. B
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程根的判别式的应用。对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。题目要求无论$b$取何实数，方程总有两个不相等实数根，本质是判断每个选项的判别式是否恒大于0，我们只需逐个计算各选项的判别式，结合平方的非负性判断$\Delta$的正负即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：方程为$x^2+bx+1=0$，其中$a=1$，一次项系数为$b$，常数项$c=1$，
判别式$\Delta=b^2-4×1×1=b^2-4$，
当$|b|＜2$时，$\Delta＜0$，方程没有实数根，不符合要求。
2. 选项B：先将方程整理为标准形式：$x^2+bx-b^2-1=0$，其中$a=1$，一次项系数为$b$，常数项$c=-b^2-1$，
判别式$\Delta=b^2-4×1×(-b^2-1)=b^2+4b^2+4=5b^2+4$，
因为任意实数的平方非负，即$b^2≥0$，所以$5b^2+4≥4＞0$，
即无论$b$取何值，$\Delta$恒大于0，方程总有两个不相等的实数根，符合要求。
3. 选项C：方程为$x^2+bx+b=0$，判别式$\Delta=b^2-4×1× b=b^2-4b$，
当$b=2$时，$\Delta=4-8=-4＜0$，方程没有实数根，不符合要求。
4. 选项D：整理为标准形式得$x^2+bx-b^2=0$，判别式$\Delta=b^2-4×1×(-b^2)=5b^2$，
当$b=0$时，$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式；平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的常规应用题型，解题核心是熟练掌握判别式与方程根的对应关系，计算判别式时注意先将方程整理为标准形式，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
这道题考查一元二次方程根的判别式的应用。对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。题目要求无论$b$取何实数，方程总有两个不相等实数根，本质是判断每个选项的判别式是否恒大于0，我们只需逐个计算各选项的判别式，结合平方的非负性判断$\Delta$的正负即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：方程为$x^2+bx+1=0$，其中$a=1$，一次项系数为$b$，常数项$c=1$，
判别式$\Delta=b^2-4×1×1=b^2-4$，
当$|b|＜2$时，$\Delta＜0$，方程没有实数根，不符合要求。
2. 选项B：先将方程整理为标准形式：$x^2+bx-b^2-1=0$，其中$a=1$，一次项系数为$b$，常数项$c=-b^2-1$，
判别式$\Delta=b^2-4×1×(-b^2-1)=b^2+4b^2+4=5b^2+4$，
因为任意实数的平方非负，即$b^2≥0$，所以$5b^2+4≥4＞0$，
即无论$b$取何值，$\Delta$恒大于0，方程总有两个不相等的实数根，符合要求。
3. 选项C：方程为$x^2+bx+b=0$，判别式$\Delta=b^2-4×1× b=b^2-4b$，
当$b=2$时，$\Delta=4-8=-4＜0$，方程没有实数根，不符合要求。
4. 选项D：整理为标准形式得$x^2+bx-b^2=0$，判别式$\Delta=b^2-4×1×(-b^2)=5b^2$，
当$b=0$时，$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式；平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的常规应用题型，解题核心是熟练掌握判别式与方程根的对应关系，计算判别式时注意先将方程整理为标准形式，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 在等腰三角形 $ ABC $ 中，$ BC=8 $，$ AB $，$ AC $ 的长是关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - 10x + m = 0 $ 的两个实数根，则 $ m $ 的值是多少？
11. 在等腰三角形 $ ABC $ 中，$ BC=8 $，$ AB $，$ AC $ 的长是关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - 10x + m = 0 $ 的两个实数根，则 $ m $ 的值是多少？
答案
11. 16或25
解析
【分析】
本题是等腰三角形结合一元二次方程的综合题，需分类讨论求解：首先明确等腰三角形未指定腰和底边，因此分两种情况：①BC为腰，即AB或AC的长度等于BC=8，此时x=8是方程的根，代入方程即可求m；②BC为底边，即AB=AC，此时一元二次方程有两个相等的实数根，利用判别式Δ=0求m。两种情况求出m后都要验证三边是否满足三角形三边关系，排除无效解。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$BC$为等腰三角形的腰时，即$AB=8$或$AC=8$，说明$x=8$是方程$x^2 -10x +m=0$的一个根。
将$x=8$代入方程得：
$8^2 -10×8 +m=0$
$64-80+m=0$
解得$m=16$。
将$m=16$代回原方程得$x^2-10x+16=0$，因式分解得$(x-2)(x-8)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=8$。
此时三角形三边长为8、8、2，满足$2+8＞8$，可构成三角形，符合要求。
2. 当$BC$为等腰三角形的底边时，即$AB=AC$，说明方程$x^2 -10x +m=0$有两个相等的实数根，因此判别式$\Delta=0$。
计算判别式：$\Delta=(-10)^2 -4×1× m=100-4m=0$，解得$m=25$。
将$m=25$代回原方程得$x^2-10x+25=0$，即$(x-5)^2=0$，解得$x_1=x_2=5$。
此时三角形三边长为5、5、8，满足$5+5＞8$，可构成三角形，符合要求。
综上，$m$的值为16或25。
【答案】
16或25
【知识点】
等腰三角形的性质；一元二次方程根的判别式；三角形三边关系
【点评】
本题解题的关键是对等腰三角形的边进行分类讨论，避免漏解，同时求出边长后要验证是否符合三角形三边关系，舍去不合理的解。
【难度系数】
0.7
本题是等腰三角形结合一元二次方程的综合题，需分类讨论求解：首先明确等腰三角形未指定腰和底边，因此分两种情况：①BC为腰，即AB或AC的长度等于BC=8，此时x=8是方程的根，代入方程即可求m；②BC为底边，即AB=AC，此时一元二次方程有两个相等的实数根，利用判别式Δ=0求m。两种情况求出m后都要验证三边是否满足三角形三边关系，排除无效解。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$BC$为等腰三角形的腰时，即$AB=8$或$AC=8$，说明$x=8$是方程$x^2 -10x +m=0$的一个根。
将$x=8$代入方程得：
$8^2 -10×8 +m=0$
$64-80+m=0$
解得$m=16$。
将$m=16$代回原方程得$x^2-10x+16=0$，因式分解得$(x-2)(x-8)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=8$。
此时三角形三边长为8、8、2，满足$2+8＞8$，可构成三角形，符合要求。
2. 当$BC$为等腰三角形的底边时，即$AB=AC$，说明方程$x^2 -10x +m=0$有两个相等的实数根，因此判别式$\Delta=0$。
计算判别式：$\Delta=(-10)^2 -4×1× m=100-4m=0$，解得$m=25$。
将$m=25$代回原方程得$x^2-10x+25=0$，即$(x-5)^2=0$，解得$x_1=x_2=5$。
此时三角形三边长为5、5、8，满足$5+5＞8$，可构成三角形，符合要求。
综上，$m$的值为16或25。
【答案】
16或25
【知识点】
等腰三角形的性质；一元二次方程根的判别式；三角形三边关系
【点评】
本题解题的关键是对等腰三角形的边进行分类讨论，避免漏解，同时求出边长后要验证是否符合三角形三边关系，舍去不合理的解。
【难度系数】
0.7
12. 解方程：$\dfrac{2x}{2 - x} - 1 = \dfrac{4}{x^2 - 4} + \dfrac{3}{x + 2}.$
答案
12. $x_1=-3, x_2=\dfrac{2}{3}$
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须验根。第一步先对各分母因式分解，找到最简公分母：观察方程，分母$x^2-4$可利用平方差公式分解为$(x+2)(x-2)$，分母$2-x$可变形为$-(x-2)$，因此最简公分母为$(x+2)(x-2)$；第二步给方程两边同时乘最简公分母，注意每一项都要乘，包括常数项$-1$，同时注意第一项的符号变化，消去分母得到整式方程；第三步解所得的整式方程；第四步将整式方程的解代入最简公分母验证，若公分母不为0则是原方程的根，若为0则是增根要舍去。
【解析】
解：先整理分母，$x^2-4=(x+2)(x-2)$，$2-x=-(x-2)$，原方程可变形为：
$\dfrac{2x}{-(x-2)} - 1 = \dfrac{4}{(x+2)(x-2)} + \dfrac{3}{x+2}$
方程两边同时乘以最简公分母$(x+2)(x-2)$，得：
$-2x(x+2) - (x+2)(x-2) = 4 + 3(x-2)$
展开并整理：
左边：$-2x^2 -4x - (x^2 -4) = -3x^2 -4x +4$
右边：$4 + 3x -6 = 3x -2$
移项合并同类项：
$-3x^2 -4x +4 -3x +2 = 0$
即$3x^2 +7x -6 = 0$
因式分解得：$(3x - 2)(x + 3) = 0$
解得：$x_1=-3$，$x_2=\dfrac{2}{3}$
验根：
将$x=-3$代入$(x+2)(x-2)=(-1)×(-5)=5≠0$，是原方程的根；
将$x=\dfrac{2}{3}$代入$(x+2)(x-2)=\dfrac{8}{3}×(-\dfrac{4}{3})=-\dfrac{32}{9}≠0$，是原方程的根。
【答案】
$x_1=-3, x_2=\dfrac{2}{3}$
【知识点】
分式方程的解法，平方差公式因式分解，一元二次方程的解法
【点评】
本题是分式方程求解的常规题型，解题的易错点在于去分母时漏乘常数项、符号处理错误，以及忘记验根，解题时要严格按照分式方程的求解步骤操作，注意细节即可正确求解。
【难度系数】
0.6
解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须验根。第一步先对各分母因式分解，找到最简公分母：观察方程，分母$x^2-4$可利用平方差公式分解为$(x+2)(x-2)$，分母$2-x$可变形为$-(x-2)$，因此最简公分母为$(x+2)(x-2)$；第二步给方程两边同时乘最简公分母，注意每一项都要乘，包括常数项$-1$，同时注意第一项的符号变化，消去分母得到整式方程；第三步解所得的整式方程；第四步将整式方程的解代入最简公分母验证，若公分母不为0则是原方程的根，若为0则是增根要舍去。
【解析】
解：先整理分母，$x^2-4=(x+2)(x-2)$，$2-x=-(x-2)$，原方程可变形为：
$\dfrac{2x}{-(x-2)} - 1 = \dfrac{4}{(x+2)(x-2)} + \dfrac{3}{x+2}$
方程两边同时乘以最简公分母$(x+2)(x-2)$，得：
$-2x(x+2) - (x+2)(x-2) = 4 + 3(x-2)$
展开并整理：
左边：$-2x^2 -4x - (x^2 -4) = -3x^2 -4x +4$
右边：$4 + 3x -6 = 3x -2$
移项合并同类项：
$-3x^2 -4x +4 -3x +2 = 0$
即$3x^2 +7x -6 = 0$
因式分解得：$(3x - 2)(x + 3) = 0$
解得：$x_1=-3$，$x_2=\dfrac{2}{3}$
验根：
将$x=-3$代入$(x+2)(x-2)=(-1)×(-5)=5≠0$，是原方程的根；
将$x=\dfrac{2}{3}$代入$(x+2)(x-2)=\dfrac{8}{3}×(-\dfrac{4}{3})=-\dfrac{32}{9}≠0$，是原方程的根。
【答案】
$x_1=-3, x_2=\dfrac{2}{3}$
【知识点】
分式方程的解法，平方差公式因式分解，一元二次方程的解法
【点评】
本题是分式方程求解的常规题型，解题的易错点在于去分母时漏乘常数项、符号处理错误，以及忘记验根，解题时要严格按照分式方程的求解步骤操作，注意细节即可正确求解。
【难度系数】
0.6
13. 甲、乙两人同时从 A 地出发，沿相同路线匀速骑自行车前往距离 A 地 15 km 的 B 地.已知甲比乙平均每小时多骑行 1 km，但由于甲在路上修自行车耽搁了半小时，结果两人同时到达 B 地，甲、乙两人每小时各骑行多少千米？
答案
13. 甲每小时骑行6 km，乙每小时骑行5 km
解析
【分析】
这是一道行程类分式方程应用题，解题思路如下：①先回忆行程问题核心公式：路程=速度×时间，本题中总路程15km是已知量，未知量为甲、乙的骑行速度，已知甲速度比乙快1km/h，因此可设乙的速度为x km/h，则甲的速度为(x+1)km/h。②找等量关系：两人同时出发同时到达，但甲耽搁了半小时，说明乙走完全程的时间比甲实际骑行的时间多0.5小时，而时间=路程÷速度，因此可以用含x的式子分别表示甲、乙的行驶时间，代入等量关系即可列出方程。③求解方程后注意检验，既要检验根是否为原分式方程的解，也要检验根是否符合实际意义（速度不能为负数）。
【解析】
解：设乙每小时骑行x km，则甲每小时骑行(x+1)km。
根据题意，乙走完全程的时间比甲实际骑行时间多0.5小时，列方程得：
$\frac{15}{x} - \frac{15}{x+1} = \frac{1}{2}$
方程两边同时乘以最简公分母$2x(x+1)$去分母，得：
$30(x+1) - 30x = x(x+1)$
整理得：$x^2 + x - 30 = 0$
因式分解得：$(x+6)(x-5)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=-6$
经检验：$x_2=-6$不符合实际意义（速度不能为负），舍去；$x=5$是原方程的解，且符合题意。
则甲的速度为：$x+1=5+1=6$（km/h）
答：甲每小时骑行6km，乙每小时骑行5km。
【答案】
甲每小时骑行6 km，乙每小时骑行5 km
【知识点】
分式方程的应用、行程问题公式、解分式方程
【点评】
本题是典型的分式方程实际应用问题，解题的核心是准确提取题目中的等量关系，列方程时要注意单位统一，解完分式方程后必须双重检验，既要验证根是否为原方程的增根，也要验证根是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.6
这是一道行程类分式方程应用题，解题思路如下：①先回忆行程问题核心公式：路程=速度×时间，本题中总路程15km是已知量，未知量为甲、乙的骑行速度，已知甲速度比乙快1km/h，因此可设乙的速度为x km/h，则甲的速度为(x+1)km/h。②找等量关系：两人同时出发同时到达，但甲耽搁了半小时，说明乙走完全程的时间比甲实际骑行的时间多0.5小时，而时间=路程÷速度，因此可以用含x的式子分别表示甲、乙的行驶时间，代入等量关系即可列出方程。③求解方程后注意检验，既要检验根是否为原分式方程的解，也要检验根是否符合实际意义（速度不能为负数）。
【解析】
解：设乙每小时骑行x km，则甲每小时骑行(x+1)km。
根据题意，乙走完全程的时间比甲实际骑行时间多0.5小时，列方程得：
$\frac{15}{x} - \frac{15}{x+1} = \frac{1}{2}$
方程两边同时乘以最简公分母$2x(x+1)$去分母，得：
$30(x+1) - 30x = x(x+1)$
整理得：$x^2 + x - 30 = 0$
因式分解得：$(x+6)(x-5)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=-6$
经检验：$x_2=-6$不符合实际意义（速度不能为负），舍去；$x=5$是原方程的解，且符合题意。
则甲的速度为：$x+1=5+1=6$（km/h）
答：甲每小时骑行6km，乙每小时骑行5km。
【答案】
甲每小时骑行6 km，乙每小时骑行5 km
【知识点】
分式方程的应用、行程问题公式、解分式方程
【点评】
本题是典型的分式方程实际应用问题，解题的核心是准确提取题目中的等量关系，列方程时要注意单位统一，解完分式方程后必须双重检验，既要验证根是否为原方程的增根，也要验证根是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.6
