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1. 若相邻两个正整数的积是 156,则这两个正整数分别是
12, 13
.答案
1. 12, 13
解析
【分析】
相邻两个正整数相差1，我们可以设其中较小的正整数为x，则较大的正整数为x+1，根据“两数的积为156”这一等量关系列一元二次方程，求解方程后结合正整数的条件舍去不符合题意的根，即可得到两个数的值。
【解析】
设较小的正整数为$ x $，则与其相邻的较大正整数为$ x+1 $，根据题意列方程：
$x(x+1)=156$
整理得一元二次方程：
$x^2 + x - 156 = 0$
用因式分解法解方程，将方程左边分解因式：
$(x+13)(x-12)=0$
解得$ x_1=12 $，$ x_2=-13 $。
因为$ x $是正整数，所以$ x=-13 $不符合题意，舍去。
则较小的正整数为12，较大的正整数为$ 12+1=13 $。
【答案】
12，13
【知识点】
一元二次方程的应用；因式分解法解方程；正整数的概念
【点评】
本题属于方程实际应用的基础题型，解题核心是准确找到相邻正整数的数量关系和题目中的等量关系列方程，求解后要注意结合题目的限制条件对根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.85
相邻两个正整数相差1，我们可以设其中较小的正整数为x，则较大的正整数为x+1，根据“两数的积为156”这一等量关系列一元二次方程，求解方程后结合正整数的条件舍去不符合题意的根，即可得到两个数的值。
【解析】
设较小的正整数为$ x $，则与其相邻的较大正整数为$ x+1 $，根据题意列方程：
$x(x+1)=156$
整理得一元二次方程：
$x^2 + x - 156 = 0$
用因式分解法解方程，将方程左边分解因式：
$(x+13)(x-12)=0$
解得$ x_1=12 $，$ x_2=-13 $。
因为$ x $是正整数，所以$ x=-13 $不符合题意，舍去。
则较小的正整数为12，较大的正整数为$ 12+1=13 $。
【答案】
12，13
【知识点】
一元二次方程的应用；因式分解法解方程；正整数的概念
【点评】
本题属于方程实际应用的基础题型，解题核心是准确找到相邻正整数的数量关系和题目中的等量关系列方程，求解后要注意结合题目的限制条件对根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.85
2. 某市去年投入教育经费2 500万元，预计明年要投入教育经费3 600万元，已知这三年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则该市今年要投入的教育经费为
3 000
万元。答案
2. 3 000
解析
【分析】
这是典型的增长率类应用题，解题核心是理清连续增长的数量关系。我们可以先设年平均增长率为$x$，去年的教育经费是增长基数，今年的经费为去年经费乘以$(1+增长率)$，明年的经费是在今年经费基础上再乘以$(1+增长率)$，也就是$去年经费×(1+增长率)^2$，结合明年投入3600万元的条件列方程，先求出增长率，再计算今年的教育经费即可。
【解析】
设这三年教育经费的年平均增长率为$x$。
根据题意可列方程：
$2500(1+x)^2=3600$
方程两边同时除以2500得：
$(1+x)^2=\frac{36}{25}$
开平方得：
$1+x=\pm\frac{6}{5}$
由于增长率为正数，因此舍去负根：
$1+x=\frac{6}{5}$（$1+x=-\frac{6}{5}$不符合实际，舍去）
解得$x=20\%$
今年投入的教育经费为：$2500×(1+20\%)=3000$（万元）
【答案】
3000
【知识点】
一元二次方程的应用，增长率问题
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是找准连续增长的等量关系，求解方程后要结合实际意义舍去不符合要求的根，再代入计算对应年份的经费即可。
【难度系数】
0.7
这是典型的增长率类应用题，解题核心是理清连续增长的数量关系。我们可以先设年平均增长率为$x$，去年的教育经费是增长基数，今年的经费为去年经费乘以$(1+增长率)$，明年的经费是在今年经费基础上再乘以$(1+增长率)$，也就是$去年经费×(1+增长率)^2$，结合明年投入3600万元的条件列方程，先求出增长率，再计算今年的教育经费即可。
【解析】
设这三年教育经费的年平均增长率为$x$。
根据题意可列方程：
$2500(1+x)^2=3600$
方程两边同时除以2500得：
$(1+x)^2=\frac{36}{25}$
开平方得：
$1+x=\pm\frac{6}{5}$
由于增长率为正数，因此舍去负根：
$1+x=\frac{6}{5}$（$1+x=-\frac{6}{5}$不符合实际，舍去）
解得$x=20\%$
今年投入的教育经费为：$2500×(1+20\%)=3000$（万元）
【答案】
3000
【知识点】
一元二次方程的应用，增长率问题
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是找准连续增长的等量关系，求解方程后要结合实际意义舍去不符合要求的根，再代入计算对应年份的经费即可。
【难度系数】
0.7
3. 若关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + (a - 1)x + a^2 = 0 $ 的两个实数根互为倒数，则 $ a = \underline{\hspace{5em}} $。
答案
3. -1
解析
【分析】
解题时首先根据“两个实数根互为倒数”的条件，结合倒数的性质得到两根之积为1，再利用一元二次方程根与系数的关系列出关于a的方程，初步求出a的可能取值；其次要注意题目明确说明方程有两个实数根，因此需要结合一元二次方程根的判别式Δ≥0的条件，对初步求出的a值进行检验，舍去不符合条件的取值，最终得到正确结果。
【解析】
设方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$。
1. 由两根互为倒数可得：$x_1x_2=1$
2. 根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$x^2 + (a - 1)x + a^2 = 0$，两根之积$x_1x_2 = a^2$，因此有：
$a^2=1$
解得$a=1$或$a=-1$
3. 因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta≥0$，代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$（其中二次项系数为1，一次项系数为$a-1$，常数项为$a^2$）可得：
$\Delta=(a-1)^2 - 4×1× a^2≥0$
展开化简得：
$\Delta=-3a^2 -2a +1≥0$
4. 对求出的a值逐一检验：
当$a=1$时，代入得$\Delta=-4＜0$，此时方程无实数根，不符合题意，舍去；
当$a=-1$时，代入得$\Delta=0$，此时方程有两个相等的实数根，且两根之积为$(-1)^2=1$，符合互为倒数的条件。
综上可得$a=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程根的判别式
3. 倒数的性质
【点评】
本题的易错点是容易忽略“方程有两个实数根”的前提，直接根据两根之积求出$a=\pm1$后没有用判别式检验，导致错解$a=1$。解题时要注意，涉及一元二次方程实根的相关问题，都要优先考虑判别式的取值范围。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据“两个实数根互为倒数”的条件，结合倒数的性质得到两根之积为1，再利用一元二次方程根与系数的关系列出关于a的方程，初步求出a的可能取值；其次要注意题目明确说明方程有两个实数根，因此需要结合一元二次方程根的判别式Δ≥0的条件，对初步求出的a值进行检验，舍去不符合条件的取值，最终得到正确结果。
【解析】
设方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$。
1. 由两根互为倒数可得：$x_1x_2=1$
2. 根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$x^2 + (a - 1)x + a^2 = 0$，两根之积$x_1x_2 = a^2$，因此有：
$a^2=1$
解得$a=1$或$a=-1$
3. 因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta≥0$，代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$（其中二次项系数为1，一次项系数为$a-1$，常数项为$a^2$）可得：
$\Delta=(a-1)^2 - 4×1× a^2≥0$
展开化简得：
$\Delta=-3a^2 -2a +1≥0$
4. 对求出的a值逐一检验：
当$a=1$时，代入得$\Delta=-4＜0$，此时方程无实数根，不符合题意，舍去；
当$a=-1$时，代入得$\Delta=0$，此时方程有两个相等的实数根，且两根之积为$(-1)^2=1$，符合互为倒数的条件。
综上可得$a=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程根的判别式
3. 倒数的性质
【点评】
本题的易错点是容易忽略“方程有两个实数根”的前提，直接根据两根之积求出$a=\pm1$后没有用判别式检验，导致错解$a=1$。解题时要注意，涉及一元二次方程实根的相关问题，都要优先考虑判别式的取值范围。
【难度系数】
0.6
4. 若$a$，$b$是关于$x$的方程$x^2 + (m - 5)x + 7 = 0$的两个实数根，则$(a^2 + ma + 7) · (b^2 + mb + 7)$的值为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
4. 175
解析
【分析】
本题可根据一元二次方程根的定义对所求代数式进行化简，再结合根与系数的关系计算结果。首先观察所求式中$(a^2+ma+7)$、$(b^2+mb+7)$的结构，与原方程左边的表达式高度相似，可先将根代入原方程，通过变形把所求式中的高次项替换为低次项，简化运算，再利用根与系数的关系求出两根之积，代入化简后的式子即可算出答案。
【解析】
∵$a$是方程$x^2 + (m - 5)x + 7 = 0$的实数根，
∴将$x=a$代入方程得：$a^2 + (m-5)a + 7 = 0$，
整理可得：$a^2 + ma + 7 = 5a$ ①，
同理，$b$是方程的实数根，代入得：$b^2 + (m-5)b + 7 = 0$，
整理可得：$b^2 + mb + 7 = 5b$ ②，
将①②代入所求式子得：
$(a^2 + ma +7)(b^2 + mb +7) = 5a · 5b = 25ab$，
根据一元二次方程根与系数的关系，方程$x^2 + (m - 5)x + 7 = 0$的两根之积$ab = \frac{7}{1} =7$，
∴原式$=25 × 7 = 175$。
【答案】
175
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题的解题核心是利用一元二次方程根的定义实现降次化简，避免了直接求解方程根的繁琐运算，要求学生熟练掌握根的定义和根与系数的关系，并能灵活结合代数式结构进行变形，是一元二次方程章节的典型考法。
【难度系数】
0.6
本题可根据一元二次方程根的定义对所求代数式进行化简，再结合根与系数的关系计算结果。首先观察所求式中$(a^2+ma+7)$、$(b^2+mb+7)$的结构，与原方程左边的表达式高度相似，可先将根代入原方程，通过变形把所求式中的高次项替换为低次项，简化运算，再利用根与系数的关系求出两根之积，代入化简后的式子即可算出答案。
【解析】
∵$a$是方程$x^2 + (m - 5)x + 7 = 0$的实数根，
∴将$x=a$代入方程得：$a^2 + (m-5)a + 7 = 0$，
整理可得：$a^2 + ma + 7 = 5a$ ①，
同理，$b$是方程的实数根，代入得：$b^2 + (m-5)b + 7 = 0$，
整理可得：$b^2 + mb + 7 = 5b$ ②，
将①②代入所求式子得：
$(a^2 + ma +7)(b^2 + mb +7) = 5a · 5b = 25ab$，
根据一元二次方程根与系数的关系，方程$x^2 + (m - 5)x + 7 = 0$的两根之积$ab = \frac{7}{1} =7$，
∴原式$=25 × 7 = 175$。
【答案】
175
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题的解题核心是利用一元二次方程根的定义实现降次化简，避免了直接求解方程根的繁琐运算，要求学生熟练掌握根的定义和根与系数的关系，并能灵活结合代数式结构进行变形，是一元二次方程章节的典型考法。
【难度系数】
0.6
5.设α，β是一元二次方程$x^2 + 3x - 7 = 0$的两个实数根，则$α^2 + 4α + β =$
4
.答案
5. 4
解析
【分析】
解题时先利用一元二次方程根的定义，将根α代入原方程，得到α²+3α的值，把所求代数式中的高次项降次；再将所求代数式拆分为含有(α²+3α)和(α+β)的形式，最后根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和α+β，整体代入即可算出结果，不需要直接求解α、β的具体值，能简化计算。
【解析】
解：
∵α是一元二次方程$x^2 + 3x -7=0$的实数根，
∴将$x=α$代入方程得：$α^2 + 3α -7 = 0$，即$α^2 +3α =7$。
对所求代数式变形：
$α^2 +4α +β = (α^2 +3α) + (α +β)$
又
∵α、β是方程$x^2 +3x -7=0$的两个实数根，根据根与系数的关系，两根之和$α +β = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{1} = -3$。
将$α^2 +3α =7$，$α +β = -3$代入得：
原式$=7 + (-3) =4$。
【答案】
4
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系
3. 整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程根相关的典型计算题，解题核心是通过拆分代数式，结合根的定义和韦达定理整体代入计算，无需解出方程的根，既简化了计算过程，也避免了求解复杂根的错误。
【难度系数】
0.7
解题时先利用一元二次方程根的定义，将根α代入原方程，得到α²+3α的值，把所求代数式中的高次项降次；再将所求代数式拆分为含有(α²+3α)和(α+β)的形式，最后根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和α+β，整体代入即可算出结果，不需要直接求解α、β的具体值，能简化计算。
【解析】
解：
∵α是一元二次方程$x^2 + 3x -7=0$的实数根，
∴将$x=α$代入方程得：$α^2 + 3α -7 = 0$，即$α^2 +3α =7$。
对所求代数式变形：
$α^2 +4α +β = (α^2 +3α) + (α +β)$
又
∵α、β是方程$x^2 +3x -7=0$的两个实数根，根据根与系数的关系，两根之和$α +β = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{1} = -3$。
将$α^2 +3α =7$，$α +β = -3$代入得：
原式$=7 + (-3) =4$。
【答案】
4
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系
3. 整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程根相关的典型计算题，解题核心是通过拆分代数式，结合根的定义和韦达定理整体代入计算，无需解出方程的根，既简化了计算过程，也避免了求解复杂根的错误。
【难度系数】
0.7
6. 一个两位数等于它个位上的数字的平方，且个位上的数字比十位上的数字大3，则这个两位数为(
A.25
B.36
C.25或36
D.-25或-36
C
).A.25
B.36
C.25或36
D.-25或-36
答案
6. C
解析
【分析】
遇到数字类应用题，首先明确两位数的表示规则：若十位数字为a、个位数字为b，则两位数可表示为10a+b，且十位数字a是1~9的整数，个位数字b是0~9的整数。本题给出两个等量关系：①个位数字比十位数字大3；②两位数等于个位数字的平方。我们可以设个位数字为x，用x表示出十位数字，再根据第二个等量关系列一元二次方程求解，最后验证解是否符合数字的取值要求即可。
【解析】
设这个两位数的个位数字为$x$，则十位数字为$x-3$，根据题意列方程：
$10(x-3) + x = x^2$
整理方程得：
$x^2 -11x +30 = 0$
因式分解得：
$(x-5)(x-6)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=6$。
当$x=5$时，十位数字为$5-3=2$，对应的两位数是25；
当$x=6$时，十位数字为$6-3=3$，对应的两位数是36。
两个结果均符合两位数的取值要求，因此这个两位数为25或36。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用，两位数表示，方程验根
【点评】
本题是典型的数字类方程应用题，解题关键是正确用代数式表示多位数，求解后要结合数字的实际取值范围验证解的合理性，避免遗漏符合条件的解或错选不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
遇到数字类应用题，首先明确两位数的表示规则：若十位数字为a、个位数字为b，则两位数可表示为10a+b，且十位数字a是1~9的整数，个位数字b是0~9的整数。本题给出两个等量关系：①个位数字比十位数字大3；②两位数等于个位数字的平方。我们可以设个位数字为x，用x表示出十位数字，再根据第二个等量关系列一元二次方程求解，最后验证解是否符合数字的取值要求即可。
【解析】
设这个两位数的个位数字为$x$，则十位数字为$x-3$，根据题意列方程：
$10(x-3) + x = x^2$
整理方程得：
$x^2 -11x +30 = 0$
因式分解得：
$(x-5)(x-6)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=6$。
当$x=5$时，十位数字为$5-3=2$，对应的两位数是25；
当$x=6$时，十位数字为$6-3=3$，对应的两位数是36。
两个结果均符合两位数的取值要求，因此这个两位数为25或36。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用，两位数表示，方程验根
【点评】
本题是典型的数字类方程应用题，解题关键是正确用代数式表示多位数，求解后要结合数字的实际取值范围验证解的合理性，避免遗漏符合条件的解或错选不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
7. 有下列方程：①$3x^2=5x+2$；②$(x+3)(x-4)=x^2$；③$x^2=5$；④$y=x^2$；⑤$x^2+\frac{1}{x}=2$. 其中一元二次方程有(
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)个.A.1
B.2
C.3
D.4
答案
7. B
解析
【分析】要判断哪些是一元二次方程，首先要明确一元二次方程的判定标准：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时我们对每个方程逐一对照这三个标准验证即可，注意需要先将能化简的方程整理为最简形式后再判断，同时要区分整式方程和分式方程。
【解析】我们逐个分析给出的方程：
1. 方程①$3x^2=5x+2$：整理得$3x^2-5x-2=0$，是整式方程，仅含未知数$x$，最高次数为2，符合一元二次方程定义，属于一元二次方程。
2. 方程②$(x+3)(x-4)=x^2$：先展开左边得$x^2-x-12=x^2$，化简后为$-x-12=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不属于一元二次方程。
3. 方程③$x^2=5$：整理得$x^2-5=0$，是整式方程，仅含未知数$x$，最高次数为2，符合一元二次方程定义，属于一元二次方程。
4. 方程④$y=x^2$：含有$x$、$y$两个未知数，是二元方程，不属于一元二次方程。
5. 方程⑤$x^2+\frac{1}{x}=2$：分母含有未知数$x$，是分式方程，不是整式方程，不属于一元二次方程。
综上，属于一元二次方程的是①和③，共2个。
【答案】B
【知识点】1. 一元二次方程的定义；2. 整式方程的概念
【点评】本题是一元二次方程识别的基础题，解题核心是严格对照定义的三个条件逐一筛查，要注意先化简方程再判断最高次数，同时不要忽略“整式方程”这一前提条件，避免误判。
【难度系数】0.7
【解析】我们逐个分析给出的方程：
1. 方程①$3x^2=5x+2$：整理得$3x^2-5x-2=0$，是整式方程，仅含未知数$x$，最高次数为2，符合一元二次方程定义，属于一元二次方程。
2. 方程②$(x+3)(x-4)=x^2$：先展开左边得$x^2-x-12=x^2$，化简后为$-x-12=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不属于一元二次方程。
3. 方程③$x^2=5$：整理得$x^2-5=0$，是整式方程，仅含未知数$x$，最高次数为2，符合一元二次方程定义，属于一元二次方程。
4. 方程④$y=x^2$：含有$x$、$y$两个未知数，是二元方程，不属于一元二次方程。
5. 方程⑤$x^2+\frac{1}{x}=2$：分母含有未知数$x$，是分式方程，不是整式方程，不属于一元二次方程。
综上，属于一元二次方程的是①和③，共2个。
【答案】B
【知识点】1. 一元二次方程的定义；2. 整式方程的概念
【点评】本题是一元二次方程识别的基础题，解题核心是严格对照定义的三个条件逐一筛查，要注意先化简方程再判断最高次数，同时不要忽略“整式方程”这一前提条件，避免误判。
【难度系数】0.7
8. 已知$a$，$b$，$c$为常数，且$(a - c)^2 ＞ a^2 + c^2$，则关于$x$的方程$ax^2 + bx + c = 0$的根的情况是（
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.有一根为0
B
）。A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.有一根为0
答案
8. B
解析
【分析】
解题时先从已知不等式$(a - c)^2 ＞ a^2 + c^2$入手，先利用完全平方公式展开不等式，通过化简得到$ac$的符号；再判断方程$ax^2+bx+c=0$的类型，结合一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号即可判断根的情况，同时可代入特殊值排除错误选项。
【解析】
1. 化简已知不等式：
将$(a - c)^2$展开得$a^2 - 2ac + c^2$，代入不等式得：
$a^2 - 2ac + c^2 ＞ a^2 + c^2$
两边同时减去$a^2 + c^2$，得：$-2ac ＞ 0$
根据不等式性质，两边同除以$-2$，不等号方向改变，得$ac ＜ 0$。
2. 判断方程类型及根的情况：
若$a=0$，代入原不等式得$c^2 ＞ c^2$，矛盾，因此$a ≠ 0$，方程$ax^2+bx+c=0$是一元二次方程。
其根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$，由于平方数非负，所以$b^2 ≥ 0$，结合$ac ＜ 0$可得$-4ac ＞ 0$，因此$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。
3. 排除其他选项：
若方程有一根为0，代入得$c=0$，则$ac=0$，与$ac ＜ 0$矛盾，故D错误；A对应$\Delta=0$、C对应$\Delta＜0$，均不符合推导结果，因此排除。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，一元二次方程根的判别式，不等式的性质
【点评】
本题是基础综合题，将不等式化简和一元二次方程根的判定结合考查，解题的核心是先通过已知不等式推出$ac$的符号，再结合判别式的性质得出结论，要求熟练掌握相关公式并灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知不等式$(a - c)^2 ＞ a^2 + c^2$入手，先利用完全平方公式展开不等式，通过化简得到$ac$的符号；再判断方程$ax^2+bx+c=0$的类型，结合一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号即可判断根的情况，同时可代入特殊值排除错误选项。
【解析】
1. 化简已知不等式：
将$(a - c)^2$展开得$a^2 - 2ac + c^2$，代入不等式得：
$a^2 - 2ac + c^2 ＞ a^2 + c^2$
两边同时减去$a^2 + c^2$，得：$-2ac ＞ 0$
根据不等式性质，两边同除以$-2$，不等号方向改变，得$ac ＜ 0$。
2. 判断方程类型及根的情况：
若$a=0$，代入原不等式得$c^2 ＞ c^2$，矛盾，因此$a ≠ 0$，方程$ax^2+bx+c=0$是一元二次方程。
其根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$，由于平方数非负，所以$b^2 ≥ 0$，结合$ac ＜ 0$可得$-4ac ＞ 0$，因此$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。
3. 排除其他选项：
若方程有一根为0，代入得$c=0$，则$ac=0$，与$ac ＜ 0$矛盾，故D错误；A对应$\Delta=0$、C对应$\Delta＜0$，均不符合推导结果，因此排除。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，一元二次方程根的判别式，不等式的性质
【点评】
本题是基础综合题，将不等式化简和一元二次方程根的判定结合考查，解题的核心是先通过已知不等式推出$ac$的符号，再结合判别式的性质得出结论，要求熟练掌握相关公式并灵活运用。
【难度系数】
0.7
9. 定义运算：$a \otimes b = a(1 - b)$. 若$a$，$b$是关于$x$的方程$x^2 - x + \frac{1}{4}m = 0(m ＜ 0)$的两个实数根，则$b \otimes b - a \otimes a$的值为（
A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.与$m$有关
A
）.A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.与$m$有关
答案
9. A
解析
【分析】
首先要明确题目给出的新定义运算规则，先将待求的$b \otimes b - a \otimes a$按照新定义展开化简，再结合一元二次方程根的相关性质代入计算即可。具体步骤为：第一步根据新定义展开目标代数式并整理；第二步利用一元二次方程根与系数的关系或者根满足方程的性质得到等量关系；第三步将等量关系整体代入化简后的式子求出结果。
【解析】
1. 按新定义展开化简代数式
根据$a \otimes b = a(1 - b)$可得：
$b \otimes b = b(1 - b) = b - b^2$
$a \otimes a = a(1 - a) = a - a^2$
因此$b \otimes b - a \otimes a = (b - b^2) - (a - a^2) = (a^2 - a) - (b^2 - b)$
2. 结合一元二次方程根的性质计算
因为$a$、$b$是方程$x^2 - x + \frac{1}{4}m = 0$的两个实数根，将$a$代入方程得：
$a^2 - a + \frac{1}{4}m = 0$，即$a^2 - a = -\frac{1}{4}m$
同理将$b$代入方程得：$b^2 - b = -\frac{1}{4}m$
将上述两个等量关系代入化简后的式子：
$b \otimes b - a \otimes a = -\frac{1}{4}m - (-\frac{1}{4}m) = 0$
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，一元二次方程根的性质，整体代入求值
【点评】
本题将新定义运算和一元二次方程知识结合考查，解题核心是准确理解新定义化简代数式，再利用整体代入思想计算，不需要求解$a$、$b$的具体值，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
首先要明确题目给出的新定义运算规则，先将待求的$b \otimes b - a \otimes a$按照新定义展开化简，再结合一元二次方程根的相关性质代入计算即可。具体步骤为：第一步根据新定义展开目标代数式并整理；第二步利用一元二次方程根与系数的关系或者根满足方程的性质得到等量关系；第三步将等量关系整体代入化简后的式子求出结果。
【解析】
1. 按新定义展开化简代数式
根据$a \otimes b = a(1 - b)$可得：
$b \otimes b = b(1 - b) = b - b^2$
$a \otimes a = a(1 - a) = a - a^2$
因此$b \otimes b - a \otimes a = (b - b^2) - (a - a^2) = (a^2 - a) - (b^2 - b)$
2. 结合一元二次方程根的性质计算
因为$a$、$b$是方程$x^2 - x + \frac{1}{4}m = 0$的两个实数根，将$a$代入方程得：
$a^2 - a + \frac{1}{4}m = 0$，即$a^2 - a = -\frac{1}{4}m$
同理将$b$代入方程得：$b^2 - b = -\frac{1}{4}m$
将上述两个等量关系代入化简后的式子：
$b \otimes b - a \otimes a = -\frac{1}{4}m - (-\frac{1}{4}m) = 0$
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，一元二次方程根的性质，整体代入求值
【点评】
本题将新定义运算和一元二次方程知识结合考查，解题核心是准确理解新定义化简代数式，再利用整体代入思想计算，不需要求解$a$、$b$的具体值，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
