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11. 先化简,再求值: $5\sqrt{\dfrac{x}{5}} + \dfrac{1}{2}\sqrt{20x} - \dfrac{5x}{4}\sqrt{\dfrac{4}{5x}}$,其中 $x=\dfrac{1}{3}$.
答案
11. 原式$=\dfrac{3\sqrt{5x}}{2}$.当$x=\dfrac{1}{3}$时,原式$=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$
解析
【分析】
本题是二次根式化简求值类题目，解题思路清晰：第一步先化简原式，首先将原式中每一个二次根式都化为最简二次根式，再将被开方数相同的同类二次根式的系数相加减完成化简；第二步将x的取值代入化简后的式子计算最终结果。因为x=1/3＞0，所以二次根式开方结果均为非负，无需考虑符号问题。
【解析】
解：先逐项化简原式：
1. 化简第一项：$5\sqrt{\dfrac{x}{5}} = 5×\dfrac{\sqrt{5x}}{5} = \sqrt{5x}$
2. 化简第二项：$\dfrac{1}{2}\sqrt{20x} = \dfrac{1}{2}×2\sqrt{5x} = \sqrt{5x}$
3. 化简第三项：$\dfrac{5x}{4}\sqrt{\dfrac{4}{5x}} = \dfrac{5x}{4}×\dfrac{2\sqrt{5x}}{5x} = \dfrac{1}{2}\sqrt{5x}$
合并同类二次根式：
原式$=\sqrt{5x} + \sqrt{5x} - \dfrac{1}{2}\sqrt{5x} = \dfrac{3\sqrt{5x}}{2}$
将$x=\dfrac{1}{3}$代入化简后的式子：
原式$=\dfrac{3}{2}×\sqrt{5×\dfrac{1}{3}} = \dfrac{3}{2}×\dfrac{\sqrt{15}}{3} = \dfrac{\sqrt{15}}{2}$
【答案】
原式化简为$\dfrac{3\sqrt{5x}}{2}$，当$x=\dfrac{1}{3}$时，原式的值为$\dfrac{\sqrt{15}}{2}$
【知识点】
二次根式化简、同类二次根式合并、二次根式求值
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心要求是先化简再求值，可避免直接代入带来的复杂运算，解题时要注意二次根式的化简规则，确保每项化简准确，合并同类二次根式时系数运算不要出错。
【难度系数】
0.8
本题是二次根式化简求值类题目，解题思路清晰：第一步先化简原式，首先将原式中每一个二次根式都化为最简二次根式，再将被开方数相同的同类二次根式的系数相加减完成化简；第二步将x的取值代入化简后的式子计算最终结果。因为x=1/3＞0，所以二次根式开方结果均为非负，无需考虑符号问题。
【解析】
解：先逐项化简原式：
1. 化简第一项：$5\sqrt{\dfrac{x}{5}} = 5×\dfrac{\sqrt{5x}}{5} = \sqrt{5x}$
2. 化简第二项：$\dfrac{1}{2}\sqrt{20x} = \dfrac{1}{2}×2\sqrt{5x} = \sqrt{5x}$
3. 化简第三项：$\dfrac{5x}{4}\sqrt{\dfrac{4}{5x}} = \dfrac{5x}{4}×\dfrac{2\sqrt{5x}}{5x} = \dfrac{1}{2}\sqrt{5x}$
合并同类二次根式：
原式$=\sqrt{5x} + \sqrt{5x} - \dfrac{1}{2}\sqrt{5x} = \dfrac{3\sqrt{5x}}{2}$
将$x=\dfrac{1}{3}$代入化简后的式子：
原式$=\dfrac{3}{2}×\sqrt{5×\dfrac{1}{3}} = \dfrac{3}{2}×\dfrac{\sqrt{15}}{3} = \dfrac{\sqrt{15}}{2}$
【答案】
原式化简为$\dfrac{3\sqrt{5x}}{2}$，当$x=\dfrac{1}{3}$时，原式的值为$\dfrac{\sqrt{15}}{2}$
【知识点】
二次根式化简、同类二次根式合并、二次根式求值
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心要求是先化简再求值，可避免直接代入带来的复杂运算，解题时要注意二次根式的化简规则，确保每项化简准确，合并同类二次根式时系数运算不要出错。
【难度系数】
0.8
12. 计算：$\sqrt{12} + (\dfrac{1}{4})^{-1} - (\sqrt{2} + 1)^0.$
答案
12. $2\sqrt{3}+3$
解析
【分析】
本题属于实数的混合运算，解题时先分别计算出每一项的结果，再合并即可。首先需要回忆三个运算规则：1. 二次根式化简：将被开方数中能开得尽方的因数开出来；2. 负整数指数幂：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）；3. 零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1。分别计算三个项后，再做加减运算得到最终结果。
【解析】
解：先分别化简各项：
1. 化简二次根式：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
2. 计算负整数指数幂：$(\frac{1}{4})^{-1}=4^{1}=4$
3. 计算零指数幂：因为$\sqrt{2}+1≠0$，所以$(\sqrt{2}+1)^0=1$
将各项结果代入原式计算：
原式$=2\sqrt{3}+4-1=2\sqrt{3}+3$
【答案】
$2\sqrt{3}+3$
【知识点】
二次根式化简，负整数指数幂运算，零指数幂运算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，核心考查三类基础运算的法则，熟练掌握各运算的规则，注意零指数幂的底数不为0的前提，即可准确作答。
【难度系数】
0.8
本题属于实数的混合运算，解题时先分别计算出每一项的结果，再合并即可。首先需要回忆三个运算规则：1. 二次根式化简：将被开方数中能开得尽方的因数开出来；2. 负整数指数幂：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）；3. 零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1。分别计算三个项后，再做加减运算得到最终结果。
【解析】
解：先分别化简各项：
1. 化简二次根式：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
2. 计算负整数指数幂：$(\frac{1}{4})^{-1}=4^{1}=4$
3. 计算零指数幂：因为$\sqrt{2}+1≠0$，所以$(\sqrt{2}+1)^0=1$
将各项结果代入原式计算：
原式$=2\sqrt{3}+4-1=2\sqrt{3}+3$
【答案】
$2\sqrt{3}+3$
【知识点】
二次根式化简，负整数指数幂运算，零指数幂运算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，核心考查三类基础运算的法则，熟练掌握各运算的规则，注意零指数幂的底数不为0的前提，即可准确作答。
【难度系数】
0.8
13. 计算：$(3+\sqrt{3})×(\sqrt{6}-\sqrt{2})÷\sqrt{6}.$
答案
13. 2
解析
【分析】
这是二次根式的混合运算题，运算顺序和整式混合运算一致，先算乘法，再算除法。思考路径：1. 先按照多项式乘多项式的法则，将前两个括号的项分别相乘；2. 对得到的二次根式进行化简，合并同类二次根式，会发现中间互为相反数的项可以抵消，简化计算；3. 最后进行二次根式的除法运算，约分后即可得到结果，也可观察式子特征用简便方法运算。
【解析】
解：根据多项式乘多项式法则先计算乘法部分：
原式$=(3×\sqrt{6} - 3×\sqrt{2} + \sqrt{3}×\sqrt{6} - \sqrt{3}×\sqrt{2}) ÷ \sqrt{6}$
计算各项二次根式的乘积，化简$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$：
$=(3\sqrt{6} - 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - \sqrt{6}) ÷ \sqrt{6}$
合并同类二次根式，抵消互为相反数的项：
$=2\sqrt{6} ÷ \sqrt{6}$
约分后得结果：
$=2$
【答案】
2
【知识点】
二次根式混合运算、多项式乘法、二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式运算的常规题型，侧重考查二次根式的运算法则和运算能力，解题时既可以按常规步骤计算，也可通过观察式子结构选择简便方法，注意运算过程中二次根式化简要准确，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
这是二次根式的混合运算题，运算顺序和整式混合运算一致，先算乘法，再算除法。思考路径：1. 先按照多项式乘多项式的法则，将前两个括号的项分别相乘；2. 对得到的二次根式进行化简，合并同类二次根式，会发现中间互为相反数的项可以抵消，简化计算；3. 最后进行二次根式的除法运算，约分后即可得到结果，也可观察式子特征用简便方法运算。
【解析】
解：根据多项式乘多项式法则先计算乘法部分：
原式$=(3×\sqrt{6} - 3×\sqrt{2} + \sqrt{3}×\sqrt{6} - \sqrt{3}×\sqrt{2}) ÷ \sqrt{6}$
计算各项二次根式的乘积，化简$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$：
$=(3\sqrt{6} - 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - \sqrt{6}) ÷ \sqrt{6}$
合并同类二次根式，抵消互为相反数的项：
$=2\sqrt{6} ÷ \sqrt{6}$
约分后得结果：
$=2$
【答案】
2
【知识点】
二次根式混合运算、多项式乘法、二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式运算的常规题型，侧重考查二次根式的运算法则和运算能力，解题时既可以按常规步骤计算，也可通过观察式子结构选择简便方法，注意运算过程中二次根式化简要准确，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
14. 已知 $ x = \sqrt{5} + \sqrt{7} $，$ y = \sqrt{7} - \sqrt{5} $，求 $ x^2 - xy + y^2 $ 的值.
答案
14. 22
解析
【分析】
本题若直接将x、y代入原式计算，运算量大且易出错，因此优先对所求代数式变形，结合完全平方公式将原式转化为含x+y和xy的形式，再分别计算x+y与xy的值，最后整体代入求值，可大幅简化运算。首先回忆完全平方公式：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，变形可得$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，代入所求式即可得$x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy$；再观察x、y的结构，计算x+y可抵消同类二次根式，计算xy可利用平方差公式快速得出结果，最后代入变形后的式子计算即可。
【解析】
首先对所求代数式变形：
由完全平方公式可得：
$x^2 - xy + y^2 = (x + y)^2 - 3xy$
分别计算$x+y$和$xy$的值：
1. 计算$x+y$：
已知$x = \sqrt{5} + \sqrt{7}$，$y = \sqrt{7} - \sqrt{5}$
$x + y = (\sqrt{5} + \sqrt{7}) + (\sqrt{7} - \sqrt{5}) = 2\sqrt{7}$
2. 计算$xy$：
x、y符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，其中$a=\sqrt{7}$，$b=\sqrt{5}$
$xy = (\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2 = 7 - 5 = 2$
将$x+y=2\sqrt{7}$、$xy=2$代入变形后的式子：
原式$=(2\sqrt{7})^2 - 3×2 = 28 - 6 = 22$
【答案】
22
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题核心是利用乘法公式对代数式合理变形，通过整体代入法简化计算，避免直接代入二次根式的复杂运算，熟练掌握乘法公式的变形应用是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
本题若直接将x、y代入原式计算，运算量大且易出错，因此优先对所求代数式变形，结合完全平方公式将原式转化为含x+y和xy的形式，再分别计算x+y与xy的值，最后整体代入求值，可大幅简化运算。首先回忆完全平方公式：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，变形可得$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，代入所求式即可得$x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy$；再观察x、y的结构，计算x+y可抵消同类二次根式，计算xy可利用平方差公式快速得出结果，最后代入变形后的式子计算即可。
【解析】
首先对所求代数式变形：
由完全平方公式可得：
$x^2 - xy + y^2 = (x + y)^2 - 3xy$
分别计算$x+y$和$xy$的值：
1. 计算$x+y$：
已知$x = \sqrt{5} + \sqrt{7}$，$y = \sqrt{7} - \sqrt{5}$
$x + y = (\sqrt{5} + \sqrt{7}) + (\sqrt{7} - \sqrt{5}) = 2\sqrt{7}$
2. 计算$xy$：
x、y符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，其中$a=\sqrt{7}$，$b=\sqrt{5}$
$xy = (\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2 = 7 - 5 = 2$
将$x+y=2\sqrt{7}$、$xy=2$代入变形后的式子：
原式$=(2\sqrt{7})^2 - 3×2 = 28 - 6 = 22$
【答案】
22
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题核心是利用乘法公式对代数式合理变形，通过整体代入法简化计算，避免直接代入二次根式的复杂运算，熟练掌握乘法公式的变形应用是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
15. 已知 $ a = 2 - \sqrt{3} $，求代数式 $ \dfrac{1 - 2a + a^2}{a - 1} - \dfrac{\sqrt{a^2 - 2a + 1}}{a^2 - a} $ 的值。
答案
15. 3
解析
【分析】
遇到代数式求值问题，优先先化简再代值计算，避免直接代入带来的复杂运算。第一步先对两个分式分别化简：第一个分式的分子是完全平方式，可因式分解后约分；第二个分式的分子是二次根式，被开方数也是完全平方式，开方后需要结合a的取值判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号后再对分式约分，最后将化简后的式子合并，代入a的值计算即可。
【解析】
先化简代数式：
1. 化简第一个分式：
$\dfrac{1 - 2a + a^2}{a - 1} = \dfrac{(a - 1)^2}{a - 1} = a - 1$（已知$a=2-\sqrt{3}≠1$，满足约分条件）
2. 化简第二个分式：
先处理分子：$\sqrt{a^2 - 2a + 1} = \sqrt{(a - 1)^2} = |a - 1|$
$\because a=2-\sqrt{3}\approx2-1.732=0.268＜1$，$\therefore a-1＜0$，则$|a-1|=1-a$
再处理分母：$a^2 - a = a(a - 1)$
$\therefore$第二个分式为$\dfrac{1 - a}{a(a - 1)} = \dfrac{-(a - 1)}{a(a - 1)} = -\dfrac{1}{a}$（$a≠0$，满足约分条件）
3. 合并化简后的原式：
原式$=(a - 1) - (-\dfrac{1}{a}) = a - 1 + \dfrac{1}{a}$
4. 代入$a=2-\sqrt{3}$计算：
先对$\dfrac{1}{a}$分母有理化：$\dfrac{1}{2-\sqrt{3}} = \dfrac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = 2+\sqrt{3}$
代入得：
原式$=(2-\sqrt{3}) - 1 + (2+\sqrt{3}) = 2-\sqrt{3}-1+2+\sqrt{3}=3$
【答案】
3
【知识点】
分式化简运算；二次根式的性质；分母有理化
【点评】
本题核心解题思路是先化简再求值，易错点在于二次根式开方后要根据参数的取值范围正确去绝对值符号，避免符号错误，掌握完全平方公式、分式约分和分母有理化的方法是解题的关键，化简后计算会大幅降低运算量。
【难度系数】
0.6
遇到代数式求值问题，优先先化简再代值计算，避免直接代入带来的复杂运算。第一步先对两个分式分别化简：第一个分式的分子是完全平方式，可因式分解后约分；第二个分式的分子是二次根式，被开方数也是完全平方式，开方后需要结合a的取值判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号后再对分式约分，最后将化简后的式子合并，代入a的值计算即可。
【解析】
先化简代数式：
1. 化简第一个分式：
$\dfrac{1 - 2a + a^2}{a - 1} = \dfrac{(a - 1)^2}{a - 1} = a - 1$（已知$a=2-\sqrt{3}≠1$，满足约分条件）
2. 化简第二个分式：
先处理分子：$\sqrt{a^2 - 2a + 1} = \sqrt{(a - 1)^2} = |a - 1|$
$\because a=2-\sqrt{3}\approx2-1.732=0.268＜1$，$\therefore a-1＜0$，则$|a-1|=1-a$
再处理分母：$a^2 - a = a(a - 1)$
$\therefore$第二个分式为$\dfrac{1 - a}{a(a - 1)} = \dfrac{-(a - 1)}{a(a - 1)} = -\dfrac{1}{a}$（$a≠0$，满足约分条件）
3. 合并化简后的原式：
原式$=(a - 1) - (-\dfrac{1}{a}) = a - 1 + \dfrac{1}{a}$
4. 代入$a=2-\sqrt{3}$计算：
先对$\dfrac{1}{a}$分母有理化：$\dfrac{1}{2-\sqrt{3}} = \dfrac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = 2+\sqrt{3}$
代入得：
原式$=(2-\sqrt{3}) - 1 + (2+\sqrt{3}) = 2-\sqrt{3}-1+2+\sqrt{3}=3$
【答案】
3
【知识点】
分式化简运算；二次根式的性质；分母有理化
【点评】
本题核心解题思路是先化简再求值，易错点在于二次根式开方后要根据参数的取值范围正确去绝对值符号，避免符号错误，掌握完全平方公式、分式约分和分母有理化的方法是解题的关键，化简后计算会大幅降低运算量。
【难度系数】
0.6
