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1. 要使式子$\dfrac{\sqrt{a+2}}{a}$有意义，则$a$的取值范围为________.
答案
$a≥ -2$且$a≠ 0$
解析
【分析】
要确定代数式有意义时字母的取值范围，需先明确式子中包含的所有限制条件：该式既有二次根式，又有分母为字母的分式，因此需要同时满足两个要求：一是二次根式的被开方数必须是非负数，二是分式的分母不能为0，分别列出不等式求解后，取两个解集的公共部分即可得到a的取值范围。
【解析】
要使$\dfrac{\sqrt{a+2}}{a}$有意义，需同时满足两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$a+2≥ 0$，解得$a≥ -2$；
2. 分式的分母不为0：$a≠ 0$；
综合两个条件，可得$a$的取值范围是$a≥ -2$且$a≠ 0$。
【答案】
$a≥ -2$且$a≠ 0$
【知识点】
二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解集合并
【点评】
本题是代数式有意义类的基础常考题，解题时要全面梳理式子中包含的所有限制条件，尤其注意不要忽略分母不为0的要求，避免出现只考虑二次根式条件的错误。
【难度系数】
0.7
要确定代数式有意义时字母的取值范围，需先明确式子中包含的所有限制条件：该式既有二次根式，又有分母为字母的分式，因此需要同时满足两个要求：一是二次根式的被开方数必须是非负数，二是分式的分母不能为0，分别列出不等式求解后，取两个解集的公共部分即可得到a的取值范围。
【解析】
要使$\dfrac{\sqrt{a+2}}{a}$有意义，需同时满足两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$a+2≥ 0$，解得$a≥ -2$；
2. 分式的分母不为0：$a≠ 0$；
综合两个条件，可得$a$的取值范围是$a≥ -2$且$a≠ 0$。
【答案】
$a≥ -2$且$a≠ 0$
【知识点】
二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解集合并
【点评】
本题是代数式有意义类的基础常考题，解题时要全面梳理式子中包含的所有限制条件，尤其注意不要忽略分母不为0的要求，避免出现只考虑二次根式条件的错误。
【难度系数】
0.7
2. 若$a$，$b$满足$b=\sqrt{21-a}$，且$a$，$b$都是正整数，则当$b$取最大值时，$a=$
5
.答案
5
解析
【分析】
解题时首先根据二次根式的定义，明确被开方数必须是非负数，结合a、b均为正整数的条件，可推得21-a是大于0的完全平方数；要使b取最大值，需让√(21-a)的值最大，即21-a要取小于等于20的最大完全平方数，据此计算即可得到对应的a值。
【解析】
解：
∵b=√(21-a)，且a、b都是正整数
∴21-a＞0，且21-a是完全平方数
又
∵a是正整数，即a≥1
∴21-a≤20
列出20以内的正完全平方数：1、4、9、16
要使b最大，即√(21-a)最大，因此21-a取最大的完全平方数16
即21-a=16
解得a=21-16=5
【答案】
5
【知识点】
二次根式有意义的条件；完全平方数的性质
【点评】
本题属于基础题，核心是将“b为正整数”的条件转化为被开方数是正完全平方数，再结合最值要求筛选出符合条件的被开方数，即可快速求解，主要考察对基础知识点的灵活转化能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据二次根式的定义，明确被开方数必须是非负数，结合a、b均为正整数的条件，可推得21-a是大于0的完全平方数；要使b取最大值，需让√(21-a)的值最大，即21-a要取小于等于20的最大完全平方数，据此计算即可得到对应的a值。
【解析】
解：
∵b=√(21-a)，且a、b都是正整数
∴21-a＞0，且21-a是完全平方数
又
∵a是正整数，即a≥1
∴21-a≤20
列出20以内的正完全平方数：1、4、9、16
要使b最大，即√(21-a)最大，因此21-a取最大的完全平方数16
即21-a=16
解得a=21-16=5
【答案】
5
【知识点】
二次根式有意义的条件；完全平方数的性质
【点评】
本题属于基础题，核心是将“b为正整数”的条件转化为被开方数是正完全平方数，再结合最值要求筛选出符合条件的被开方数，即可快速求解，主要考察对基础知识点的灵活转化能力。
【难度系数】
0.8
3. 若二次根式$\sqrt{3 - \dfrac{x}{4}}$有意义，则实数$x$的取值范围是________.
答案
$x≤ 12$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二次根式有意义的判定规则：二次根式的被开方数必须是非负数。所以我们先根据这个规则列出关于x的不等式，再按照一元一次不等式的解法求解即可得到x的取值范围。
【解析】
二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，因此：
$3-\frac{x}{4}≥0$
移项可得：
$-\frac{x}{4}≥-3$
不等式两边同时乘以$-4$，注意不等号方向改变，得：
$x≤12$
【答案】
$x≤ 12$
【知识点】
二次根式有意义的条件；一元一次不等式的解法
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次根式的基本性质，解题的关键是牢记被开方数为非负数的要求，解不等式时要注意两边同时乘除负数时不等号方向需要改变。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆二次根式有意义的判定规则：二次根式的被开方数必须是非负数。所以我们先根据这个规则列出关于x的不等式，再按照一元一次不等式的解法求解即可得到x的取值范围。
【解析】
二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，因此：
$3-\frac{x}{4}≥0$
移项可得：
$-\frac{x}{4}≥-3$
不等式两边同时乘以$-4$，注意不等号方向改变，得：
$x≤12$
【答案】
$x≤ 12$
【知识点】
二次根式有意义的条件；一元一次不等式的解法
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次根式的基本性质，解题的关键是牢记被开方数为非负数的要求，解不等式时要注意两边同时乘除负数时不等号方向需要改变。
【难度系数】
0.9
4. 计算：(1) $\sqrt{(-4) × (-9)} = \_\_\_\_\_\_$；(2) $\dfrac{\sqrt{36}}{\sqrt{12}} = \_\_\_\_\_\_$；
(3) $3\sqrt{7} + \sqrt{28} = \_\_\_\_\_\_$.
(3) $3\sqrt{7} + \sqrt{28} = \_\_\_\_\_\_$.
答案
(1) 6 (2) $\sqrt{3}$ (3) $5\sqrt{7}$
解析
【分析】
这三道题均考查二次根式的基础运算，解题思路如下：
(1) 求解时要注意二次根式的被开方数必须非负，不能直接拆分为$\sqrt{(-4)}×\sqrt{(-9)}$计算，需先计算括号内的乘法得到正数，再求算术平方根即可。
(2) 可利用二次根式的除法运算法则：$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），先计算根号内两数的商，再开平方，简化计算步骤。
(3) 二次根式的加减运算需先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，合并时仅将系数相加，根式部分保持不变。
【解析】
(1) 先计算被开方数的乘积：$(-4)×(-9)=36$，再求算术平方根：$\sqrt{36}=6$。
(2) 根据二次根式除法法则：$\dfrac{\sqrt{36}}{\sqrt{12}}=\sqrt{\dfrac{36}{12}}=\sqrt{3}$。
(3) 先化简非最简二次根式：$\sqrt{28}=\sqrt{4×7}=\sqrt{4}×\sqrt{7}=2\sqrt{7}$，再合并同类二次根式：$3\sqrt{7}+2\sqrt{7}=(3+2)\sqrt{7}=5\sqrt{7}$。
【答案】
(1) $6$；(2) $\sqrt{3}$；(3) $5\sqrt{7}$
【知识点】
二次根式的性质；二次根式的除法运算；同类二次根式的合并
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考查对二次根式运算法则的掌握程度，计算时要注意避开直接拆分负数开平方的易错点，加减运算前先化简二次根式是解题的关键。
【难度系数】
0.85
这三道题均考查二次根式的基础运算，解题思路如下：
(1) 求解时要注意二次根式的被开方数必须非负，不能直接拆分为$\sqrt{(-4)}×\sqrt{(-9)}$计算，需先计算括号内的乘法得到正数，再求算术平方根即可。
(2) 可利用二次根式的除法运算法则：$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），先计算根号内两数的商，再开平方，简化计算步骤。
(3) 二次根式的加减运算需先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，合并时仅将系数相加，根式部分保持不变。
【解析】
(1) 先计算被开方数的乘积：$(-4)×(-9)=36$，再求算术平方根：$\sqrt{36}=6$。
(2) 根据二次根式除法法则：$\dfrac{\sqrt{36}}{\sqrt{12}}=\sqrt{\dfrac{36}{12}}=\sqrt{3}$。
(3) 先化简非最简二次根式：$\sqrt{28}=\sqrt{4×7}=\sqrt{4}×\sqrt{7}=2\sqrt{7}$，再合并同类二次根式：$3\sqrt{7}+2\sqrt{7}=(3+2)\sqrt{7}=5\sqrt{7}$。
【答案】
(1) $6$；(2) $\sqrt{3}$；(3) $5\sqrt{7}$
【知识点】
二次根式的性质；二次根式的除法运算；同类二次根式的合并
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考查对二次根式运算法则的掌握程度，计算时要注意避开直接拆分负数开平方的易错点，加减运算前先化简二次根式是解题的关键。
【难度系数】
0.85
5. 若 $ x + \sqrt{2}y = \sqrt{3} $，$ x - \sqrt{2}y = 2\sqrt{3} $，则 $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \_\_\_\_\_\_ $。
答案
$\dfrac{2\sqrt{3}-6\sqrt{6}}{9}$
解析
【分析】
要求$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的值，先将所求式子通分变形为$\frac{x+y}{xy}$，因此需要先求出$x$、$y$的取值。题目给出了关于$x$、$y$的二元一次方程组，可通过加减消元法消去其中一个未知数，分别求出$x$和$y$，再代入所求分式，结合二次根式的化简、分母有理化计算最终结果即可。
【解析】
联立已知方程得到二元一次方程组：
$\begin{cases}x + \sqrt{2}y = \sqrt{3} \quad \mathrm{①} \\x - \sqrt{2}y = 2\sqrt{3} \quad \mathrm{②}\end{cases}$
1. 求$x$的值：
将①+②，消去含$y$的项，可得：
$2x = 3\sqrt{3}$
解得：$x = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
2. 求$y$的值：
将①-②，消去含$x$的项，可得：
$2\sqrt{2}y = -\sqrt{3}$
分母有理化后解得：$y = -\frac{\sqrt{6}}{4}$
3. 计算$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$：
分别化简两个分式：
$\frac{1}{x} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$（分子分母同乘$\sqrt{3}$有理化）
$\frac{1}{y} = \frac{1}{-\frac{\sqrt{6}}{4}} = -\frac{4}{\sqrt{6}} = -\frac{2\sqrt{6}}{3} = -\frac{6\sqrt{6}}{9}$（分子分母同乘$\sqrt{6}$有理化）
相加得：
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{2\sqrt{3}}{9} - \frac{6\sqrt{6}}{9} = \frac{2\sqrt{3} - 6\sqrt{6}}{9}$
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{3}-6\sqrt{6}}{9}$
【知识点】
二元一次方程组求解；二次根式化简；分式运算
【点评】
本题考查方程组解法与二次根式运算的结合，解题关键是先利用加减消元法快速求出两个未知数的值，再代入分式计算，运算过程中要注意分母有理化的步骤规范，避免符号或化简错误。
【难度系数】
0.6
要求$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的值，先将所求式子通分变形为$\frac{x+y}{xy}$，因此需要先求出$x$、$y$的取值。题目给出了关于$x$、$y$的二元一次方程组，可通过加减消元法消去其中一个未知数，分别求出$x$和$y$，再代入所求分式，结合二次根式的化简、分母有理化计算最终结果即可。
【解析】
联立已知方程得到二元一次方程组：
$\begin{cases}x + \sqrt{2}y = \sqrt{3} \quad \mathrm{①} \\x - \sqrt{2}y = 2\sqrt{3} \quad \mathrm{②}\end{cases}$
1. 求$x$的值：
将①+②，消去含$y$的项，可得：
$2x = 3\sqrt{3}$
解得：$x = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
2. 求$y$的值：
将①-②，消去含$x$的项，可得：
$2\sqrt{2}y = -\sqrt{3}$
分母有理化后解得：$y = -\frac{\sqrt{6}}{4}$
3. 计算$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$：
分别化简两个分式：
$\frac{1}{x} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$（分子分母同乘$\sqrt{3}$有理化）
$\frac{1}{y} = \frac{1}{-\frac{\sqrt{6}}{4}} = -\frac{4}{\sqrt{6}} = -\frac{2\sqrt{6}}{3} = -\frac{6\sqrt{6}}{9}$（分子分母同乘$\sqrt{6}$有理化）
相加得：
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{2\sqrt{3}}{9} - \frac{6\sqrt{6}}{9} = \frac{2\sqrt{3} - 6\sqrt{6}}{9}$
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{3}-6\sqrt{6}}{9}$
【知识点】
二元一次方程组求解；二次根式化简；分式运算
【点评】
本题考查方程组解法与二次根式运算的结合，解题关键是先利用加减消元法快速求出两个未知数的值，再代入分式计算，运算过程中要注意分母有理化的步骤规范，避免符号或化简错误。
【难度系数】
0.6
6. 在根式$\sqrt{2}$，$\sqrt{75}$，$\sqrt{\dfrac{1}{50}}$，$\sqrt{\dfrac{1}{27}}$，$\sqrt{15}$中，与$\sqrt{3}$是同类二次根式的有(
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)个.A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
【分析】
要判断哪些根式和$\sqrt{3}$是同类二次根式，首先明确同类二次根式的判定规则：先将所有根式化为最简二次根式，若被开方数相同，则为同类二次根式。因此解题步骤为：①逐个化简题目给出的根式；②对比化简后的被开方数是否为3；③统计符合要求的个数即可。
【解析】
先将所有根式化为最简二次根式：
1. $\sqrt{2}$已经是最简二次根式，被开方数为2，与$\sqrt{3}$的被开方数不同，不是同类二次根式；
2. $\sqrt{75}=\sqrt{25×3}=5\sqrt{3}$，化简后被开方数为3，是同类二次根式；
3. $\sqrt{\dfrac{1}{50}}=\sqrt{\dfrac{2}{50×2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{10}$，化简后被开方数为2，不是同类二次根式；
4. $\sqrt{\dfrac{1}{27}}=\sqrt{\dfrac{3}{27×3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{9}$，化简后被开方数为3，是同类二次根式；
5. $\sqrt{15}$已经是最简二次根式，被开方数为15，不是同类二次根式。
综上，与$\sqrt{3}$是同类二次根式的有2个，故选B。
【答案】
B
【知识点】
同类二次根式判定；最简二次根式化简
【点评】
本题核心考点是同类二次根式的判断，易错点是未将根式化为最简就直接对比原被开方数导致错选，掌握“先化简、再对比被开方数”的判定逻辑即可正确解题。
【难度系数】
0.7
要判断哪些根式和$\sqrt{3}$是同类二次根式，首先明确同类二次根式的判定规则：先将所有根式化为最简二次根式，若被开方数相同，则为同类二次根式。因此解题步骤为：①逐个化简题目给出的根式；②对比化简后的被开方数是否为3；③统计符合要求的个数即可。
【解析】
先将所有根式化为最简二次根式：
1. $\sqrt{2}$已经是最简二次根式，被开方数为2，与$\sqrt{3}$的被开方数不同，不是同类二次根式；
2. $\sqrt{75}=\sqrt{25×3}=5\sqrt{3}$，化简后被开方数为3，是同类二次根式；
3. $\sqrt{\dfrac{1}{50}}=\sqrt{\dfrac{2}{50×2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{10}$，化简后被开方数为2，不是同类二次根式；
4. $\sqrt{\dfrac{1}{27}}=\sqrt{\dfrac{3}{27×3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{9}$，化简后被开方数为3，是同类二次根式；
5. $\sqrt{15}$已经是最简二次根式，被开方数为15，不是同类二次根式。
综上，与$\sqrt{3}$是同类二次根式的有2个，故选B。
【答案】
B
【知识点】
同类二次根式判定；最简二次根式化简
【点评】
本题核心考点是同类二次根式的判断，易错点是未将根式化为最简就直接对比原被开方数导致错选，掌握“先化简、再对比被开方数”的判定逻辑即可正确解题。
【难度系数】
0.7
7. 实数 $a$，$b$ 在数轴上对应的位置如图所示，则 $\sqrt{(b-1)^2} - \sqrt{(a-1)^2} = (\quad)$。
A.$b - a$
B.$2 - a - b$
C.$a - b$
D.$2 + a - b$
A.$b - a$
B.$2 - a - b$
C.$a - b$
D.$2 + a - b$
答案
C
解析
【分析】
解题首先要回忆二次根式的性质：$\sqrt{x^2}=|x|$，所以我们需要先把原式中的二次根式转化为绝对值形式，再结合数轴判断$a$、$b$的取值范围，进而判断绝对值内式子的正负，去绝对值后化简即可得到结果。第一步先观察数轴得出$a＜0＜b＜1$；第二步判断$b-1$和$a-1$的正负性；第三步根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项计算。
【解析】
由数轴可知：$a＜0＜b＜1$，
$\therefore b-1＜0$，$a-1＜0$，
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
$\sqrt{(b-1)^2}-\sqrt{(a-1)^2}=|b-1|-|a-1|$
根据负数的绝对值等于它的相反数，去绝对值得：
原式$=(1-b)-(1-a)$
$=1-b-1+a$
$=a-b$
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用；二次根式的性质；绝对值的化简
【点评】
本题是基础类计算题目，解题的核心是先通过数轴确定各字母的取值范围，再结合二次根式和绝对值的性质正确化简，注意去括号时的符号变化，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
解题首先要回忆二次根式的性质：$\sqrt{x^2}=|x|$，所以我们需要先把原式中的二次根式转化为绝对值形式，再结合数轴判断$a$、$b$的取值范围，进而判断绝对值内式子的正负，去绝对值后化简即可得到结果。第一步先观察数轴得出$a＜0＜b＜1$；第二步判断$b-1$和$a-1$的正负性；第三步根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项计算。
【解析】
由数轴可知：$a＜0＜b＜1$，
$\therefore b-1＜0$，$a-1＜0$，
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
$\sqrt{(b-1)^2}-\sqrt{(a-1)^2}=|b-1|-|a-1|$
根据负数的绝对值等于它的相反数，去绝对值得：
原式$=(1-b)-(1-a)$
$=1-b-1+a$
$=a-b$
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用；二次根式的性质；绝对值的化简
【点评】
本题是基础类计算题目，解题的核心是先通过数轴确定各字母的取值范围，再结合二次根式和绝对值的性质正确化简，注意去括号时的符号变化，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
8. 化简$\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$的结果是(
A.$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
B.$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
C.$\frac{3+\sqrt{5}}{4}$
D.$\frac{3-\sqrt{5}}{4}$
A
).A.$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
B.$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
C.$\frac{3+\sqrt{5}}{4}$
D.$\frac{3-\sqrt{5}}{4}$
答案
A
解析
【分析】
要化简这个含二次根式的分式，首先观察到分母含有根号且是两项相减的形式，需要先进行分母有理化（即去掉分母中的根号）。分母$\sqrt{5}-1$的有理化因式是$\sqrt{5}+1$，给分子分母同时乘这个有理化因式，再利用乘法公式分别计算分子和分母，最后约分得到最简结果即可。
【解析】
利用分母有理化的方法化简：
1. 给原式的分子、分母同时乘以分母的有理化因式$\sqrt{5}+1$：
$\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}=\frac{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}$
2. 用完全平方公式计算分子，平方差公式计算分母：
分子：$(\sqrt{5}+1)^2=(\sqrt{5})^2 + 2×\sqrt{5}×1 + 1^2=5 + 2\sqrt{5} +1=6+2\sqrt{5}$
分母：$(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)=(\sqrt{5})^2 - 1^2=5-1=4$
3. 代入后约分：
$\frac{6+2\sqrt{5}}{4}=\frac{2×(3+\sqrt{5})}{2×2}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分母有理化；乘法公式；二次根式化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题核心是掌握分母有理化的方法，准确识别分母的有理化因式，结合乘法公式计算后约分即可，计算时注意不要出现公式套用错误的问题。
【难度系数】
0.8
要化简这个含二次根式的分式，首先观察到分母含有根号且是两项相减的形式，需要先进行分母有理化（即去掉分母中的根号）。分母$\sqrt{5}-1$的有理化因式是$\sqrt{5}+1$，给分子分母同时乘这个有理化因式，再利用乘法公式分别计算分子和分母，最后约分得到最简结果即可。
【解析】
利用分母有理化的方法化简：
1. 给原式的分子、分母同时乘以分母的有理化因式$\sqrt{5}+1$：
$\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}=\frac{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}$
2. 用完全平方公式计算分子，平方差公式计算分母：
分子：$(\sqrt{5}+1)^2=(\sqrt{5})^2 + 2×\sqrt{5}×1 + 1^2=5 + 2\sqrt{5} +1=6+2\sqrt{5}$
分母：$(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)=(\sqrt{5})^2 - 1^2=5-1=4$
3. 代入后约分：
$\frac{6+2\sqrt{5}}{4}=\frac{2×(3+\sqrt{5})}{2×2}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分母有理化；乘法公式；二次根式化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题核心是掌握分母有理化的方法，准确识别分母的有理化因式，结合乘法公式计算后约分即可，计算时注意不要出现公式套用错误的问题。
【难度系数】
0.8
9. 下列计算中,正确的是(
A.$2+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
B.$\sqrt{6}+\sqrt{3}=\sqrt{9}=3$
C.$3\sqrt{5}-2\sqrt{3}=(3-2)×\sqrt{5-3}$
D.$3\sqrt{7}-\frac{1}{2}\sqrt{7}=\frac{5}{2}\sqrt{7}$
D
).A.$2+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
B.$\sqrt{6}+\sqrt{3}=\sqrt{9}=3$
C.$3\sqrt{5}-2\sqrt{3}=(3-2)×\sqrt{5-3}$
D.$3\sqrt{7}-\frac{1}{2}\sqrt{7}=\frac{5}{2}\sqrt{7}$
答案
D
解析
【分析】
本题考查二次根式的加减运算，解题核心是明确二次根式的加减规则：只有被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时仅将系数相加减，被开方数保持不变，非同类二次根式不能直接合并。解题时只需逐一判断每个选项是否符合上述规则即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：2是有理数，$\sqrt{3}$是二次根式，二者不属于同类二次根式，不能直接合并，因此A错误；
B选项：$\sqrt{6}$和$\sqrt{3}$的被开方数分别为6和3，不相同，不是同类二次根式，不能直接相加得到$\sqrt{9}$，因此B错误；
C选项：$3\sqrt{5}$和$2\sqrt{3}$的被开方数分别为5和3，不是同类二次根式，不能合并，选项中的合并方法不符合运算规则，因此C错误；
D选项：$3\sqrt{7}$和$\frac{1}{2}\sqrt{7}$是同类二次根式，合并时系数相减，被开方数不变：$3\sqrt{7}-\frac{1}{2}\sqrt{7}=(3-\frac{1}{2})\sqrt{7}=\frac{5}{2}\sqrt{7}$，运算正确，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式；二次根式的加减运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，易错点是误以为所有二次根式都能直接合并，解题时要先判断根式是否为同类二次根式，再按照规则运算即可。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的加减运算，解题核心是明确二次根式的加减规则：只有被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时仅将系数相加减，被开方数保持不变，非同类二次根式不能直接合并。解题时只需逐一判断每个选项是否符合上述规则即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：2是有理数，$\sqrt{3}$是二次根式，二者不属于同类二次根式，不能直接合并，因此A错误；
B选项：$\sqrt{6}$和$\sqrt{3}$的被开方数分别为6和3，不相同，不是同类二次根式，不能直接相加得到$\sqrt{9}$，因此B错误；
C选项：$3\sqrt{5}$和$2\sqrt{3}$的被开方数分别为5和3，不是同类二次根式，不能合并，选项中的合并方法不符合运算规则，因此C错误；
D选项：$3\sqrt{7}$和$\frac{1}{2}\sqrt{7}$是同类二次根式，合并时系数相减，被开方数不变：$3\sqrt{7}-\frac{1}{2}\sqrt{7}=(3-\frac{1}{2})\sqrt{7}=\frac{5}{2}\sqrt{7}$，运算正确，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式；二次根式的加减运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，易错点是误以为所有二次根式都能直接合并，解题时要先判断根式是否为同类二次根式，再按照规则运算即可。
【难度系数】
0.8
