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10. 如果$\sqrt{\dfrac{x - 1}{x - 2}} = \dfrac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 2}}$，那么$x$的取值范围是（
A.$1≤ x≤ 2$
B.$1 ＜ x≤ 2$
C.$x≥ 2$
D.$x ＞ 2$
D
）.A.$1≤ x≤ 2$
B.$1 ＜ x≤ 2$
C.$x≥ 2$
D.$x ＞ 2$
答案
D
解析
【分析】
要确定x的取值范围，需结合二次根式除法法则的成立条件分析：等式$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立的前提是，分子的被开方数非负，分母的被开方数为正（因为分母不能为0）。据此列出关于x的不等式组，解不等式组即可得到x的取值范围。
【解析】
根据二次根式的除法性质：$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立的条件为$\begin{cases}a≥0 \\ b＞0\end{cases}$
本题中对应$a=x-1$，$b=x-2$，因此列不等式组：
$\begin{cases}x-1≥0 ①\\ x-2＞0 ②\end{cases}$
解不等式①得：$x≥1$
解不等式②得：$x＞2$
取两个解集的公共部分，得$x＞2$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 二次根式除法法则
3. 解一元一次不等式组
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题，易错点是忽略分母不能为0，误将$x-2$的取值范围写为$≥0$，错选C选项。解题时需同时满足被开方数非负、分母不为0两个限制条件，才能得到正确的取值范围。
【难度系数】
0.6
要确定x的取值范围，需结合二次根式除法法则的成立条件分析：等式$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立的前提是，分子的被开方数非负，分母的被开方数为正（因为分母不能为0）。据此列出关于x的不等式组，解不等式组即可得到x的取值范围。
【解析】
根据二次根式的除法性质：$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立的条件为$\begin{cases}a≥0 \\ b＞0\end{cases}$
本题中对应$a=x-1$，$b=x-2$，因此列不等式组：
$\begin{cases}x-1≥0 ①\\ x-2＞0 ②\end{cases}$
解不等式①得：$x≥1$
解不等式②得：$x＞2$
取两个解集的公共部分，得$x＞2$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 二次根式除法法则
3. 解一元一次不等式组
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题，易错点是忽略分母不能为0，误将$x-2$的取值范围写为$≥0$，错选C选项。解题时需同时满足被开方数非负、分母不为0两个限制条件，才能得到正确的取值范围。
【难度系数】
0.6
三、解答题
11. 计算：$(\dfrac{1}{2})^{-2} - |2\sqrt{2} - 3| + \dfrac{3}{\sqrt{8}}$。
11. 计算：$(\dfrac{1}{2})^{-2} - |2\sqrt{2} - 3| + \dfrac{3}{\sqrt{8}}$。
答案
$1+\dfrac{11\sqrt{2}}{4}$
解析
【分析】
这是一道实数混合运算题，解题时按运算顺序先分别计算每一项：①先根据负整数指数幂的运算法则计算$(\dfrac{1}{2})^{-2}$；②再判断绝对值内式子的正负，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，注意绝对值前的负号要正确变号；③最后化简二次根式、进行分母有理化，再把所有项合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
解：
第一步：计算负整数指数幂
$(\dfrac{1}{2})^{-2}=2^2=4$
第二步：化简绝对值
$\because 2\sqrt{2}\approx2.828＜3$，$\therefore |2\sqrt{2}-3|=3-2\sqrt{2}$
则$-|2\sqrt{2}-3|=-(3-2\sqrt{2})=-3+2\sqrt{2}$
第三步：化简二次根式并分母有理化
$\dfrac{3}{\sqrt{8}}=\dfrac{3}{2\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$
第四步：合并各项
$\begin{aligned}原式&=4 -3 +2\sqrt{2} + \dfrac{3\sqrt{2}}{4}\\&=1 + \dfrac{8\sqrt{2}}{4} + \dfrac{3\sqrt{2}}{4}\\&=1 + \dfrac{11\sqrt{2}}{4}\end{aligned}$
【答案】
$1+\dfrac{11\sqrt{2}}{4}$
【知识点】
负整数指数幂运算，绝对值化简，二次根式运算
【点评】
本题是实数混合运算的常规题型，核心考查多个基础知识点的综合应用，计算时要注意去绝对值的符号变化、二次根式分母有理化的规则，避免因细节失误失分。
【难度系数】
0.7
这是一道实数混合运算题，解题时按运算顺序先分别计算每一项：①先根据负整数指数幂的运算法则计算$(\dfrac{1}{2})^{-2}$；②再判断绝对值内式子的正负，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，注意绝对值前的负号要正确变号；③最后化简二次根式、进行分母有理化，再把所有项合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
解：
第一步：计算负整数指数幂
$(\dfrac{1}{2})^{-2}=2^2=4$
第二步：化简绝对值
$\because 2\sqrt{2}\approx2.828＜3$，$\therefore |2\sqrt{2}-3|=3-2\sqrt{2}$
则$-|2\sqrt{2}-3|=-(3-2\sqrt{2})=-3+2\sqrt{2}$
第三步：化简二次根式并分母有理化
$\dfrac{3}{\sqrt{8}}=\dfrac{3}{2\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$
第四步：合并各项
$\begin{aligned}原式&=4 -3 +2\sqrt{2} + \dfrac{3\sqrt{2}}{4}\\&=1 + \dfrac{8\sqrt{2}}{4} + \dfrac{3\sqrt{2}}{4}\\&=1 + \dfrac{11\sqrt{2}}{4}\end{aligned}$
【答案】
$1+\dfrac{11\sqrt{2}}{4}$
【知识点】
负整数指数幂运算，绝对值化简，二次根式运算
【点评】
本题是实数混合运算的常规题型，核心考查多个基础知识点的综合应用，计算时要注意去绝对值的符号变化、二次根式分母有理化的规则，避免因细节失误失分。
【难度系数】
0.7
12. 计算：$(-3)^0 - \sqrt{27} + |1 - \sqrt{2}| + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$.
答案
$-2\sqrt{3}$
解析
【分析】
这是一道实数混合运算题，解题时需先拆分计算每个分项，再合并结果：首先回忆相关运算规则，①非零数的零次幂等于1；②二次根式化简需将被开方数中能开得尽方的因数开出来；③化简绝对值要先判断绝对值内式子的正负，负数的绝对值是它的相反数；④分母含二次根式时，用平方差公式进行分母有理化，最后合并同类二次根式即可。
【解析】
解：分别计算每个分项：
1. 零指数幂：$(-3)^0 = 1$（非零数的零次幂为1）
2. 二次根式化简：$\sqrt{27} = \sqrt{9×3} = 3\sqrt{3}$
3. 绝对值化简：$\because \sqrt{2} ＞ 1$，$\therefore |1 - \sqrt{2}| = \sqrt{2} - 1$
4. 分母有理化：$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
将各分项代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&= 1 - 3\sqrt{3} + (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \\&= 1 - 3\sqrt{3} + \sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} \\&= (1-1) + (\sqrt{2}-\sqrt{2}) + (-3\sqrt{3}+\sqrt{3}) \\&= -2\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$-2\sqrt{3}$
【知识点】
零指数幂运算，绝对值化简，二次根式运算
【点评】
本题属于基础运算题，考查实数运算的核心基础技能，解题时要注意各运算的符号规则，分母有理化要正确使用平方差公式，合并同类项时避免漏项出错。
【难度系数】
0.7
这是一道实数混合运算题，解题时需先拆分计算每个分项，再合并结果：首先回忆相关运算规则，①非零数的零次幂等于1；②二次根式化简需将被开方数中能开得尽方的因数开出来；③化简绝对值要先判断绝对值内式子的正负，负数的绝对值是它的相反数；④分母含二次根式时，用平方差公式进行分母有理化，最后合并同类二次根式即可。
【解析】
解：分别计算每个分项：
1. 零指数幂：$(-3)^0 = 1$（非零数的零次幂为1）
2. 二次根式化简：$\sqrt{27} = \sqrt{9×3} = 3\sqrt{3}$
3. 绝对值化简：$\because \sqrt{2} ＞ 1$，$\therefore |1 - \sqrt{2}| = \sqrt{2} - 1$
4. 分母有理化：$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
将各分项代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&= 1 - 3\sqrt{3} + (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \\&= 1 - 3\sqrt{3} + \sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} \\&= (1-1) + (\sqrt{2}-\sqrt{2}) + (-3\sqrt{3}+\sqrt{3}) \\&= -2\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$-2\sqrt{3}$
【知识点】
零指数幂运算，绝对值化简，二次根式运算
【点评】
本题属于基础运算题，考查实数运算的核心基础技能，解题时要注意各运算的符号规则，分母有理化要正确使用平方差公式，合并同类项时避免漏项出错。
【难度系数】
0.7
13. 在实数范围内分解因式：$4x^4 - y^4.$
答案
$(\sqrt{2}x + y)(\sqrt{2}x - y)·(2x^2 + y^2)$
解析
【分析】
解题时先观察多项式的结构特征，原式符合平方差公式的形式，可先转化为两个式子的平方差，再逐步分解：第一步，将$4x^4$改写为$(2x^2)^2$，$y^4$改写为$(y^2)^2$，套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$完成第一次分解；第二步，检查分解得到的因式，其中$2x^2-y^2$仍符合平方差的形式，可将$2x^2$改写为$(\sqrt{2}x)^2$，再次套用平方差公式分解，而$2x^2+y^2$在实数范围内无法继续分解，最终得到彻底分解的结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}4x^4 - y^4&=(2x^2)^2 - (y^2)^2\\&=(2x^2 + y^2)(2x^2 - y^2)\end{aligned}$
在实数范围内，$2x^2 - y^2$可继续分解：
$2x^2 - y^2=(\sqrt{2}x)^2 - y^2=(\sqrt{2}x + y)(\sqrt{2}x - y)$
因此原式分解结果为：
$(\sqrt{2}x + y)(\sqrt{2}x - y)(2x^2 + y^2)$
【答案】
$(\sqrt{2}x + y)(\sqrt{2}x - y)(2x^2 + y^2)$
【知识点】
平方差公式，因式分解，实数运算
【点评】
本题考查因式分解的应用，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特点，注意分解因式要彻底，在实数范围内分解时，系数为正的二次项可转化为带根号的平方形式继续用公式分解。
【难度系数】
0.7
解题时先观察多项式的结构特征，原式符合平方差公式的形式，可先转化为两个式子的平方差，再逐步分解：第一步，将$4x^4$改写为$(2x^2)^2$，$y^4$改写为$(y^2)^2$，套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$完成第一次分解；第二步，检查分解得到的因式，其中$2x^2-y^2$仍符合平方差的形式，可将$2x^2$改写为$(\sqrt{2}x)^2$，再次套用平方差公式分解，而$2x^2+y^2$在实数范围内无法继续分解，最终得到彻底分解的结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}4x^4 - y^4&=(2x^2)^2 - (y^2)^2\\&=(2x^2 + y^2)(2x^2 - y^2)\end{aligned}$
在实数范围内，$2x^2 - y^2$可继续分解：
$2x^2 - y^2=(\sqrt{2}x)^2 - y^2=(\sqrt{2}x + y)(\sqrt{2}x - y)$
因此原式分解结果为：
$(\sqrt{2}x + y)(\sqrt{2}x - y)(2x^2 + y^2)$
【答案】
$(\sqrt{2}x + y)(\sqrt{2}x - y)(2x^2 + y^2)$
【知识点】
平方差公式，因式分解，实数运算
【点评】
本题考查因式分解的应用，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特点，注意分解因式要彻底，在实数范围内分解时，系数为正的二次项可转化为带根号的平方形式继续用公式分解。
【难度系数】
0.7
14. 先化简,再求值: $(\dfrac{2x}{1-x}-x)· \dfrac{1-x^2}{(1+x)^2}$,其中 $x=\sqrt{2}$.
答案
原式$=x$.当$x=\sqrt{2}$时,原式$=\sqrt{2}$
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题时优先观察式子结构，利用简便方法运算，避免直接通分增加计算量：第一步先对后一个分式的分子$1-x^2$用平方差公式因式分解，先对该分式约分简化；第二步利用乘法分配律将括号内的两项分别与约分后的分式相乘，分别约去公因式得到同分母分式；第三步合并同分母分式，对分子因式分解后再次约分得到最简结果；最后将$x=\sqrt{2}$代入最简式计算即可。
【解析】
先对原式化简：
$\begin{aligned}原式&=(\dfrac{2x}{1-x}-x)·\dfrac{1-x^2}{(1+x)^2}\\&=(\dfrac{2x}{1-x}-x)·\dfrac{(1-x)(1+x)}{(1+x)^2}\\&=(\dfrac{2x}{1-x}-x)·\dfrac{1-x}{1+x}\\&=\dfrac{2x}{1-x}·\dfrac{1-x}{1+x} - x·\dfrac{1-x}{1+x}\\&=\dfrac{2x}{1+x}+\dfrac{x(x-1)}{1+x}\\&=\dfrac{2x+x^2-x}{1+x}\\&=\dfrac{x^2+x}{1+x}\\&=\dfrac{x(x+1)}{1+x}\\&=x\end{aligned}$
将$x=\sqrt{2}$代入化简结果，得原式$=\sqrt{2}$。
【答案】
原式$=x$，当$x=\sqrt{2}$时，原式$=\sqrt{2}$
【知识点】
分式的混合运算；平方差公式；代数式求值
【点评】
本题是分式运算的常规题型，解题核心是灵活运用运算律和因式分解进行约分，能大幅降低运算量，运算过程中要注意符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
这是分式化简求值类题目，解题时优先观察式子结构，利用简便方法运算，避免直接通分增加计算量：第一步先对后一个分式的分子$1-x^2$用平方差公式因式分解，先对该分式约分简化；第二步利用乘法分配律将括号内的两项分别与约分后的分式相乘，分别约去公因式得到同分母分式；第三步合并同分母分式，对分子因式分解后再次约分得到最简结果；最后将$x=\sqrt{2}$代入最简式计算即可。
【解析】
先对原式化简：
$\begin{aligned}原式&=(\dfrac{2x}{1-x}-x)·\dfrac{1-x^2}{(1+x)^2}\\&=(\dfrac{2x}{1-x}-x)·\dfrac{(1-x)(1+x)}{(1+x)^2}\\&=(\dfrac{2x}{1-x}-x)·\dfrac{1-x}{1+x}\\&=\dfrac{2x}{1-x}·\dfrac{1-x}{1+x} - x·\dfrac{1-x}{1+x}\\&=\dfrac{2x}{1+x}+\dfrac{x(x-1)}{1+x}\\&=\dfrac{2x+x^2-x}{1+x}\\&=\dfrac{x^2+x}{1+x}\\&=\dfrac{x(x+1)}{1+x}\\&=x\end{aligned}$
将$x=\sqrt{2}$代入化简结果，得原式$=\sqrt{2}$。
【答案】
原式$=x$，当$x=\sqrt{2}$时，原式$=\sqrt{2}$
【知识点】
分式的混合运算；平方差公式；代数式求值
【点评】
本题是分式运算的常规题型，解题核心是灵活运用运算律和因式分解进行约分，能大幅降低运算量，运算过程中要注意符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
15. 先化简,后求值: $(\dfrac{x^2 y - 4y^3}{x^2 + 4xy + 4y^2}) · (\dfrac{4xy}{x - 2y} + x)$, 其中$\begin{cases} x = \sqrt{2} - 1, \\ y = \sqrt{2} + 1. \end{cases}$
答案
原式$=xy$.当$x=\sqrt{2}-1$，$y=\sqrt{2}+1$时,原式$=1$
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，解题分两步思考：第一步先化简原式，①先处理第一个括号内的分式：对分子提取公因式后用平方差公式因式分解，分母用完全平方公式因式分解，再约分化简；②再处理第二个括号内的分式与整式的加法运算，先通分把整式转化为同分母分式，合并分子后再因式分解；③将两个化简后的式子相乘，约去公共因式得到最简结果。第二步将x、y的值代入最简式，利用平方差公式快速计算出结果。
【解析】
解：先化简原式：
对第一个括号因式分解约分：
$\dfrac{x^2 y - 4y^3}{x^2 + 4xy + 4y^2} = \dfrac{y(x^2 - 4y^2)}{(x + 2y)^2} = \dfrac{y(x - 2y)(x + 2y)}{(x + 2y)^2} = \dfrac{y(x - 2y)}{x + 2y}$
对第二个括号通分计算：
$\dfrac{4xy}{x - 2y} + x = \dfrac{4xy + x(x - 2y)}{x - 2y} = \dfrac{4xy + x^2 - 2xy}{x - 2y} = \dfrac{x^2 + 2xy}{x - 2y} = \dfrac{x(x + 2y)}{x - 2y}$
两式相乘约分：
原式$= \dfrac{y(x - 2y)}{x + 2y} × \dfrac{x(x + 2y)}{x - 2y} = xy$
再代入数值计算：
当$x = \sqrt{2} - 1$，$y = \sqrt{2} + 1$时，
原式$= (\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$
【答案】
$1$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，平方差公式
【点评】
本题是典型的分式化简求值类题目，核心是熟练运用因式分解的方法对分式的分子分母进行变形，再通过通分、约分得到最简结果，代入求值时巧用乘法公式可大幅简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
这是一道分式化简求值题，解题分两步思考：第一步先化简原式，①先处理第一个括号内的分式：对分子提取公因式后用平方差公式因式分解，分母用完全平方公式因式分解，再约分化简；②再处理第二个括号内的分式与整式的加法运算，先通分把整式转化为同分母分式，合并分子后再因式分解；③将两个化简后的式子相乘，约去公共因式得到最简结果。第二步将x、y的值代入最简式，利用平方差公式快速计算出结果。
【解析】
解：先化简原式：
对第一个括号因式分解约分：
$\dfrac{x^2 y - 4y^3}{x^2 + 4xy + 4y^2} = \dfrac{y(x^2 - 4y^2)}{(x + 2y)^2} = \dfrac{y(x - 2y)(x + 2y)}{(x + 2y)^2} = \dfrac{y(x - 2y)}{x + 2y}$
对第二个括号通分计算：
$\dfrac{4xy}{x - 2y} + x = \dfrac{4xy + x(x - 2y)}{x - 2y} = \dfrac{4xy + x^2 - 2xy}{x - 2y} = \dfrac{x^2 + 2xy}{x - 2y} = \dfrac{x(x + 2y)}{x - 2y}$
两式相乘约分：
原式$= \dfrac{y(x - 2y)}{x + 2y} × \dfrac{x(x + 2y)}{x - 2y} = xy$
再代入数值计算：
当$x = \sqrt{2} - 1$，$y = \sqrt{2} + 1$时，
原式$= (\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$
【答案】
$1$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，平方差公式
【点评】
本题是典型的分式化简求值类题目，核心是熟练运用因式分解的方法对分式的分子分母进行变形，再通过通分、约分得到最简结果，代入求值时巧用乘法公式可大幅简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
