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1. 计算：$\sqrt{18} - \sqrt{\frac{1}{18}} = \_\_\_\_\_\_$.
答案
1. $\frac{17\sqrt{2}}{6}$
解析
【分析】
这是二次根式的减法运算题，解题需遵循二次根式加减的运算规则：第一步先将算式中的每一个二次根式都化为最简二次根式，第二步识别同类二次根式，再对同类二次根式进行合并计算。首先化简$\sqrt{18}$，把被开方数拆成完全平方数和剩余因数的乘积再开方；然后化简$\sqrt{\frac{1}{18}}$，通过分母有理化将其化为最简二次根式，最后将两个最简二次根式通分后相减即可得到结果。
【解析】
解：先分别化简两个二次根式：
1. 化简$\sqrt{18}$：
$\sqrt{18} = \sqrt{9×2} = \sqrt{9}×\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$
2. 化简$\sqrt{\frac{1}{18}}$：
$\sqrt{\frac{1}{18}} = \sqrt{\frac{1×2}{18×2}} = \sqrt{\frac{2}{36}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{36}} = \frac{\sqrt{2}}{6}$
3. 合并同类二次根式：
$\sqrt{18} - \sqrt{\frac{1}{18}} = 3\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{6} = \frac{18\sqrt{2}}{6} - \frac{\sqrt{2}}{6} = \frac{17\sqrt{2}}{6}$
【答案】
$\frac{17\sqrt{2}}{6}$
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式合并，分母有理化
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式加减的运算逻辑，易错点在于化简带分母的二次根式时分母有理化出错，或者合并同类二次根式时通分计算错误，计算完成后可检查结果是否为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
这是二次根式的减法运算题，解题需遵循二次根式加减的运算规则：第一步先将算式中的每一个二次根式都化为最简二次根式，第二步识别同类二次根式，再对同类二次根式进行合并计算。首先化简$\sqrt{18}$，把被开方数拆成完全平方数和剩余因数的乘积再开方；然后化简$\sqrt{\frac{1}{18}}$，通过分母有理化将其化为最简二次根式，最后将两个最简二次根式通分后相减即可得到结果。
【解析】
解：先分别化简两个二次根式：
1. 化简$\sqrt{18}$：
$\sqrt{18} = \sqrt{9×2} = \sqrt{9}×\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$
2. 化简$\sqrt{\frac{1}{18}}$：
$\sqrt{\frac{1}{18}} = \sqrt{\frac{1×2}{18×2}} = \sqrt{\frac{2}{36}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{36}} = \frac{\sqrt{2}}{6}$
3. 合并同类二次根式：
$\sqrt{18} - \sqrt{\frac{1}{18}} = 3\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{6} = \frac{18\sqrt{2}}{6} - \frac{\sqrt{2}}{6} = \frac{17\sqrt{2}}{6}$
【答案】
$\frac{17\sqrt{2}}{6}$
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式合并，分母有理化
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式加减的运算逻辑，易错点在于化简带分母的二次根式时分母有理化出错，或者合并同类二次根式时通分计算错误，计算完成后可检查结果是否为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
2. 计算：$\sqrt{-x^2 + 4x - 4} = \underline{\hspace{5cm}}$.
答案
2. 0
解析
【分析】
要计算该二次根式的结果，首先需明确二次根式有意义的前提是被开方数为非负数。我们可以先对被开方数$-x^2+4x-4$用完全平方公式进行配方变形，再结合平方数的非负性，确定被开方数的取值，最终求出根式的值。
【解析】
第一步：化简被开方数
对$-x^2+4x-4$提取负号后配方可得：
$-x^2+4x-4=-(x^2-4x+4)=-(x-2)^2$
第二步：结合二次根式的定义和非负数性质分析取值
根据二次根式的定义，被开方数需满足：$-(x-2)^2≥0$
又因为任意实数的平方均为非负数，即$(x-2)^2≥0$，因此$-(x-2)^2≤0$
同时满足$-(x-2)^2≥0$和$-(x-2)^2≤0$的唯一情况是：$-(x-2)^2=0$
第三步：计算根式结果
将被开方数的值代入原式得：$\sqrt{-x^2+4x-4}=\sqrt{0}=0$
【答案】
$0$
【知识点】
二次根式有意义的条件；完全平方公式；非负数的性质
【点评】
本题属于二次根式相关的基础常考题，解题核心是先对被开方数配方，结合平方的非负性挖掘被开方数只能为0的隐含条件，能够考查学生对基础概念和公式的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要计算该二次根式的结果，首先需明确二次根式有意义的前提是被开方数为非负数。我们可以先对被开方数$-x^2+4x-4$用完全平方公式进行配方变形，再结合平方数的非负性，确定被开方数的取值，最终求出根式的值。
【解析】
第一步：化简被开方数
对$-x^2+4x-4$提取负号后配方可得：
$-x^2+4x-4=-(x^2-4x+4)=-(x-2)^2$
第二步：结合二次根式的定义和非负数性质分析取值
根据二次根式的定义，被开方数需满足：$-(x-2)^2≥0$
又因为任意实数的平方均为非负数，即$(x-2)^2≥0$，因此$-(x-2)^2≤0$
同时满足$-(x-2)^2≥0$和$-(x-2)^2≤0$的唯一情况是：$-(x-2)^2=0$
第三步：计算根式结果
将被开方数的值代入原式得：$\sqrt{-x^2+4x-4}=\sqrt{0}=0$
【答案】
$0$
【知识点】
二次根式有意义的条件；完全平方公式；非负数的性质
【点评】
本题属于二次根式相关的基础常考题，解题核心是先对被开方数配方，结合平方的非负性挖掘被开方数只能为0的隐含条件，能够考查学生对基础概念和公式的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
3. 满足 $ m ＞ \left| 1 - \sqrt{10} \right| $ 的整数 $ m $ 的最小值为
3
.答案
3. 3
解析
【分析】
要找到满足条件的最小整数m，首先需要化简绝对值$\left|1-\sqrt{10}\right|$，化简的关键是判断绝对值内式子的正负，这就需要先估算$\sqrt{10}$的大致范围；得到绝对值的化简结果后，再估算该结果的取值范围，最后结合m是整数且大于这个值的要求，就能确定最小的整数m。
【解析】
1. 估算$\sqrt{10}$的范围
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，所以$3＜\sqrt{10}＜4$。
2. 化简绝对值
由$3＜\sqrt{10}＜4$可知$1-\sqrt{10}＜0$，根据负数的绝对值等于它的相反数，可得：
$\left|1-\sqrt{10}\right|=\sqrt{10}-1$
3. 估算$\sqrt{10}-1$的范围
对不等式$3＜\sqrt{10}＜4$的三边同时减1，得$3-1＜\sqrt{10}-1＜4-1$，即$2＜\left|1-\sqrt{10}\right|＜3$。
4. 确定最小整数m
因为m是大于$\left|1-\sqrt{10}\right|$的整数，所以满足条件的最小整数m为3。
【答案】
3
【知识点】
绝对值的化简；无理数的估算；不等式的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先正确化简绝对值，再通过夹逼法估算无理数的取值范围，进而确定符合要求的整数，要求熟练掌握常见无理数的估算方法和绝对值的性质。
【难度系数】
0.7
要找到满足条件的最小整数m，首先需要化简绝对值$\left|1-\sqrt{10}\right|$，化简的关键是判断绝对值内式子的正负，这就需要先估算$\sqrt{10}$的大致范围；得到绝对值的化简结果后，再估算该结果的取值范围，最后结合m是整数且大于这个值的要求，就能确定最小的整数m。
【解析】
1. 估算$\sqrt{10}$的范围
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，所以$3＜\sqrt{10}＜4$。
2. 化简绝对值
由$3＜\sqrt{10}＜4$可知$1-\sqrt{10}＜0$，根据负数的绝对值等于它的相反数，可得：
$\left|1-\sqrt{10}\right|=\sqrt{10}-1$
3. 估算$\sqrt{10}-1$的范围
对不等式$3＜\sqrt{10}＜4$的三边同时减1，得$3-1＜\sqrt{10}-1＜4-1$，即$2＜\left|1-\sqrt{10}\right|＜3$。
4. 确定最小整数m
因为m是大于$\left|1-\sqrt{10}\right|$的整数，所以满足条件的最小整数m为3。
【答案】
3
【知识点】
绝对值的化简；无理数的估算；不等式的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先正确化简绝对值，再通过夹逼法估算无理数的取值范围，进而确定符合要求的整数，要求熟练掌握常见无理数的估算方法和绝对值的性质。
【难度系数】
0.7
4. 若$ x = \dfrac{2}{\sqrt{3} - 1} $，$ \dfrac{1}{y} = (1 - \dfrac{\sqrt{3}}{2})x - \dfrac{\sqrt{3}}{4} $，则$ y = \underline{\hspace{8cm}} $.
答案
4. $-8-4\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步，先对x的表达式进行分母有理化，将x化简为最简二次根式形式；第二步，把化简后的x代入$\frac{1}{y}$的表达式，按照二次根式混合运算的规则计算出$\frac{1}{y}$的结果；第三步，对$\frac{1}{y}$取倒数，再进行分母有理化即可得到y的值，计算过程中需注意符号和运算顺序。
【解析】
1. 先化简$x$：
对$x=\frac{2}{\sqrt{3}-1}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}+1$：
$\begin{aligned}x&=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}\\&=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3})^2-1^2}\\&=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1}\\&=\sqrt{3}+1\end{aligned}$
2. 将$x=\sqrt{3}+1$代入$\frac{1}{y}=(1-\frac{\sqrt{3}}{2})x-\frac{\sqrt{3}}{4}$计算：
$\begin{aligned}\frac{1}{y}&=(1-\frac{\sqrt{3}}{2})(\sqrt{3}+1)-\frac{\sqrt{3}}{4}\\&=\sqrt{3}+1-\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}\\&=\sqrt{3}+1-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}\\&=(\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4})+(1-\frac{3}{2})\\&=\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2}\\&=\frac{\sqrt{3}-2}{4}\end{aligned}$
3. 求y的值，对$\frac{1}{y}$取倒数后分母有理化：
$\begin{aligned}y&=\frac{4}{\sqrt{3}-2}\\&=\frac{4(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)}\\&=\frac{4\sqrt{3}+8}{3-4}\\&=-8-4\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$-8-4\sqrt{3}$
【知识点】
分母有理化；二次根式混合运算；代数式求值
【点评】
本题核心考察二次根式的化简与运算能力，解题的突破口是先对含根式的分式做分母有理化，再代入逐步计算，运算过程中要注意根式乘法规则和符号变化，避免因计算粗心出错。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：第一步，先对x的表达式进行分母有理化，将x化简为最简二次根式形式；第二步，把化简后的x代入$\frac{1}{y}$的表达式，按照二次根式混合运算的规则计算出$\frac{1}{y}$的结果；第三步，对$\frac{1}{y}$取倒数，再进行分母有理化即可得到y的值，计算过程中需注意符号和运算顺序。
【解析】
1. 先化简$x$：
对$x=\frac{2}{\sqrt{3}-1}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}+1$：
$\begin{aligned}x&=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}\\&=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3})^2-1^2}\\&=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1}\\&=\sqrt{3}+1\end{aligned}$
2. 将$x=\sqrt{3}+1$代入$\frac{1}{y}=(1-\frac{\sqrt{3}}{2})x-\frac{\sqrt{3}}{4}$计算：
$\begin{aligned}\frac{1}{y}&=(1-\frac{\sqrt{3}}{2})(\sqrt{3}+1)-\frac{\sqrt{3}}{4}\\&=\sqrt{3}+1-\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}\\&=\sqrt{3}+1-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}\\&=(\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4})+(1-\frac{3}{2})\\&=\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2}\\&=\frac{\sqrt{3}-2}{4}\end{aligned}$
3. 求y的值，对$\frac{1}{y}$取倒数后分母有理化：
$\begin{aligned}y&=\frac{4}{\sqrt{3}-2}\\&=\frac{4(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)}\\&=\frac{4\sqrt{3}+8}{3-4}\\&=-8-4\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$-8-4\sqrt{3}$
【知识点】
分母有理化；二次根式混合运算；代数式求值
【点评】
本题核心考察二次根式的化简与运算能力，解题的突破口是先对含根式的分式做分母有理化，再代入逐步计算，运算过程中要注意根式乘法规则和符号变化，避免因计算粗心出错。
【难度系数】
0.7
5. 若$a$，$b$，$c$为三角形的三边长，化简：$\sqrt{(a+b-c)^2} + \sqrt{(b-c-a)^2} + \sqrt{(b+c-ca)^2} =$.
答案
5. $a + b + c$
解析
【分析】
解这道题需要用到两个核心知识点：一是二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，二是三角形三边的关系。解题思路如下：第一步，利用二次根式的性质将原式转化为三个绝对值相加的形式；第二步，根据三角形“任意两边之和大于第三边”的规则，分别判断每个绝对值内部代数式的正负性；第三步，依据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项得到化简结果。
【解析】
已知$a$、$b$、$c$为三角形的三边长，根据三角形三边关系可得：
① 两边之和大于第三边，故$a+b＞c$，即$a+b-c＞0$；
② 两边之和大于第三边，故$a+c＞b$，即$b-c-a=b-(a+c)＜0$；
③ 两边之和大于第三边，故$b+c＞a$，即$b+c-a＞0$（原题此处“$ca$”为输入笔误，实际应为$a$，与参考答案对应）。
根据二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，原式可改写为：
$|a+b-c| + |b-c-a| + |b+c-a|$
根据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去绝对值计算：
$\begin{aligned}原式&=(a+b-c) + [-(b-c-a)] + (b+c-a)\\&=a+b-c -b +c +a +b +c -a\\&=a+b+c\end{aligned}$
【答案】
$a + b + c$
【知识点】
二次根式化简，三角形三边关系，绝对值的性质
【点评】
本题是代数性质与几何性质结合的基础题型，解题的核心是先通过三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再正确去绝对值后合并同类项，是根式化简类的常见考查形式。
【难度系数】
0.7
解这道题需要用到两个核心知识点：一是二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，二是三角形三边的关系。解题思路如下：第一步，利用二次根式的性质将原式转化为三个绝对值相加的形式；第二步，根据三角形“任意两边之和大于第三边”的规则，分别判断每个绝对值内部代数式的正负性；第三步，依据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项得到化简结果。
【解析】
已知$a$、$b$、$c$为三角形的三边长，根据三角形三边关系可得：
① 两边之和大于第三边，故$a+b＞c$，即$a+b-c＞0$；
② 两边之和大于第三边，故$a+c＞b$，即$b-c-a=b-(a+c)＜0$；
③ 两边之和大于第三边，故$b+c＞a$，即$b+c-a＞0$（原题此处“$ca$”为输入笔误，实际应为$a$，与参考答案对应）。
根据二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，原式可改写为：
$|a+b-c| + |b-c-a| + |b+c-a|$
根据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去绝对值计算：
$\begin{aligned}原式&=(a+b-c) + [-(b-c-a)] + (b+c-a)\\&=a+b-c -b +c +a +b +c -a\\&=a+b+c\end{aligned}$
【答案】
$a + b + c$
【知识点】
二次根式化简，三角形三边关系，绝对值的性质
【点评】
本题是代数性质与几何性质结合的基础题型，解题的核心是先通过三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再正确去绝对值后合并同类项，是根式化简类的常见考查形式。
【难度系数】
0.7
6. 若$\sqrt{3m - 1}$有意义，则$m$能取的最小整数值是（
A.0
B.1
C.2
D.3
B
）.A.0
B.1
C.2
D.3
答案
6. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确二次根式有意义的前提：被开方数必须是非负数（即大于或等于0）。我们可以根据这个条件列出关于m的不等式，解出m的取值范围后，再在取值范围内找出最小的整数，就能得到答案。
【解析】
∵ 二次根式$\sqrt{3m - 1}$有意义
∴ 被开方数满足：$3m - 1 ≥ 0$
解这个不等式：
$3m ≥ 1$
$m ≥ \frac{1}{3}$
大于等于$\frac{1}{3}$的整数有1、2、3……，其中最小的整数是1，因此m能取的最小整数值是1。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式；不等式的整数解
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次根式有意义的条件的应用，解题的关键是准确列出不等式求解m的范围，再筛选符合要求的整数，易错点是容易忽略被开方数可以等于0的情况，或者找整数时误选0。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确二次根式有意义的前提：被开方数必须是非负数（即大于或等于0）。我们可以根据这个条件列出关于m的不等式，解出m的取值范围后，再在取值范围内找出最小的整数，就能得到答案。
【解析】
∵ 二次根式$\sqrt{3m - 1}$有意义
∴ 被开方数满足：$3m - 1 ≥ 0$
解这个不等式：
$3m ≥ 1$
$m ≥ \frac{1}{3}$
大于等于$\frac{1}{3}$的整数有1、2、3……，其中最小的整数是1，因此m能取的最小整数值是1。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式；不等式的整数解
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次根式有意义的条件的应用，解题的关键是准确列出不等式求解m的范围，再筛选符合要求的整数，易错点是容易忽略被开方数可以等于0的情况，或者找整数时误选0。
【难度系数】
0.9
7. 若 $ x ＜ 0 $，则$\frac{x - \sqrt{x^2}}{x}$的值为(
A.0
B.$-2$
C.0或$-2$
D.2
D
).A.0
B.$-2$
C.0或$-2$
D.2
答案
7. D
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式的化简规则：$\sqrt{a^2}=|a|$，再结合题目给出的$x＜0$的条件对绝对值进行化简，最后代入原式计算即可。解题的关键是不要忽略$x$的取值范围，避免直接将$\sqrt{x^2}$化简为$x$导致错误。
【解析】
解：根据二次根式的性质可得：$\sqrt{x^2}=|x|$
已知$x＜0$，因此$|x|=-x$
将$\sqrt{x^2}=-x$代入原式：
$\frac{x - \sqrt{x^2}}{x}=\frac{x - (-x)}{x}=\frac{x+x}{x}=\frac{2x}{x}$
$\because x＜0$，$\therefore x≠0$，约分可得$\frac{2x}{x}=2$
【答案】
D
【知识点】
二次根式的化简；绝对值的性质；分式的约分
【点评】
本题属于易错题，易错点是忽略$x＜0$的限定条件，直接将$\sqrt{x^2}$化简为$x$得到错误结果。解题时需牢记二次根式的化简结果是非负的，结合字母的取值范围正确去绝对值符号即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆二次根式的化简规则：$\sqrt{a^2}=|a|$，再结合题目给出的$x＜0$的条件对绝对值进行化简，最后代入原式计算即可。解题的关键是不要忽略$x$的取值范围，避免直接将$\sqrt{x^2}$化简为$x$导致错误。
【解析】
解：根据二次根式的性质可得：$\sqrt{x^2}=|x|$
已知$x＜0$，因此$|x|=-x$
将$\sqrt{x^2}=-x$代入原式：
$\frac{x - \sqrt{x^2}}{x}=\frac{x - (-x)}{x}=\frac{x+x}{x}=\frac{2x}{x}$
$\because x＜0$，$\therefore x≠0$，约分可得$\frac{2x}{x}=2$
【答案】
D
【知识点】
二次根式的化简；绝对值的性质；分式的约分
【点评】
本题属于易错题，易错点是忽略$x＜0$的限定条件，直接将$\sqrt{x^2}$化简为$x$得到错误结果。解题时需牢记二次根式的化简结果是非负的，结合字母的取值范围正确去绝对值符号即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
8. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是(
A.$\sqrt{14}$
B.$\sqrt{48}$
C.$\sqrt{\dfrac{a}{b}}$
D.$\sqrt{4a + 4}$
A
).A.$\sqrt{14}$
B.$\sqrt{48}$
C.$\sqrt{\dfrac{a}{b}}$
D.$\sqrt{4a + 4}$
答案
8. A
解析
【分析】
拿到这道题首先明确考点是最简二次根式的判定，先回忆最简二次根式的两个核心判定条件：第一，被开方数不含分母，即所有因数都是整数、因式都是整式；第二，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。接下来只要把每个选项对照这两个条件逐一排查，排除不符合要求的选项，剩下的就是正确答案。
【解析】
首先明确最简二次根式的判定规则：
1. 被开方数不含分母；
2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
对每个选项逐一判断：
选项A：$\sqrt{14}$，被开方数14是整数，分解质因数为$2×7$，没有能开得尽方的因数，同时满足两个判定条件，属于最简二次根式。
选项B：$\sqrt{48}$，被开方数$48=16×3$，其中16是能开得尽方的因数（$\sqrt{16}=4$），可化简为$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，不属于最简二次根式。
选项C：$\sqrt{\dfrac{a}{b}}$，被开方数含有分母$b$，不满足第一个判定条件，可化简为$\dfrac{\sqrt{ab}}{\left|b\right|}$，不属于最简二次根式。
选项D：$\sqrt{4a+4}$，先对被开方数因式分解得$\sqrt{4(a+1)}$，其中4是能开得尽方的因数，可化简为$2\sqrt{a+1}$，不属于最简二次根式。
【答案】
A
【知识点】
最简二次根式判定、二次根式化简、因式分解
【点评】
本题是二次根式模块的基础题型，核心考查对最简二次根式概念的掌握，解题关键是紧扣两个判定条件逐一验证选项，注意遇到被开方数是多项式的情况时，要先因式分解再判断是否含有可开方的因式。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先明确考点是最简二次根式的判定，先回忆最简二次根式的两个核心判定条件：第一，被开方数不含分母，即所有因数都是整数、因式都是整式；第二，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。接下来只要把每个选项对照这两个条件逐一排查，排除不符合要求的选项，剩下的就是正确答案。
【解析】
首先明确最简二次根式的判定规则：
1. 被开方数不含分母；
2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
对每个选项逐一判断：
选项A：$\sqrt{14}$，被开方数14是整数，分解质因数为$2×7$，没有能开得尽方的因数，同时满足两个判定条件，属于最简二次根式。
选项B：$\sqrt{48}$，被开方数$48=16×3$，其中16是能开得尽方的因数（$\sqrt{16}=4$），可化简为$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，不属于最简二次根式。
选项C：$\sqrt{\dfrac{a}{b}}$，被开方数含有分母$b$，不满足第一个判定条件，可化简为$\dfrac{\sqrt{ab}}{\left|b\right|}$，不属于最简二次根式。
选项D：$\sqrt{4a+4}$，先对被开方数因式分解得$\sqrt{4(a+1)}$，其中4是能开得尽方的因数，可化简为$2\sqrt{a+1}$，不属于最简二次根式。
【答案】
A
【知识点】
最简二次根式判定、二次根式化简、因式分解
【点评】
本题是二次根式模块的基础题型，核心考查对最简二次根式概念的掌握，解题关键是紧扣两个判定条件逐一验证选项，注意遇到被开方数是多项式的情况时，要先因式分解再判断是否含有可开方的因式。
【难度系数】
0.8
9. 如果$\sqrt{x(6-x)}=\sqrt{x}·\sqrt{x-6}$，那么(
A.$x≥ 6$
B.$x=0$或$x=6$
C.$x=6$
D.$0≤ x≤ 6$
C
).A.$x≥ 6$
B.$x=0$或$x=6$
C.$x=6$
D.$0≤ x≤ 6$
答案
9. C
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确二次根式的核心约束条件：二次根式的被开方数必须是非负数，同时等式$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$成立的前提是$a≥0$且$b≥0$。我们只需要列出等式中所有二次根式的被开方数的非负要求，组成不等式组，求解公共解即可得到正确的x的取值。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，可列不等式组：
1. 对于$\sqrt{x}$：$x≥0$；
2. 对于$\sqrt{x-6}$：$x-6≥0$，即$x≥6$；
3. 对于$\sqrt{x(6-x)}$：$x(6-x)≥0$，整理得$x(x-6)≤0$，解得$0≤ x≤6$。
求三个不等式的公共解：前两个不等式的解集为$x≥6$，和第三个不等式的解集$0≤ x≤6$的交集只有$x=6$。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件，二次根式的乘法法则，解一元一次不等式组
【点评】
本题易错点是忽略二次根式被开方数非负的隐含约束，直接错误套用乘法法则或对等式平方，误选A或D。解题时要先确定所有根式的取值范围，再求公共解，确保结果符合所有约束条件。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确二次根式的核心约束条件：二次根式的被开方数必须是非负数，同时等式$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$成立的前提是$a≥0$且$b≥0$。我们只需要列出等式中所有二次根式的被开方数的非负要求，组成不等式组，求解公共解即可得到正确的x的取值。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，可列不等式组：
1. 对于$\sqrt{x}$：$x≥0$；
2. 对于$\sqrt{x-6}$：$x-6≥0$，即$x≥6$；
3. 对于$\sqrt{x(6-x)}$：$x(6-x)≥0$，整理得$x(x-6)≤0$，解得$0≤ x≤6$。
求三个不等式的公共解：前两个不等式的解集为$x≥6$，和第三个不等式的解集$0≤ x≤6$的交集只有$x=6$。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件，二次根式的乘法法则，解一元一次不等式组
【点评】
本题易错点是忽略二次根式被开方数非负的隐含约束，直接错误套用乘法法则或对等式平方，误选A或D。解题时要先确定所有根式的取值范围，再求公共解，确保结果符合所有约束条件。
【难度系数】
0.7
10. 小明的作业本上有以下四题：① $\sqrt{16a^4}=4a^2$；② $\sqrt{5a} · \sqrt{10a}=5\sqrt{2}a$；③ $a\sqrt{\dfrac{1}{a}}=\sqrt{a^2 · \dfrac{1}{a}}=\sqrt{a}$；④ $\sqrt{3a}-\sqrt{2a}=\sqrt{a}$。其中做错的题是（
A.①
B.②
C.③
D.④
D
）。A.①
B.②
C.③
D.④
答案
10. D
解析
【分析】
这道题考查二次根式的相关运算规则，解题时需依次对4个式子逐一验证：先回忆二次根式的化简规则、乘法法则、运算时的隐含取值要求、同类二次根式的合并要求，逐个判断每道题的正误，最终选出做错的题目即可。
【解析】
我们逐个判断4道题的对错：
① 对$\sqrt{16a^4}$化简：$\sqrt{16a^4}=\sqrt{(4a^2)^2}=4a^2$，因为$a^2≥0$，开方结果符合二次根式非负的要求，①计算正确；
② 根据二次根式乘法法则计算：$\sqrt{5a}·\sqrt{10a}=\sqrt{5a·10a}=\sqrt{50a^2}$，要使根式有意义则$a≥0$，因此$\sqrt{50a^2}=\sqrt{25×2×a^2}=5\sqrt{2}a$，②计算正确；
③ 要使$\sqrt{\frac{1}{a}}$有意义，则$a＞0$，因此可将根号外的正因数$a$移到根号内，即$a\sqrt{\frac{1}{a}}=\sqrt{a^2·\frac{1}{a}}=\sqrt{a}$，③计算正确；
④ $\sqrt{3a}$和$\sqrt{2a}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并相减，因此$\sqrt{3a}-\sqrt{2a}≠\sqrt{a}$，④计算错误。
综上，做错的题是④，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质，二次根式的运算，同类二次根式
【点评】
本题属于二次根式基础运算题，解题时要注意二次根式有意义的隐含取值范围，同时牢记只有同类二次根式才能进行合并运算，避免出现不同类根式直接加减的错误。
【难度系数】
0.7
这道题考查二次根式的相关运算规则，解题时需依次对4个式子逐一验证：先回忆二次根式的化简规则、乘法法则、运算时的隐含取值要求、同类二次根式的合并要求，逐个判断每道题的正误，最终选出做错的题目即可。
【解析】
我们逐个判断4道题的对错：
① 对$\sqrt{16a^4}$化简：$\sqrt{16a^4}=\sqrt{(4a^2)^2}=4a^2$，因为$a^2≥0$，开方结果符合二次根式非负的要求，①计算正确；
② 根据二次根式乘法法则计算：$\sqrt{5a}·\sqrt{10a}=\sqrt{5a·10a}=\sqrt{50a^2}$，要使根式有意义则$a≥0$，因此$\sqrt{50a^2}=\sqrt{25×2×a^2}=5\sqrt{2}a$，②计算正确；
③ 要使$\sqrt{\frac{1}{a}}$有意义，则$a＞0$，因此可将根号外的正因数$a$移到根号内，即$a\sqrt{\frac{1}{a}}=\sqrt{a^2·\frac{1}{a}}=\sqrt{a}$，③计算正确；
④ $\sqrt{3a}$和$\sqrt{2a}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并相减，因此$\sqrt{3a}-\sqrt{2a}≠\sqrt{a}$，④计算错误。
综上，做错的题是④，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质，二次根式的运算，同类二次根式
【点评】
本题属于二次根式基础运算题，解题时要注意二次根式有意义的隐含取值范围，同时牢记只有同类二次根式才能进行合并运算，避免出现不同类根式直接加减的错误。
【难度系数】
0.7
