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三、解答题
11. 计算：$(\sqrt{6}+\sqrt{2})÷(\sqrt{3}-1)-\sqrt{32}$。
11. 计算：$(\sqrt{6}+\sqrt{2})÷(\sqrt{3}-1)-\sqrt{32}$。
答案
11. $\sqrt{6}-2\sqrt{2}$
解析
【分析】
这是一道二次根式的混合运算题，解题思路如下：首先处理含二次根式的除法运算，将除法转化为分数形式，观察到分母为$\sqrt{3}-1$，需进行分母有理化，给分子分母同乘分母的有理化因式$\sqrt{3}+1$，利用平方差公式消去分母的根号；再将分子展开计算，同时把$\sqrt{32}$化简为最简二次根式；最后合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
解：原式$=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1} - \sqrt{32}$
对第一项分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}+1$，同时化简$\sqrt{32}$：
$=\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} - 4\sqrt{2}$
利用平方差公式计算分母：$(\sqrt{3})^2-1^2=3-1=2$，展开分子：
分子$=\sqrt{6}×\sqrt{3}+\sqrt{6}×1+\sqrt{2}×\sqrt{3}+\sqrt{2}×1$
$=\sqrt{18}+\sqrt{6}+\sqrt{6}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}+2\sqrt{6}+\sqrt{2}=4\sqrt{2}+2\sqrt{6}$
代入原式计算：
$=\frac{4\sqrt{2}+2\sqrt{6}}{2} -4\sqrt{2}$
$=2\sqrt{2}+\sqrt{6} -4\sqrt{2}$
合并同类二次根式：
$=\sqrt{6}-2\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{6}-2\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式混合运算，分母有理化，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的常规题型，解题核心是掌握分母有理化的方法，熟练运用二次根式化简、同类二次根式合并的规则，计算时注意运算顺序，避免展开或合并时出现符号、计算错误。
【难度系数】
0.7
这是一道二次根式的混合运算题，解题思路如下：首先处理含二次根式的除法运算，将除法转化为分数形式，观察到分母为$\sqrt{3}-1$，需进行分母有理化，给分子分母同乘分母的有理化因式$\sqrt{3}+1$，利用平方差公式消去分母的根号；再将分子展开计算，同时把$\sqrt{32}$化简为最简二次根式；最后合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
解：原式$=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1} - \sqrt{32}$
对第一项分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}+1$，同时化简$\sqrt{32}$：
$=\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} - 4\sqrt{2}$
利用平方差公式计算分母：$(\sqrt{3})^2-1^2=3-1=2$，展开分子：
分子$=\sqrt{6}×\sqrt{3}+\sqrt{6}×1+\sqrt{2}×\sqrt{3}+\sqrt{2}×1$
$=\sqrt{18}+\sqrt{6}+\sqrt{6}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}+2\sqrt{6}+\sqrt{2}=4\sqrt{2}+2\sqrt{6}$
代入原式计算：
$=\frac{4\sqrt{2}+2\sqrt{6}}{2} -4\sqrt{2}$
$=2\sqrt{2}+\sqrt{6} -4\sqrt{2}$
合并同类二次根式：
$=\sqrt{6}-2\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{6}-2\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式混合运算，分母有理化，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的常规题型，解题核心是掌握分母有理化的方法，熟练运用二次根式化简、同类二次根式合并的规则，计算时注意运算顺序，避免展开或合并时出现符号、计算错误。
【难度系数】
0.7
12. 已知 $x=\dfrac{2}{\sqrt{3}-1}$，求 $x^2 - x + 1$ 的值.
答案
12. $4+\sqrt{3}$
解析
【分析】
观察到已知x的表达式分母含有二次根式，若直接代入代数式计算会非常繁琐，因此解题的第一步应先对x进行分母有理化，将其化简为最简形式后再代入代数式计算，可大幅降低计算量。分母有理化时，需给分子分母同乘分母的有理化因式√3+1，利用平方差公式去掉分母中的根号即可得到x的最简值，之后代入代数式按二次根式运算规则计算即可。
【解析】
解：先对x进行分母有理化：
$\begin{aligned}x&=\frac{2}{\sqrt{3}-1}\\&=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}\\&=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}\\&=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1}\\&=\sqrt{3}+1\end{aligned}$
将$x=\sqrt{3}+1$代入$x^2 - x +1$得：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{3}+1)^2 - (\sqrt{3}+1) +1\\&=(3 + 2\sqrt{3} +1) - \sqrt{3} -1 +1\\&=4 + 2\sqrt{3} - \sqrt{3}\\&=4+\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$4+\sqrt{3}$
【知识点】
分母有理化，二次根式混合运算，代数式求值
【点评】
本题是二次根式化简求值的常见题型，解题核心是先对含二次根式的分式进行分母有理化简化未知量，再代入计算，能有效避免直接代入带来的复杂运算，考查学生对二次根式运算规则的掌握程度。
【难度系数】
0.7
观察到已知x的表达式分母含有二次根式，若直接代入代数式计算会非常繁琐，因此解题的第一步应先对x进行分母有理化，将其化简为最简形式后再代入代数式计算，可大幅降低计算量。分母有理化时，需给分子分母同乘分母的有理化因式√3+1，利用平方差公式去掉分母中的根号即可得到x的最简值，之后代入代数式按二次根式运算规则计算即可。
【解析】
解：先对x进行分母有理化：
$\begin{aligned}x&=\frac{2}{\sqrt{3}-1}\\&=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}\\&=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}\\&=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1}\\&=\sqrt{3}+1\end{aligned}$
将$x=\sqrt{3}+1$代入$x^2 - x +1$得：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{3}+1)^2 - (\sqrt{3}+1) +1\\&=(3 + 2\sqrt{3} +1) - \sqrt{3} -1 +1\\&=4 + 2\sqrt{3} - \sqrt{3}\\&=4+\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$4+\sqrt{3}$
【知识点】
分母有理化，二次根式混合运算，代数式求值
【点评】
本题是二次根式化简求值的常见题型，解题核心是先对含二次根式的分式进行分母有理化简化未知量，再代入计算，能有效避免直接代入带来的复杂运算，考查学生对二次根式运算规则的掌握程度。
【难度系数】
0.7
13. 已知 $y=\sqrt{1-8x}+\sqrt{8x-1}+\frac{1}{2}$，求代数式 $\sqrt{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2}-\sqrt{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2}$ 的值.
答案
13. 1
解析
【分析】
解题第一步先利用二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），根据y的表达式中两个二次根式的被开方数都大于等于0，联立不等式求出x的取值，再代入y的表达式算出y的值。第二步观察待求代数式的结构，根号内的式子可通过完全平方公式变形，开根号后转化为绝对值形式，结合x、y的正负去掉绝对值，最后代入数值计算即可。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{1-8x}$、$\sqrt{8x-1}$有意义，需满足：
$\begin{cases}1-8x≥0 \\8x-1≥0 \end{cases}$
因此$1-8x=0$，解得$x=\frac{1}{8}$。
将$x=\frac{1}{8}$代入$y=\sqrt{1-8x}+\sqrt{8x-1}+\frac{1}{2}$，得$y=0+0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
接下来化简待求代数式：
利用完全平方公式对根号内通分变形：
$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2=\frac{x^2+2xy+y^2}{xy}=\frac{(x+y)^2}{xy}$
$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{x^2-2xy+y^2}{xy}=\frac{(x-y)^2}{xy}$
因此原式可改写为：
$\sqrt{\frac{(x+y)^2}{xy}}-\sqrt{\frac{(x-y)^2}{xy}}=\frac{|x+y|}{\sqrt{xy}}-\frac{|x-y|}{\sqrt{xy}}$
由$x=\frac{1}{8}＞0$，$y=\frac{1}{2}＞0$，可知$x+y＞0$，$x-y=\frac{1}{8}-\frac{1}{2}=-\frac{3}{8}＜0$，且$xy=\frac{1}{8}×\frac{1}{2}=\frac{1}{16}$，$\sqrt{xy}=\frac{1}{4}$。
去掉绝对值得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x+y}{\frac{1}{4}}-\frac{y-x}{\frac{1}{4}}\\&=4(x+y)-4(y-x)\\&=4x+4y-4y+4x\\&=8x\end{aligned}$
代入$x=\frac{1}{8}$，得$8×\frac{1}{8}=1$。
【答案】
1
【知识点】
二次根式有意义的条件，完全平方公式，二次根式化简
【点评】
本题考查二次根式的性质与运算，解题核心是先通过二次根式的取值范围确定x、y的具体值，再利用公式对所求式子变形简化计算，避免直接代入的繁琐运算。
【难度系数】
0.7
解题第一步先利用二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），根据y的表达式中两个二次根式的被开方数都大于等于0，联立不等式求出x的取值，再代入y的表达式算出y的值。第二步观察待求代数式的结构，根号内的式子可通过完全平方公式变形，开根号后转化为绝对值形式，结合x、y的正负去掉绝对值，最后代入数值计算即可。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{1-8x}$、$\sqrt{8x-1}$有意义，需满足：
$\begin{cases}1-8x≥0 \\8x-1≥0 \end{cases}$
因此$1-8x=0$，解得$x=\frac{1}{8}$。
将$x=\frac{1}{8}$代入$y=\sqrt{1-8x}+\sqrt{8x-1}+\frac{1}{2}$，得$y=0+0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
接下来化简待求代数式：
利用完全平方公式对根号内通分变形：
$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2=\frac{x^2+2xy+y^2}{xy}=\frac{(x+y)^2}{xy}$
$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{x^2-2xy+y^2}{xy}=\frac{(x-y)^2}{xy}$
因此原式可改写为：
$\sqrt{\frac{(x+y)^2}{xy}}-\sqrt{\frac{(x-y)^2}{xy}}=\frac{|x+y|}{\sqrt{xy}}-\frac{|x-y|}{\sqrt{xy}}$
由$x=\frac{1}{8}＞0$，$y=\frac{1}{2}＞0$，可知$x+y＞0$，$x-y=\frac{1}{8}-\frac{1}{2}=-\frac{3}{8}＜0$，且$xy=\frac{1}{8}×\frac{1}{2}=\frac{1}{16}$，$\sqrt{xy}=\frac{1}{4}$。
去掉绝对值得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x+y}{\frac{1}{4}}-\frac{y-x}{\frac{1}{4}}\\&=4(x+y)-4(y-x)\\&=4x+4y-4y+4x\\&=8x\end{aligned}$
代入$x=\frac{1}{8}$，得$8×\frac{1}{8}=1$。
【答案】
1
【知识点】
二次根式有意义的条件，完全平方公式，二次根式化简
【点评】
本题考查二次根式的性质与运算，解题核心是先通过二次根式的取值范围确定x、y的具体值，再利用公式对所求式子变形简化计算，避免直接代入的繁琐运算。
【难度系数】
0.7
14. 已知观察者登山时的可见水平距离$d$（单位：km）与观察高度$h$（单位：m）之间存在近似关系$d = 3.57\sqrt{h}$。某一登山者从观察高度为$n\ \mathrm{m}$的山腰登上观察高度为$3n\ \mathrm{m}$的山顶，那么此时的可见水平距离是原来的多少倍？
答案
14. $\sqrt{3}$倍
解析
【分析】
解题时首先明确要求的是现在可见水平距离是原来的多少倍，本质是求两个距离的比值。我们可以先根据题目给出的$d$与$h$的关系式，分别写出观察高度为$n$和$3n$时对应的可见水平距离，再将两者作比，利用二次根式的运算性质化简即可得到结果，运算过程中相同的常数系数可以直接约去，不用计算具体数值，能简化计算步骤。
【解析】
解：设观察高度为$n\ \mathrm{m}$时的可见水平距离为$d_1$，观察高度为$3n\ \mathrm{m}$时的可见水平距离为$d_2$。
根据公式$d = 3.57\sqrt{h}$可得：
$d_1=3.57\sqrt{n}$
$d_2=3.57\sqrt{3n}$
则倍数为：
$\frac{d_2}{d_1}=\frac{3.57\sqrt{3n}}{3.57\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{3}·\sqrt{n}}{\sqrt{n}}=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$倍
【知识点】
二次根式化简，代数式求值
【点评】
本题结合生活实际考查二次根式的相关运算，解题核心是明确求倍数用除法，代入公式后注意相同系数可以直接约去，无需计算具体数值，能够有效降低运算量。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确要求的是现在可见水平距离是原来的多少倍，本质是求两个距离的比值。我们可以先根据题目给出的$d$与$h$的关系式，分别写出观察高度为$n$和$3n$时对应的可见水平距离，再将两者作比，利用二次根式的运算性质化简即可得到结果，运算过程中相同的常数系数可以直接约去，不用计算具体数值，能简化计算步骤。
【解析】
解：设观察高度为$n\ \mathrm{m}$时的可见水平距离为$d_1$，观察高度为$3n\ \mathrm{m}$时的可见水平距离为$d_2$。
根据公式$d = 3.57\sqrt{h}$可得：
$d_1=3.57\sqrt{n}$
$d_2=3.57\sqrt{3n}$
则倍数为：
$\frac{d_2}{d_1}=\frac{3.57\sqrt{3n}}{3.57\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{3}·\sqrt{n}}{\sqrt{n}}=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$倍
【知识点】
二次根式化简，代数式求值
【点评】
本题结合生活实际考查二次根式的相关运算，解题核心是明确求倍数用除法，代入公式后注意相同系数可以直接约去，无需计算具体数值，能够有效降低运算量。
【难度系数】
0.8
