15. 观察下列计算过程：
$\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)×(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}-1;$
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})×(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2};$
$\frac{1}{\sqrt{5}+2}=\frac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5}+2)×(\sqrt{5}-2)}=\sqrt{5}-2.$
根据上述方法计算：
(1) $\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$；
(2) $\frac{1}{3\sqrt{2}+\sqrt{17}}$；
(3) $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$（$n$为正整数）。

15. (1) $\sqrt{7}-\sqrt{6}$ (2) $3\sqrt{2}-\sqrt{17}$ (3) $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$

【分析】
观察给出的运算示例，可知解题核心是利用平方差公式进行分母有理化：对于分母为两个含根号的式子之和的分式，给分子、分母同时乘分母的有理化因式（即将分母两项之间的加号改为减号得到的式子），可将分母化为整数，进而完成化简。各小问的求解思路如下：
(1) 分母为$\sqrt{7}+\sqrt{6}$，有理化因式为$\sqrt{7}-\sqrt{6}$，乘后分母可化简为1，直接得到结果；
(2) 分母为$3\sqrt{2}+\sqrt{17}$，有理化因式为$3\sqrt{2}-\sqrt{17}$，计算得分母化简为1，即可得出结果；
(3) 对于通用形式$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$，有理化因式为$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，分母化简后为1，即可得到通用化简结果。
【解析】
(1) $\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{(\sqrt{7}+\sqrt{6})(\sqrt{7}-\sqrt{6})}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{6})^2}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{7-6}=\sqrt{7}-\sqrt{6}$
(2) $\frac{1}{3\sqrt{2}+\sqrt{17}}=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{17}}{(3\sqrt{2}+\sqrt{17})(3\sqrt{2}-\sqrt{17})}=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{17}}{(3\sqrt{2})^2-(\sqrt{17})^2}=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{17}}{18-17}=3\sqrt{2}-\sqrt{17}$
(3) $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1})^2-(\sqrt{n})^2}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(n+1)-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
【答案】
(1) $\sqrt{7}-\sqrt{6}$ (2) $3\sqrt{2}-\sqrt{17}$ (3) $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
【知识点】
分母有理化，平方差公式，二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，通过示例引导学生掌握分母有理化的常用方法，解题关键是准确构造有理化因式，利用平方差公式消去分母中的根号，掌握该规律后可快速解决同类化简问题。
【难度系数】
0.8