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1. 若 $ x = 1 $ 是方程 $ x^2 + kx + k - 5 = 0 $ 的一个根，则该方程的另一个根为
-3
.答案
-3
解析
【分析】
本题可根据一元二次方程根的定义求解：首先，方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此将已知根x=1代入原方程，可求出参数k的值；再将k代回原方程得到完整的一元二次方程，求解该方程后排除已知的x=1，即可得到另一个根。
【解析】
第一步：将x=1代入方程$x^2 + kx + k - 5 = 0$，得：
$1^2 + k×1 + k - 5 = 0$
化简得：$1 + 2k - 5 = 0$，即$2k = 4$，解得$k=2$。
第二步：把$k=2$代入原方程，得：
$x^2 + 2x + 2 - 5 = 0$，整理得$x^2 + 2x - 3 = 0$。
第三步：因式分解解方程，得：
$(x + 3)(x - 1) = 0$
所以$x_1 = 1$，$x_2 = -3$，因此方程的另一个根为-3。
【答案】
-3
【知识点】
一元二次方程根的定义；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，解题核心是利用方程根的定义先求出未知参数的值，再求解方程得到剩余的根，熟练掌握根的定义和一元二次方程的解法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
本题可根据一元二次方程根的定义求解：首先，方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此将已知根x=1代入原方程，可求出参数k的值；再将k代回原方程得到完整的一元二次方程，求解该方程后排除已知的x=1，即可得到另一个根。
【解析】
第一步：将x=1代入方程$x^2 + kx + k - 5 = 0$，得：
$1^2 + k×1 + k - 5 = 0$
化简得：$1 + 2k - 5 = 0$，即$2k = 4$，解得$k=2$。
第二步：把$k=2$代入原方程，得：
$x^2 + 2x + 2 - 5 = 0$，整理得$x^2 + 2x - 3 = 0$。
第三步：因式分解解方程，得：
$(x + 3)(x - 1) = 0$
所以$x_1 = 1$，$x_2 = -3$，因此方程的另一个根为-3。
【答案】
-3
【知识点】
一元二次方程根的定义；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，解题核心是利用方程根的定义先求出未知参数的值，再求解方程得到剩余的根，熟练掌握根的定义和一元二次方程的解法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
2. 若$x_1$，$x_2$是关于$x$的方程$3x^2 - 19x + m = 0$的两实数根，且$x_1 = \dfrac{m}{3}$，则$m =$
0或16
.答案
0或16
解析
【分析】
本题是一元二次方程根的相关求值题，解题思路如下：①首先明确一元二次方程根的定义：若一个数是方程的根，将其代入方程后等式成立；②已知$x_1=\frac{m}{3}$是方程的根，可直接将其代入原方程，得到关于$m$的方程，求解得到$m$的可能取值；③结合题目给出的“方程有两实数根”的条件，验证所得$m$对应的方程判别式是否大于等于0，确认解的合理性。也可利用根与系数的关系求解，两种方法均可得到正确结果。
【解析】
∵$x_1$是方程$3x^2 - 19x + m = 0$的实数根，且$x_1=\frac{m}{3}$
∴将$x=\frac{m}{3}$代入原方程，得：
$3×(\dfrac{m}{3})^2 - 19×\dfrac{m}{3} + m = 0$
化简得：
$\dfrac{m^2}{3} - \dfrac{19m}{3} + \dfrac{3m}{3} = 0$
两边同乘3消去分母：
$m^2 - 19m + 3m = 0$
整理得：
$m^2 - 16m = 0$
因式分解得：
$m(m-16)=0$
解得$m=0$或$m=16$。
验证判别式：原方程判别式$\Delta=(-19)^2-4×3× m=361-12m$
当$m=0$时，$\Delta=361＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合题意；
当$m=16$时，$\Delta=361-12×16=169＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合题意。
【答案】
0或16
【知识点】
一元二次方程根的定义；根的判别式；因式分解解方程
【点评】
本题属于一元二次方程基础应用题，解题核心是掌握“方程的根代入方程等式成立”的性质，求解后要注意结合题干给出的根的限制条件验证结果，避免出现多解错漏的问题。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程根的相关求值题，解题思路如下：①首先明确一元二次方程根的定义：若一个数是方程的根，将其代入方程后等式成立；②已知$x_1=\frac{m}{3}$是方程的根，可直接将其代入原方程，得到关于$m$的方程，求解得到$m$的可能取值；③结合题目给出的“方程有两实数根”的条件，验证所得$m$对应的方程判别式是否大于等于0，确认解的合理性。也可利用根与系数的关系求解，两种方法均可得到正确结果。
【解析】
∵$x_1$是方程$3x^2 - 19x + m = 0$的实数根，且$x_1=\frac{m}{3}$
∴将$x=\frac{m}{3}$代入原方程，得：
$3×(\dfrac{m}{3})^2 - 19×\dfrac{m}{3} + m = 0$
化简得：
$\dfrac{m^2}{3} - \dfrac{19m}{3} + \dfrac{3m}{3} = 0$
两边同乘3消去分母：
$m^2 - 19m + 3m = 0$
整理得：
$m^2 - 16m = 0$
因式分解得：
$m(m-16)=0$
解得$m=0$或$m=16$。
验证判别式：原方程判别式$\Delta=(-19)^2-4×3× m=361-12m$
当$m=0$时，$\Delta=361＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合题意；
当$m=16$时，$\Delta=361-12×16=169＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合题意。
【答案】
0或16
【知识点】
一元二次方程根的定义；根的判别式；因式分解解方程
【点评】
本题属于一元二次方程基础应用题，解题核心是掌握“方程的根代入方程等式成立”的性质，求解后要注意结合题干给出的根的限制条件验证结果，避免出现多解错漏的问题。
【难度系数】
0.7
3. 若$ a $是方程$ x^2 - 2x - 1 = 0 $的根，则代数式$ 2025 + 4a - 2a^2 $的值为________。
答案
2023
解析
【分析】
首先根据一元二次方程根的定义，方程的根代入方程后等式成立，因此将a代入已知方程可得到关于a的等式，整理得到$a^2-2a$的值；再观察所求代数式的结构，将代数式变形为含有$a^2-2a$的形式，最后采用整体代入法计算即可得到结果，不需要求解a的具体数值，能简化计算过程。
【解析】
∵ $a$是方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的根，
∴ 将$x=a$代入方程得：$a^2 - 2a - 1 = 0$，
整理得：$a^2 - 2a = 1$。
对代数式$2025 + 4a - 2a^2$变形：
$2025 + 4a - 2a^2 = 2025 - 2(a^2 - 2a)$
将$a^2 - 2a = 1$代入上式：
原式$= 2025 - 2×1 = 2025 - 2 = 2023$。
【答案】
2023
【知识点】
一元二次方程的根的定义，整体代入求值
【点评】
本题考查一元二次方程根的性质与代数式求值的结合，解题关键是通过观察代数式的结构，运用整体代入的思想避免求解参数的具体值，简化运算，是代数求值类的典型题型。
【难度系数】
0.8
首先根据一元二次方程根的定义，方程的根代入方程后等式成立，因此将a代入已知方程可得到关于a的等式，整理得到$a^2-2a$的值；再观察所求代数式的结构，将代数式变形为含有$a^2-2a$的形式，最后采用整体代入法计算即可得到结果，不需要求解a的具体数值，能简化计算过程。
【解析】
∵ $a$是方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的根，
∴ 将$x=a$代入方程得：$a^2 - 2a - 1 = 0$，
整理得：$a^2 - 2a = 1$。
对代数式$2025 + 4a - 2a^2$变形：
$2025 + 4a - 2a^2 = 2025 - 2(a^2 - 2a)$
将$a^2 - 2a = 1$代入上式：
原式$= 2025 - 2×1 = 2025 - 2 = 2023$。
【答案】
2023
【知识点】
一元二次方程的根的定义，整体代入求值
【点评】
本题考查一元二次方程根的性质与代数式求值的结合，解题关键是通过观察代数式的结构，运用整体代入的思想避免求解参数的具体值，简化运算，是代数求值类的典型题型。
【难度系数】
0.8
4. 关于$x$的一元二次方程$x^2 - x + a(1 - a) = 0$有两个不相等的正实数根，则$a$可取值为________.(填一个即可)
答案
答案不唯一.如：$\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】要解决这个问题，需结合一元二次方程根的特征拆分条件：首先方程有两个不相等的实数根，需满足判别式大于0；其次两根都是正实数，需满足两根之和为正、两根之积为正。分别计算每个条件对应的a的取值范围，取交集后即可得到a的可选区间，在区间内任取一个值即可。
【解析】对于一元二次方程$x^2 - x + a(1-a) = 0$，二次项系数为1，一次项系数为-1，常数项为$a(1-a)$。
1. 由方程有两个不相等的实数根，得判别式$\Delta＞0$：
$\Delta = (-1)^2 - 4×1× a(1-a) = 1 -4a +4a^2 = (2a-1)^2 ＞ 0$
解得$a ≠ \frac{1}{2}$。
2. 由两根为正实数，根据根与系数的关系：
两根之和$x_1+x_2 = 1 ＞ 0$，天然满足条件；
两根之积$x_1x_2 = a(1-a) ＞ 0$，即$a(a-1) ＜ 0$，解得$0 ＜ a ＜ 1$。
3. 综合可得a的取值范围为$0 ＜ a ＜ 1$且$a ≠ \frac{1}{2}$，在此范围内任取一个值即可，例如$\frac{1}{3}$。
【答案】答案不唯一，如：$\dfrac{1}{3}$
【知识点】根的判别式；根与系数的关系；解不等式
【点评】本题考查一元二次方程根的分布问题，解题时需要根据“两个不相等”“正根”的要求拆解出所有约束条件，不要遗漏判别式的限制，最后取值时只要在符合要求的区间内即可。
【难度系数】0.7
【解析】对于一元二次方程$x^2 - x + a(1-a) = 0$，二次项系数为1，一次项系数为-1，常数项为$a(1-a)$。
1. 由方程有两个不相等的实数根，得判别式$\Delta＞0$：
$\Delta = (-1)^2 - 4×1× a(1-a) = 1 -4a +4a^2 = (2a-1)^2 ＞ 0$
解得$a ≠ \frac{1}{2}$。
2. 由两根为正实数，根据根与系数的关系：
两根之和$x_1+x_2 = 1 ＞ 0$，天然满足条件；
两根之积$x_1x_2 = a(1-a) ＞ 0$，即$a(a-1) ＜ 0$，解得$0 ＜ a ＜ 1$。
3. 综合可得a的取值范围为$0 ＜ a ＜ 1$且$a ≠ \frac{1}{2}$，在此范围内任取一个值即可，例如$\frac{1}{3}$。
【答案】答案不唯一，如：$\dfrac{1}{3}$
【知识点】根的判别式；根与系数的关系；解不等式
【点评】本题考查一元二次方程根的分布问题，解题时需要根据“两个不相等”“正根”的要求拆解出所有约束条件，不要遗漏判别式的限制，最后取值时只要在符合要求的区间内即可。
【难度系数】0.7
5. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $(m+3)x^2 + 5x + m^2 + 2m - 3 = 0$ 有一个实数根为0，则 $ m = $
1
，另一个实数根为 $-\dfrac{5}{4}$
.答案
1，$-\dfrac{5}{4}$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先明确一元二次方程的前提条件是二次项系数不为0，因此先得到$m ≠ -3$的限制；第二步，根据方程根的定义，将已知根$x=0$代入原方程，得到关于$m$的方程，求解出$m$的可能值后，结合第一步的限制条件筛选出正确的$m$；第三步，将求出的$m$代入原方程，解一元二次方程即可得到另一个根，也可通过根与系数的关系快速求另一个根。
【解析】
解：$\because$ 该方程是关于$x$的一元二次方程
$\therefore$ 二次项系数$m+3 ≠ 0$，即$m ≠ -3$
将$x=0$代入原方程，得：
$m^2 + 2m - 3 = 0$
因式分解得：$(m+3)(m-1)=0$
解得$m_1=-3$，$m_2=1$
结合$m ≠ -3$的限制，可得$m=1$
将$m=1$代入原方程，整理得：
$4x^2 +5x = 0$
提取公因式$x$得：$x(4x+5)=0$
解得$x_1=0$，$x_2=-\dfrac{5}{4}$
即另一个实数根为$-\dfrac{5}{4}$
【答案】
$1$，$-\dfrac{5}{4}$
【知识点】
一元二次方程的定义、方程根的定义、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础常考题，重点考查一元二次方程的基本概念的应用，易错点是求解参数$m$时容易忽略二次项系数不为0的限制，导致多解错误，解题时要先明确参数的取值范围，再进行后续计算。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，先明确一元二次方程的前提条件是二次项系数不为0，因此先得到$m ≠ -3$的限制；第二步，根据方程根的定义，将已知根$x=0$代入原方程，得到关于$m$的方程，求解出$m$的可能值后，结合第一步的限制条件筛选出正确的$m$；第三步，将求出的$m$代入原方程，解一元二次方程即可得到另一个根，也可通过根与系数的关系快速求另一个根。
【解析】
解：$\because$ 该方程是关于$x$的一元二次方程
$\therefore$ 二次项系数$m+3 ≠ 0$，即$m ≠ -3$
将$x=0$代入原方程，得：
$m^2 + 2m - 3 = 0$
因式分解得：$(m+3)(m-1)=0$
解得$m_1=-3$，$m_2=1$
结合$m ≠ -3$的限制，可得$m=1$
将$m=1$代入原方程，整理得：
$4x^2 +5x = 0$
提取公因式$x$得：$x(4x+5)=0$
解得$x_1=0$，$x_2=-\dfrac{5}{4}$
即另一个实数根为$-\dfrac{5}{4}$
【答案】
$1$，$-\dfrac{5}{4}$
【知识点】
一元二次方程的定义、方程根的定义、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础常考题，重点考查一元二次方程的基本概念的应用，易错点是求解参数$m$时容易忽略二次项系数不为0的限制，导致多解错误，解题时要先明确参数的取值范围，再进行后续计算。
【难度系数】
0.7
6. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $(a - 1)x^2 + x + |a| - 1 = 0$ 的一个根为 0，则实数 $ a $ 的值为（
A.$-1$
B.$1$
C.$0$
D.$\pm 1$
A
）.A.$-1$
B.$1$
C.$0$
D.$\pm 1$
答案
A
解析
【分析】
解题需结合两个条件推导：①已知x=0是方程的根，根据方程根的定义，将x=0代入原方程，等式成立，可求出a的初步取值；②题目明确该方程是一元二次方程，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，据此排除不符合要求的a值，即可得到最终结果。
【解析】
第一步，将根x=0代入原方程：
把x=0代入$(a - 1)x^2 + x + |a| - 1 = 0$，得：
$(a-1)×0^2 + 0 + |a| -1 = 0$
化简得$|a| - 1 = 0$，解得$a=1$或$a=-1$。
第二步，根据一元二次方程的定义判断：
一元二次方程要求二次项系数不为0，即$a-1≠0$，得$a≠1$。
综上，a只能取-1。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接根据根的计算结果误选D，解题时要注意审清题目条件，不要遗漏限制要求。
【难度系数】
0.7
解题需结合两个条件推导：①已知x=0是方程的根，根据方程根的定义，将x=0代入原方程，等式成立，可求出a的初步取值；②题目明确该方程是一元二次方程，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，据此排除不符合要求的a值，即可得到最终结果。
【解析】
第一步，将根x=0代入原方程：
把x=0代入$(a - 1)x^2 + x + |a| - 1 = 0$，得：
$(a-1)×0^2 + 0 + |a| -1 = 0$
化简得$|a| - 1 = 0$，解得$a=1$或$a=-1$。
第二步，根据一元二次方程的定义判断：
一元二次方程要求二次项系数不为0，即$a-1≠0$，得$a≠1$。
综上，a只能取-1。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接根据根的计算结果误选D，解题时要注意审清题目条件，不要遗漏限制要求。
【难度系数】
0.7
7. 生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件.设全组有x名同学，则根据题意列出的方程是(
A.$ x(x + 1) = 182 $
B.$ x(x - 1) = 182 $
C.$ 2x(x + 1) = 182 $
D.$ x(x - 1) = 182 × 2 $
B
).A.$ x(x + 1) = 182 $
B.$ x(x - 1) = 182 $
C.$ 2x(x + 1) = 182 $
D.$ x(x - 1) = 182 × 2 $
答案
B
解析
【分析】
解题时先明确互赠的规则：每名同学只需向除自己之外的其他成员赠送标本，不用给自己送。首先计算单个同学的赠送数量，再结合总人数计算总赠送量，进而列出方程。要注意互赠是双向行为，甲赠乙和乙赠甲是两个独立的赠送行为，不需要除以2，避免和握手类单向计数的问题混淆。
【解析】
解：设全组有x名同学。
每名同学不需要给自己赠送标本，因此每名同学需向其余$(x-1)$名成员各赠送1件标本，即每名同学赠出$(x-1)$件标本。
全组共有x名同学，因此全组互赠的总标本数为$x(x-1)$件。
已知全组共互赠182件，可列方程：$x(x-1)=182$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的实际应用、列代数式
【点评】
本题是典型的互赠类应用题，解题核心是准确梳理单个主体的赠送数量，区分互赠类双向计数和握手类单向计数的计算差异，避免混淆公式导致出错。
【难度系数】
0.8
解题时先明确互赠的规则：每名同学只需向除自己之外的其他成员赠送标本，不用给自己送。首先计算单个同学的赠送数量，再结合总人数计算总赠送量，进而列出方程。要注意互赠是双向行为，甲赠乙和乙赠甲是两个独立的赠送行为，不需要除以2，避免和握手类单向计数的问题混淆。
【解析】
解：设全组有x名同学。
每名同学不需要给自己赠送标本，因此每名同学需向其余$(x-1)$名成员各赠送1件标本，即每名同学赠出$(x-1)$件标本。
全组共有x名同学，因此全组互赠的总标本数为$x(x-1)$件。
已知全组共互赠182件，可列方程：$x(x-1)=182$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的实际应用、列代数式
【点评】
本题是典型的互赠类应用题，解题核心是准确梳理单个主体的赠送数量，区分互赠类双向计数和握手类单向计数的计算差异，避免混淆公式导致出错。
【难度系数】
0.8
8. 用配方法解方程 $2x^2 - x - 1 = 0$ 时，配方正确的是（
A.$(x - \dfrac{1}{4})^2 = \dfrac{9}{16}$
B.$(x + \dfrac{1}{4})^2 = \dfrac{9}{16}$
C.$(x - \dfrac{1}{2})^2 = \dfrac{5}{4}$
D.$(x + \dfrac{1}{2})^2 = \dfrac{5}{4}$
A
）。A.$(x - \dfrac{1}{4})^2 = \dfrac{9}{16}$
B.$(x + \dfrac{1}{4})^2 = \dfrac{9}{16}$
C.$(x - \dfrac{1}{2})^2 = \dfrac{5}{4}$
D.$(x + \dfrac{1}{2})^2 = \dfrac{5}{4}$
答案
A
解析
【分析】
解本题需先明确配方法解一元二次方程的标准步骤：首先将二次项系数化为1，再把常数项移到等号右侧，最后在等号两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式，计算右侧常数后即可匹配正确选项。
【解析】
用配方法解方程$2x^2 - x - 1 = 0$，步骤如下：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以2，得$x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = 0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}$；
3. 配方：一次项系数为$-\frac{1}{2}$，其一半为$-\frac{1}{4}$，平方为$\frac{1}{16}$，等号两边同时加$\frac{1}{16}$：
左边可整理为完全平方式：$x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = (x - \frac{1}{4})^2$
右边计算得：$\frac{1}{2} + \frac{1}{16} = \frac{8}{16} + \frac{1}{16} = \frac{9}{16}$
因此配方结果为$(x - \frac{1}{4})^2 = \frac{9}{16}$。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程
【点评】
本题是配方法的基础应用题，解题时要注意二次项系数不为1时需先化为1，同时要留意一次项系数的符号，避免完全平方式的符号出错。
【难度系数】
0.75
解本题需先明确配方法解一元二次方程的标准步骤：首先将二次项系数化为1，再把常数项移到等号右侧，最后在等号两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式，计算右侧常数后即可匹配正确选项。
【解析】
用配方法解方程$2x^2 - x - 1 = 0$，步骤如下：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以2，得$x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = 0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}$；
3. 配方：一次项系数为$-\frac{1}{2}$，其一半为$-\frac{1}{4}$，平方为$\frac{1}{16}$，等号两边同时加$\frac{1}{16}$：
左边可整理为完全平方式：$x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = (x - \frac{1}{4})^2$
右边计算得：$\frac{1}{2} + \frac{1}{16} = \frac{8}{16} + \frac{1}{16} = \frac{9}{16}$
因此配方结果为$(x - \frac{1}{4})^2 = \frac{9}{16}$。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程
【点评】
本题是配方法的基础应用题，解题时要注意二次项系数不为1时需先化为1，同时要留意一次项系数的符号，避免完全平方式的符号出错。
【难度系数】
0.75
9. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 - bx - c = 0(a ≠ 0) $ 有两个实数根,则(
A.$ b^2 - 4ac ≥ 0 $
B.$ b^2 - 4ac ＞ 0 $
C.$ b^2 + 4ac ≥ 0 $
D.$ b^2 + 4ac ＞ 0 $
C
).A.$ b^2 - 4ac ≥ 0 $
B.$ b^2 - 4ac ＞ 0 $
C.$ b^2 + 4ac ≥ 0 $
D.$ b^2 + 4ac ＞ 0 $
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的判别式的相关知识：第一步，明确一元二次方程的一般形式、根的判别式公式，以及判别式取值和根的个数的对应关系：对于一般形式$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，判别式$\Delta=B^2-4AC$，当$\Delta≥0$时，方程有两个实数根（包含两个相等、两个不等的实数根两种情况）；第二步，将题目给出的方程和一般形式逐一对应，准确找出A、B、C的取值，重点注意各项的符号；第三步，把系数代入判别式化简，结合“有两个实数根”的条件列不等式，整理后即可选出正确选项。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，其根的判别式为$\Delta=B^2-4AC$，判别式和根的个数对应关系如下：
1. 当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
2. 当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
因此方程有两个实数根时，满足$\Delta≥0$。
将题干中的方程$ax^2 - bx - c=0(a≠0)$与一般形式对应可得：
二次项系数$A=a$，一次项系数$B=-b$，常数项$C=-c$。
代入判别式公式计算：
$\Delta=(-b)^2 - 4× a× (-c)=b^2 + 4ac$
因为方程有两个实数根，所以$\Delta≥0$，即$b^2 + 4ac≥0$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 判别式与根的个数关系
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查根的判别式的使用方法，易错点有两个：一是忽略一次项系数、常数项的符号，误将判别式算成$b^2-4ac$；二是忽略“两个实数根”包含两个相等的情况，误选带大于号的选项，做题时要仔细核对系数符号和根的个数对应的判别式范围。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的判别式的相关知识：第一步，明确一元二次方程的一般形式、根的判别式公式，以及判别式取值和根的个数的对应关系：对于一般形式$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，判别式$\Delta=B^2-4AC$，当$\Delta≥0$时，方程有两个实数根（包含两个相等、两个不等的实数根两种情况）；第二步，将题目给出的方程和一般形式逐一对应，准确找出A、B、C的取值，重点注意各项的符号；第三步，把系数代入判别式化简，结合“有两个实数根”的条件列不等式，整理后即可选出正确选项。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，其根的判别式为$\Delta=B^2-4AC$，判别式和根的个数对应关系如下：
1. 当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
2. 当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
因此方程有两个实数根时，满足$\Delta≥0$。
将题干中的方程$ax^2 - bx - c=0(a≠0)$与一般形式对应可得：
二次项系数$A=a$，一次项系数$B=-b$，常数项$C=-c$。
代入判别式公式计算：
$\Delta=(-b)^2 - 4× a× (-c)=b^2 + 4ac$
因为方程有两个实数根，所以$\Delta≥0$，即$b^2 + 4ac≥0$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 判别式与根的个数关系
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查根的判别式的使用方法，易错点有两个：一是忽略一次项系数、常数项的符号，误将判别式算成$b^2-4ac$；二是忽略“两个实数根”包含两个相等的情况，误选带大于号的选项，做题时要仔细核对系数符号和根的个数对应的判别式范围。
【难度系数】
0.7
10. 整式$x+1$与$x-4$的积为$x^2 - 3x - 4$，则一元二次方程$x^2 - 3x - 4 = 0$的根是（
A.$x_1 = -1$，$x_2 = -4$
B.$x_1 = -1$，$x_2 = 4$
C.$x_1 = 1$，$x_2 = 4$
D.$x_1 = 1$，$x_2 = -4$
B
）.A.$x_1 = -1$，$x_2 = -4$
B.$x_1 = -1$，$x_2 = 4$
C.$x_1 = 1$，$x_2 = 4$
D.$x_1 = 1$，$x_2 = -4$
答案
B
解析
【分析】
本题可利用因式分解法求解一元二次方程。首先题目已经明确给出二次三项式$x^2-3x-4$可以分解为$(x+1)(x-4)$，我们可以直接利用这个分解结果，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的根。
【解析】
已知整式$x+1$与$x-4$的积为$x^2 - 3x - 4$，即$x^2 - 3x - 4=(x+1)(x-4)$，
因此一元二次方程$x^2 - 3x - 4 = 0$可变形为：
$(x+1)(x-4)=0$
根据乘法的性质，若两个数的乘积为0，则其中至少一个数为0，可得：
$x+1=0$ 或 $x-4=0$
分别解这两个一元一次方程：
当$x+1=0$时，解得$x=-1$；
当$x-4=0$时，解得$x=4$。
所以方程的根为$x_1=-1$，$x_2=4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、因式分解的应用、一元二次方程的根
【点评】
本题是基础题型，解题核心是灵活运用题目给出的因式分解结果，将二次方程降次转化为熟悉的一元一次方程求解，只要掌握因式分解法解方程的基本原理就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题可利用因式分解法求解一元二次方程。首先题目已经明确给出二次三项式$x^2-3x-4$可以分解为$(x+1)(x-4)$，我们可以直接利用这个分解结果，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的根。
【解析】
已知整式$x+1$与$x-4$的积为$x^2 - 3x - 4$，即$x^2 - 3x - 4=(x+1)(x-4)$，
因此一元二次方程$x^2 - 3x - 4 = 0$可变形为：
$(x+1)(x-4)=0$
根据乘法的性质，若两个数的乘积为0，则其中至少一个数为0，可得：
$x+1=0$ 或 $x-4=0$
分别解这两个一元一次方程：
当$x+1=0$时，解得$x=-1$；
当$x-4=0$时，解得$x=4$。
所以方程的根为$x_1=-1$，$x_2=4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、因式分解的应用、一元二次方程的根
【点评】
本题是基础题型，解题核心是灵活运用题目给出的因式分解结果，将二次方程降次转化为熟悉的一元一次方程求解，只要掌握因式分解法解方程的基本原理就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
