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1. 计算：(1)$\sqrt{12} ÷ \sqrt{27} × \sqrt{18} = \_\_\_\_\_\_$；
(2)$3\sqrt{48} - 4\sqrt{27} ÷ 2\sqrt{3} = \_\_\_\_\_\_$.
(2)$3\sqrt{48} - 4\sqrt{27} ÷ 2\sqrt{3} = \_\_\_\_\_\_$.
答案
1.(1)$2\sqrt{2}$ (2)$12\sqrt{3}-6$
解析
【分析】
这两道题考查二次根式的运算，解题思路如下：（1）属于二次根式的同级乘除运算，可遵循两个思路：一是先将每个二次根式化为最简二次根式，再按从左到右的顺序分别计算系数和根号部分；二是利用二次根式乘除法则，先将被开方数统一进行乘除运算，再将结果化为最简二次根式。（2）属于二次根式的混合运算，遵循先乘除后加减的运算顺序：先计算除法部分，再化简减法两侧的项，最后合并得到结果。
【解析】
(1) 利用二次根式乘除法则计算：
原式$=\sqrt{12 ÷ 27 × 18} = \sqrt{\frac{12 × 18}{27}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
(2) 按先乘除后加减的顺序计算：
第一步：先计算除法部分：
$4\sqrt{27} ÷ 2\sqrt{3} = (4÷2) × (\sqrt{27}÷\sqrt{3}) = 2 × \sqrt{9} = 2×3=6$
第二步：化简$3\sqrt{48}$：
$3\sqrt{48}=3×4\sqrt{3}=12\sqrt{3}$
第三步：计算减法得：
原式$=12\sqrt{3} - 6$
【答案】
(1)$2\sqrt{2}$；(2)$12\sqrt{3}-6$
【知识点】
二次根式乘除运算，最简二次根式，二次根式混合运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题的核心是熟练掌握二次根式的运算法则，运算时注意遵守运算顺序，化简二次根式时要确保结果为最简形式，避免系数计算失误。
【难度系数】
0.8
这两道题考查二次根式的运算，解题思路如下：（1）属于二次根式的同级乘除运算，可遵循两个思路：一是先将每个二次根式化为最简二次根式，再按从左到右的顺序分别计算系数和根号部分；二是利用二次根式乘除法则，先将被开方数统一进行乘除运算，再将结果化为最简二次根式。（2）属于二次根式的混合运算，遵循先乘除后加减的运算顺序：先计算除法部分，再化简减法两侧的项，最后合并得到结果。
【解析】
(1) 利用二次根式乘除法则计算：
原式$=\sqrt{12 ÷ 27 × 18} = \sqrt{\frac{12 × 18}{27}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
(2) 按先乘除后加减的顺序计算：
第一步：先计算除法部分：
$4\sqrt{27} ÷ 2\sqrt{3} = (4÷2) × (\sqrt{27}÷\sqrt{3}) = 2 × \sqrt{9} = 2×3=6$
第二步：化简$3\sqrt{48}$：
$3\sqrt{48}=3×4\sqrt{3}=12\sqrt{3}$
第三步：计算减法得：
原式$=12\sqrt{3} - 6$
【答案】
(1)$2\sqrt{2}$；(2)$12\sqrt{3}-6$
【知识点】
二次根式乘除运算，最简二次根式，二次根式混合运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题的核心是熟练掌握二次根式的运算法则，运算时注意遵守运算顺序，化简二次根式时要确保结果为最简形式，避免系数计算失误。
【难度系数】
0.8
2. 使二次根式$\sqrt{4x - 2}$不是最简二次根式的整数$x$的最小值为________.
答案
2. 5
解析
【分析】
首先明确最简二次根式的判定条件：一是被开方数的因数为整数、因式为整式；二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式。要使$\sqrt{4x-2}$不是最简二次根式，说明被开方数$4x-2$含有大于1的能开得尽方的因数。首先根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围：$4x-2≥0$，即$x≥0.5$，因此x可从最小正整数1开始验证。又因为$4x-2=2(2x-1)$，$2x-1$是奇数，说明$4x-2$中2的指数仅为1，无法开尽平方，因此能开尽平方的因数只能是奇数的平方，据此可快速找到符合条件的最小x值。
【解析】
步骤1：确定二次根式有意义的条件
要使$\sqrt{4x-2}$有意义，则$4x-2≥0$，解得$x≥0.5$，将x可取的整数从1开始依次验证：
①当$x=1$时，$4x-2=4×1-2=2$，$\sqrt{2}$是最简二次根式，不符合要求；
②当$x=2$时，$4x-2=4×2-2=6$，$\sqrt{6}$是最简二次根式，不符合要求；
③当$x=3$时，$4x-2=4×3-2=10$，$\sqrt{10}$是最简二次根式，不符合要求；
④当$x=4$时，$4x-2=4×4-2=14$，$\sqrt{14}$是最简二次根式，不符合要求；
⑤当$x=5$时，$4x-2=4×5-2=18$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，不是最简二次根式，符合要求。
因此满足条件的整数x的最小值为5。
【答案】
5
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式有意义的条件
【点评】
本题重点考查对最简二次根式概念的理解与应用，解题时可先明确取值范围再逐步验证，也可通过分析被开方数的结构特征缩小验证范围，易错点是忽略被开方数的奇偶性特征，盲目代入小数值导致漏判。
【难度系数】
0.6
首先明确最简二次根式的判定条件：一是被开方数的因数为整数、因式为整式；二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式。要使$\sqrt{4x-2}$不是最简二次根式，说明被开方数$4x-2$含有大于1的能开得尽方的因数。首先根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围：$4x-2≥0$，即$x≥0.5$，因此x可从最小正整数1开始验证。又因为$4x-2=2(2x-1)$，$2x-1$是奇数，说明$4x-2$中2的指数仅为1，无法开尽平方，因此能开尽平方的因数只能是奇数的平方，据此可快速找到符合条件的最小x值。
【解析】
步骤1：确定二次根式有意义的条件
要使$\sqrt{4x-2}$有意义，则$4x-2≥0$，解得$x≥0.5$，将x可取的整数从1开始依次验证：
①当$x=1$时，$4x-2=4×1-2=2$，$\sqrt{2}$是最简二次根式，不符合要求；
②当$x=2$时，$4x-2=4×2-2=6$，$\sqrt{6}$是最简二次根式，不符合要求；
③当$x=3$时，$4x-2=4×3-2=10$，$\sqrt{10}$是最简二次根式，不符合要求；
④当$x=4$时，$4x-2=4×4-2=14$，$\sqrt{14}$是最简二次根式，不符合要求；
⑤当$x=5$时，$4x-2=4×5-2=18$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，不是最简二次根式，符合要求。
因此满足条件的整数x的最小值为5。
【答案】
5
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式有意义的条件
【点评】
本题重点考查对最简二次根式概念的理解与应用，解题时可先明确取值范围再逐步验证，也可通过分析被开方数的结构特征缩小验证范围，易错点是忽略被开方数的奇偶性特征，盲目代入小数值导致漏判。
【难度系数】
0.6
3. 若$\sqrt{x - 2} + y - 4 = \sqrt{4 - 2x}$，则$\sqrt{xy} = \_\_\_\_\_\_$.
答案
3. $2\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先要抓住二次根式有意义的隐含条件：被开方数必须是非负数。据此先列出关于x的不等式组，求出x的取值，再将x的值代入原式求出y的值，最后代入$\sqrt{xy}$计算即可得到结果。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{x-2}$和$\sqrt{4-2x}$有意义，需满足被开方数非负，即：
$\begin{cases}x-2≥0 \\4-2x≥0\end{cases}$
解不等式$x-2≥0$，得$x≥2$；
解不等式$4-2x≥0$，得$x≤2$。
因此$x$只能取$2$。
将$x=2$代入原式$\sqrt{x - 2} + y - 4 = \sqrt{4 - 2x}$，得：
$\sqrt{2-2} + y -4 = \sqrt{4-2×2}$
化简得$0 + y -4 = 0$，解得$y=4$。
将$x=2$，$y=4$代入$\sqrt{xy}$得：
$\sqrt{xy}=\sqrt{2×4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式相关的典型基础题，核心考点是二次根式的隐含限制条件，解题的关键是先根据被开方数非负确定x的唯一取值，再推导y的值，注意不要忽略二次根式的隐含条件导致无法求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要抓住二次根式有意义的隐含条件：被开方数必须是非负数。据此先列出关于x的不等式组，求出x的取值，再将x的值代入原式求出y的值，最后代入$\sqrt{xy}$计算即可得到结果。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{x-2}$和$\sqrt{4-2x}$有意义，需满足被开方数非负，即：
$\begin{cases}x-2≥0 \\4-2x≥0\end{cases}$
解不等式$x-2≥0$，得$x≥2$；
解不等式$4-2x≥0$，得$x≤2$。
因此$x$只能取$2$。
将$x=2$代入原式$\sqrt{x - 2} + y - 4 = \sqrt{4 - 2x}$，得：
$\sqrt{2-2} + y -4 = \sqrt{4-2×2}$
化简得$0 + y -4 = 0$，解得$y=4$。
将$x=2$，$y=4$代入$\sqrt{xy}$得：
$\sqrt{xy}=\sqrt{2×4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式相关的典型基础题，核心考点是二次根式的隐含限制条件，解题的关键是先根据被开方数非负确定x的唯一取值，再推导y的值，注意不要忽略二次根式的隐含条件导致无法求解。
【难度系数】
0.7
4. 若$\sqrt{3}$的整数部分是$a$，小数部分是$b$，则$\sqrt{3}a - b =$
1
.答案
4. 1
解析
【分析】
解决本题的核心是先确定无理数$\sqrt{3}$的整数部分和小数部分。首先用估算法，找到和被开方数3相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{3}$的取值范围，即可得到整数部分$a$；再根据“小数部分=原数-整数部分”求出$b$，最后把$a$、$b$代入所求代数式计算就能得到结果。
【解析】
1. 估算$\sqrt{3}$的取值范围
∵ $1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$
∴ $1＜\sqrt{3}＜2$
2. 确定$a$、$b$的值
由此可得$\sqrt{3}$的整数部分$a=1$，小数部分$b=\sqrt{3}-1$
3. 代入代数式计算
将$a=1$，$b=\sqrt{3}-1$代入$\sqrt{3}a - b$：
$\begin{aligned}\sqrt{3}a - b&=\sqrt{3}×1 - (\sqrt{3}-1)\\&=\sqrt{3}-\sqrt{3}+1\\&=1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
无理数的估算，代数式求值，二次根式运算
【点评】
本题属于基础题，重点考查无理数的大小估算能力，解题的关键是正确区分无理数的整数部分和小数部分，计算时注意去括号的符号规则，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是先确定无理数$\sqrt{3}$的整数部分和小数部分。首先用估算法，找到和被开方数3相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{3}$的取值范围，即可得到整数部分$a$；再根据“小数部分=原数-整数部分”求出$b$，最后把$a$、$b$代入所求代数式计算就能得到结果。
【解析】
1. 估算$\sqrt{3}$的取值范围
∵ $1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$
∴ $1＜\sqrt{3}＜2$
2. 确定$a$、$b$的值
由此可得$\sqrt{3}$的整数部分$a=1$，小数部分$b=\sqrt{3}-1$
3. 代入代数式计算
将$a=1$，$b=\sqrt{3}-1$代入$\sqrt{3}a - b$：
$\begin{aligned}\sqrt{3}a - b&=\sqrt{3}×1 - (\sqrt{3}-1)\\&=\sqrt{3}-\sqrt{3}+1\\&=1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
无理数的估算，代数式求值，二次根式运算
【点评】
本题属于基础题，重点考查无理数的大小估算能力，解题的关键是正确区分无理数的整数部分和小数部分，计算时注意去括号的符号规则，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
5. 若$\sqrt{\dfrac{m}{m - 3}} = \dfrac{\sqrt{m}}{\sqrt{m - 3}}$，则实数$m$的取值范围是$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
5. $m＞3$
解析
【分析】
本题考查二次根式除法运算的成立条件，解题思路如下：首先回忆商的算术平方根的性质：$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立的前提是被开方数的分子非负、分母为正（因为分母不能为0，且二次根式的被开方数需非负）。接下来将题目中的式子对应到性质里的a和b，分别列出不等式求解，最后取两个不等式的公共解集即可得到m的取值范围。
【解析】
要使$\sqrt{\dfrac{m}{m - 3}} = \dfrac{\sqrt{m}}{\sqrt{m - 3}}$成立，需满足二次根式和分式有意义的条件：
1. 分子的被开方数非负：$m≥0$；
2. 分母的被开方数大于0（分母不能为0）：$m-3＞0$，解得$m＞3$。
取两个条件的公共部分，可得$m＞3$。
【答案】
$m＞3$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 分式有意义的条件
3. 二次根式除法性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是牢记二次根式除法法则成立的限制条件，易错点是忽略分母不能为0，错误得到$m≥3$的结论，解题时要格外注意分母的被开方数必须为正数。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式除法运算的成立条件，解题思路如下：首先回忆商的算术平方根的性质：$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立的前提是被开方数的分子非负、分母为正（因为分母不能为0，且二次根式的被开方数需非负）。接下来将题目中的式子对应到性质里的a和b，分别列出不等式求解，最后取两个不等式的公共解集即可得到m的取值范围。
【解析】
要使$\sqrt{\dfrac{m}{m - 3}} = \dfrac{\sqrt{m}}{\sqrt{m - 3}}$成立，需满足二次根式和分式有意义的条件：
1. 分子的被开方数非负：$m≥0$；
2. 分母的被开方数大于0（分母不能为0）：$m-3＞0$，解得$m＞3$。
取两个条件的公共部分，可得$m＞3$。
【答案】
$m＞3$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 分式有意义的条件
3. 二次根式除法性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是牢记二次根式除法法则成立的限制条件，易错点是忽略分母不能为0，错误得到$m≥3$的结论，解题时要格外注意分母的被开方数必须为正数。
【难度系数】
0.7
二、选择题
6. 已知 $ a ＜ b $，化简二次根式 $ \sqrt{-\dfrac{a^3}{b}} $ 的正确结果是（
A.$ -a\sqrt{-\dfrac{a}{b}} $
B.$ -\dfrac{a}{b}\sqrt{-ab} $
C.$ a\sqrt{-\dfrac{a}{b}} $
D.$ \dfrac{a}{b}\sqrt{-ab} $
6. 已知 $ a ＜ b $，化简二次根式 $ \sqrt{-\dfrac{a^3}{b}} $ 的正确结果是（
B
）。A.$ -a\sqrt{-\dfrac{a}{b}} $
B.$ -\dfrac{a}{b}\sqrt{-ab} $
C.$ a\sqrt{-\dfrac{a}{b}} $
D.$ \dfrac{a}{b}\sqrt{-ab} $
答案
6. B
解析
【分析】
解决这道题首先要明确化简二次根式的核心前提：被开方数必须是非负数，且分母不为0。第一步先根据这个要求推导a和b的符号关系，再结合已知$a＜b$确定a、b各自的正负，避免后续去绝对值时符号出错；第二步利用二次根式的性质，将被开方数的分母化为完全平方形式，把能开方的因式分离出来，结合a、b的正负化简绝对值，最终整理得到结果即可。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{-\dfrac{a^3}{b}}$有意义，需满足：
$-\dfrac{a^3}{b}≥0$且$b≠0$，即$\dfrac{a^3}{b}≤0$，可得a、b异号。
结合已知$a＜b$，可推出$a＜0$，$b＞0$。
接下来化简二次根式：
$\begin{aligned}\sqrt{-\dfrac{a^3}{b}}&=\sqrt{\dfrac{-a^3· b}{b· b}}\\&=\sqrt{\dfrac{-a^3b}{b^2}}\\&=\dfrac{\sqrt{a^2·(-ab)}}{\sqrt{b^2}}\end{aligned}$
因为$b＞0$，所以$\sqrt{b^2}=b$；因为$a＜0$，所以$\sqrt{a^2}=|a|=-a$，代入得：
$\dfrac{|a|\sqrt{-ab}}{b}=\dfrac{-a\sqrt{-ab}}{b}=-\dfrac{a}{b}\sqrt{-ab}$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的化简；绝对值的性质
【点评】
本题的易错点是忽略先判断a、b的符号，直接将$\sqrt{a^2}$化简为a导致符号错误，化简二次根式时要牢记开方结果一定是非负的，先确定字母正负再去绝对值，就能避免这类错误。
【难度系数】
0.6
解决这道题首先要明确化简二次根式的核心前提：被开方数必须是非负数，且分母不为0。第一步先根据这个要求推导a和b的符号关系，再结合已知$a＜b$确定a、b各自的正负，避免后续去绝对值时符号出错；第二步利用二次根式的性质，将被开方数的分母化为完全平方形式，把能开方的因式分离出来，结合a、b的正负化简绝对值，最终整理得到结果即可。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{-\dfrac{a^3}{b}}$有意义，需满足：
$-\dfrac{a^3}{b}≥0$且$b≠0$，即$\dfrac{a^3}{b}≤0$，可得a、b异号。
结合已知$a＜b$，可推出$a＜0$，$b＞0$。
接下来化简二次根式：
$\begin{aligned}\sqrt{-\dfrac{a^3}{b}}&=\sqrt{\dfrac{-a^3· b}{b· b}}\\&=\sqrt{\dfrac{-a^3b}{b^2}}\\&=\dfrac{\sqrt{a^2·(-ab)}}{\sqrt{b^2}}\end{aligned}$
因为$b＞0$，所以$\sqrt{b^2}=b$；因为$a＜0$，所以$\sqrt{a^2}=|a|=-a$，代入得：
$\dfrac{|a|\sqrt{-ab}}{b}=\dfrac{-a\sqrt{-ab}}{b}=-\dfrac{a}{b}\sqrt{-ab}$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的化简；绝对值的性质
【点评】
本题的易错点是忽略先判断a、b的符号，直接将$\sqrt{a^2}$化简为a导致符号错误，化简二次根式时要牢记开方结果一定是非负的，先确定字母正负再去绝对值，就能避免这类错误。
【难度系数】
0.6
7. 与$2+\sqrt{11}$最接近的整数是(
A.4
B.5
C.6
D.7
B
).A.4
B.5
C.6
D.7
答案
7. B
解析
【分析】
要找到与$2+\sqrt{11}$最接近的整数，首先需要估算$\sqrt{11}$的取值范围。我们可以先利用完全平方数确定$\sqrt{11}$在哪两个相邻整数之间，再通过中间值判断$\sqrt{11}$更靠近哪个整数，最后加上2即可得到结果。
【解析】
第一步：确定$\sqrt{11}$的整数范围
∵$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜11＜16$
∴$3＜\sqrt{11}＜4$
第二步：判断$\sqrt{11}$与3.5的大小关系
∵$3.5^2=12.25$，且$11＜12.25$
∴$\sqrt{11}＜3.5$，即$\sqrt{11}$介于3和3.5之间
第三步：推导$2+\sqrt{11}$的范围
给不等式$3＜\sqrt{11}＜3.5$各部分加2，得：
$3+2＜2+\sqrt{11}＜3.5+2$，即$5＜2+\sqrt{11}＜5.5$
因此$2+\sqrt{11}$位于5和5.5之间，最接近的整数是5。
【答案】
B
【知识点】
无理数的估算；实数大小比较
【点评】
本题重点考查对无理数的估算能力，解题核心是通过平方运算确定无理数的大致区间，再借助中间值判断无理数更接近的整数，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
要找到与$2+\sqrt{11}$最接近的整数，首先需要估算$\sqrt{11}$的取值范围。我们可以先利用完全平方数确定$\sqrt{11}$在哪两个相邻整数之间，再通过中间值判断$\sqrt{11}$更靠近哪个整数，最后加上2即可得到结果。
【解析】
第一步：确定$\sqrt{11}$的整数范围
∵$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜11＜16$
∴$3＜\sqrt{11}＜4$
第二步：判断$\sqrt{11}$与3.5的大小关系
∵$3.5^2=12.25$，且$11＜12.25$
∴$\sqrt{11}＜3.5$，即$\sqrt{11}$介于3和3.5之间
第三步：推导$2+\sqrt{11}$的范围
给不等式$3＜\sqrt{11}＜3.5$各部分加2，得：
$3+2＜2+\sqrt{11}＜3.5+2$，即$5＜2+\sqrt{11}＜5.5$
因此$2+\sqrt{11}$位于5和5.5之间，最接近的整数是5。
【答案】
B
【知识点】
无理数的估算；实数大小比较
【点评】
本题重点考查对无理数的估算能力，解题核心是通过平方运算确定无理数的大致区间，再借助中间值判断无理数更接近的整数，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
8. 下列各式中，一定能成立的是(
A.$\sqrt{(-2.5)^2}=(\sqrt{2.5})^2$
B.$\sqrt{a^2}=(\sqrt{a})^2$
C.$\sqrt{x^2-2x+1}=x-1$
D.$\sqrt{x^2-9}=\sqrt{x-3} · \sqrt{x+3}$
A
).A.$\sqrt{(-2.5)^2}=(\sqrt{2.5})^2$
B.$\sqrt{a^2}=(\sqrt{a})^2$
C.$\sqrt{x^2-2x+1}=x-1$
D.$\sqrt{x^2-9}=\sqrt{x-3} · \sqrt{x+3}$
答案
8. A
解析
【分析】
这道题考查二次根式的性质与运算成立的条件，解题时先明确二次根式的核心规则：①$\sqrt{a^2}=|a|$，a可取任意实数；②$(\sqrt{a})^2=a$，成立前提是$a≥0$（二次根式有意义的条件是被开方数非负）；③二次根式乘法$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$成立的前提是$a≥0$且$b≥0$。接下来逐一分析每个选项，判断是否对所有使式子有意义的取值都成立，即可选出正确答案。
【解析】
逐个分析选项：
选项A：左边$\sqrt{(-2.5)^2}=|-2.5|=2.5$；右边$(\sqrt{2.5})^2$中2.5＞0，满足二次根式有意义的条件，计算结果为2.5，左右两边相等，该式一定成立。
选项B：左边$\sqrt{a^2}$中a可取任意实数，结果为$|a|$；右边$(\sqrt{a})^2$要求$a≥0$才有意义，当a＜0时右边无意义，因此该式不一定成立。
选项C：左边$\sqrt{x^2-2x+1}=\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|$，只有当$x≥1$时才等于$x-1$，x＜1时结果为$1-x$，因此该式不一定成立。
选项D：右边$\sqrt{x-3}·\sqrt{x+3}$成立的条件是$x-3≥0$且$x+3≥0$，即$x≥3$；左边$\sqrt{x^2-9}$成立的条件是$x^2-9≥0$，即$x≥3$或$x≤-3$，当x≤-3时右边无意义，因此该式不一定成立。
综上只有A选项的式子一定成立。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质；二次根式有意义的条件；二次根式的乘法法则
【点评】
本题易错点是忽略二次根式运算成立的前提条件，解题时要注意区分$\sqrt{a^2}$和$(\sqrt{a})^2$的适用范围，涉及根式运算时优先判断被开方数的取值范围，避免漏判条件导致出错。
【难度系数】
0.7
这道题考查二次根式的性质与运算成立的条件，解题时先明确二次根式的核心规则：①$\sqrt{a^2}=|a|$，a可取任意实数；②$(\sqrt{a})^2=a$，成立前提是$a≥0$（二次根式有意义的条件是被开方数非负）；③二次根式乘法$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$成立的前提是$a≥0$且$b≥0$。接下来逐一分析每个选项，判断是否对所有使式子有意义的取值都成立，即可选出正确答案。
【解析】
逐个分析选项：
选项A：左边$\sqrt{(-2.5)^2}=|-2.5|=2.5$；右边$(\sqrt{2.5})^2$中2.5＞0，满足二次根式有意义的条件，计算结果为2.5，左右两边相等，该式一定成立。
选项B：左边$\sqrt{a^2}$中a可取任意实数，结果为$|a|$；右边$(\sqrt{a})^2$要求$a≥0$才有意义，当a＜0时右边无意义，因此该式不一定成立。
选项C：左边$\sqrt{x^2-2x+1}=\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|$，只有当$x≥1$时才等于$x-1$，x＜1时结果为$1-x$，因此该式不一定成立。
选项D：右边$\sqrt{x-3}·\sqrt{x+3}$成立的条件是$x-3≥0$且$x+3≥0$，即$x≥3$；左边$\sqrt{x^2-9}$成立的条件是$x^2-9≥0$，即$x≥3$或$x≤-3$，当x≤-3时右边无意义，因此该式不一定成立。
综上只有A选项的式子一定成立。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质；二次根式有意义的条件；二次根式的乘法法则
【点评】
本题易错点是忽略二次根式运算成立的前提条件，解题时要注意区分$\sqrt{a^2}$和$(\sqrt{a})^2$的适用范围，涉及根式运算时优先判断被开方数的取值范围，避免漏判条件导致出错。
【难度系数】
0.7
9. 若$ x + y = 0 $，则下列各式不一定成立的是(
A.$ x^2 - y^2 = 0 $
B.$ \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 0 $
C.$ \sqrt{x^2} - \sqrt{y^2} = 0 $
D.$ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 0 $
D
)。A.$ x^2 - y^2 = 0 $
B.$ \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 0 $
C.$ \sqrt{x^2} - \sqrt{y^2} = 0 $
D.$ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 0 $
答案
9. D
解析
【分析】
已知$x+y=0$，可得$y$与$x$互为相反数，即$y=-x$。解题时我们可以将$y=-x$逐一代入各选项验证是否成立，同时要注意二次根式的被开方数必须是非负数这一隐含限制条件，即可找出不一定成立的选项。
【解析】
解：由$x+y=0$可得$y=-x$，逐一分析选项：
A. $x^2 - y^2 = x^2 - (-x)^2 = x^2 - x^2 = 0$，该式一定成立；
B. $\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{-x} = \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x} = 0$，该式一定成立；
C. $\sqrt{x^2} - \sqrt{y^2} = |x| - |y| = |x| - |-x| = |x| - |x| = 0$，该式一定成立；
D. 二次根式$\sqrt{x}$、$\sqrt{y}$有意义的前提是$x≥0$、$y≥0$，结合$x+y=0$，只有当$x=y=0$时$\sqrt{x}+\sqrt{y}=0$才成立；若$x$为正数，$y=-x$为负数，此时$\sqrt{y}$无意义，式子不成立，因此该式不一定成立。
【答案】
D
【知识点】
相反数的性质；二次根式有意义的条件；根式化简
【点评】
本题重点考查相反数的性质和根式的运算规则，解题的关键是不要忽略二次根式的被开方数必须为非负数这一隐含条件，避免仅从代数运算角度判断而漏考虑根式的定义域限制。
【难度系数】
0.7
已知$x+y=0$，可得$y$与$x$互为相反数，即$y=-x$。解题时我们可以将$y=-x$逐一代入各选项验证是否成立，同时要注意二次根式的被开方数必须是非负数这一隐含限制条件，即可找出不一定成立的选项。
【解析】
解：由$x+y=0$可得$y=-x$，逐一分析选项：
A. $x^2 - y^2 = x^2 - (-x)^2 = x^2 - x^2 = 0$，该式一定成立；
B. $\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{-x} = \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x} = 0$，该式一定成立；
C. $\sqrt{x^2} - \sqrt{y^2} = |x| - |y| = |x| - |-x| = |x| - |x| = 0$，该式一定成立；
D. 二次根式$\sqrt{x}$、$\sqrt{y}$有意义的前提是$x≥0$、$y≥0$，结合$x+y=0$，只有当$x=y=0$时$\sqrt{x}+\sqrt{y}=0$才成立；若$x$为正数，$y=-x$为负数，此时$\sqrt{y}$无意义，式子不成立，因此该式不一定成立。
【答案】
D
【知识点】
相反数的性质；二次根式有意义的条件；根式化简
【点评】
本题重点考查相反数的性质和根式的运算规则，解题的关键是不要忽略二次根式的被开方数必须为非负数这一隐含条件，避免仅从代数运算角度判断而漏考虑根式的定义域限制。
【难度系数】
0.7
10. 当 $ x = -3 $ 时，$ m\sqrt{2x^2 + 5x + 7} $ 的值为 $ \sqrt{5} $，则 $ m $ 等于（
A.$ \sqrt{2} $
B.$ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $
C.$ \dfrac{\sqrt{5}}{5} $
D.$ \sqrt{5} $
B
）。A.$ \sqrt{2} $
B.$ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $
C.$ \dfrac{\sqrt{5}}{5} $
D.$ \sqrt{5} $
答案
10. B
解析
【分析】
已知x的取值和对应代数式的值，解题时首先将x=-3代入含根号的表达式，先计算根号内算式的结果，再将原式转化为关于m的一元一次方程，最后通过二次根式的化简规则求出m的值即可。
【解析】
1. 计算被开方数：将x=-3代入$2x^2 + 5x + 7$可得
$2×(-3)^2 + 5×(-3) +7 = 2×9 -15 +7 = 10$
2. 列关于m的方程：根据题意，代入后原式的值为$\sqrt{5}$，可得
$m\sqrt{10} = \sqrt{5}$
3. 求解m并化简：
$m = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{5}{10}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
B
【知识点】
代数式求值；二次根式化简
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查代入求值的方法和二次根式的化简规则，计算时注意运算顺序，将二次根式化简为最简形式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
已知x的取值和对应代数式的值，解题时首先将x=-3代入含根号的表达式，先计算根号内算式的结果，再将原式转化为关于m的一元一次方程，最后通过二次根式的化简规则求出m的值即可。
【解析】
1. 计算被开方数：将x=-3代入$2x^2 + 5x + 7$可得
$2×(-3)^2 + 5×(-3) +7 = 2×9 -15 +7 = 10$
2. 列关于m的方程：根据题意，代入后原式的值为$\sqrt{5}$，可得
$m\sqrt{10} = \sqrt{5}$
3. 求解m并化简：
$m = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{5}{10}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
B
【知识点】
代数式求值；二次根式化简
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查代入求值的方法和二次根式的化简规则，计算时注意运算顺序，将二次根式化简为最简形式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
