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12. 先化简，再求值：$( \dfrac{2a}{a - 1} + \dfrac{a}{1 - a} ) · \dfrac{1}{a}$，其中 $a = \sqrt{2} + 1$。
答案
12. 原式$=\dfrac{1}{a-1}$.当$a=\sqrt{2}+1$时,原式$=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路分为两步：先化简，再求值。首先观察括号内两个分式的分母a-1和1-a互为相反数，我们可以将第二个分式变形，把分母统一为a-1，再进行同分母分式的加减运算；接下来将括号内计算得到的结果与后面的$\dfrac{1}{a}$相乘，约分后得到最简分式；最后把a的值代入最简分式，通过分母有理化算出最终结果即可，先化简再代入能大幅减少计算量，降低出错率。
【解析】
首先处理括号内的分式，由于$1-a=-(a-1)$，因此：
原式 $=( \dfrac{2a}{a - 1} - \dfrac{a}{a - 1} ) · \dfrac{1}{a}$
计算括号内的同分母分式加减，分子相加减、分母保持不变：
$=\dfrac{2a-a}{a-1} · \dfrac{1}{a}$
$=\dfrac{a}{a-1} · \dfrac{1}{a}$
约去分子分母的公因式$a$（$a≠0$且$a≠1$），得最简结果：
$=\dfrac{1}{a-1}$
代入$a=\sqrt{2}+1$计算：
原式$=\dfrac{1}{(\sqrt{2}+1)-1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
对结果进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}$：
$=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
原式化简为$\dfrac{1}{a-1}$，当$a=\sqrt{2}+1$时，原式的值为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
分式的混合运算，同分母分式加减，分母有理化
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题核心是先将分式化简为最简形式再代入求值，需要掌握互为相反数的分式分母的转化技巧，同时注意最终二次根式的结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
这是分式化简求值类题目，解题思路分为两步：先化简，再求值。首先观察括号内两个分式的分母a-1和1-a互为相反数，我们可以将第二个分式变形，把分母统一为a-1，再进行同分母分式的加减运算；接下来将括号内计算得到的结果与后面的$\dfrac{1}{a}$相乘，约分后得到最简分式；最后把a的值代入最简分式，通过分母有理化算出最终结果即可，先化简再代入能大幅减少计算量，降低出错率。
【解析】
首先处理括号内的分式，由于$1-a=-(a-1)$，因此：
原式 $=( \dfrac{2a}{a - 1} - \dfrac{a}{a - 1} ) · \dfrac{1}{a}$
计算括号内的同分母分式加减，分子相加减、分母保持不变：
$=\dfrac{2a-a}{a-1} · \dfrac{1}{a}$
$=\dfrac{a}{a-1} · \dfrac{1}{a}$
约去分子分母的公因式$a$（$a≠0$且$a≠1$），得最简结果：
$=\dfrac{1}{a-1}$
代入$a=\sqrt{2}+1$计算：
原式$=\dfrac{1}{(\sqrt{2}+1)-1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
对结果进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}$：
$=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
原式化简为$\dfrac{1}{a-1}$，当$a=\sqrt{2}+1$时，原式的值为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
分式的混合运算，同分母分式加减，分母有理化
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题核心是先将分式化简为最简形式再代入求值，需要掌握互为相反数的分式分母的转化技巧，同时注意最终二次根式的结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
13. 将下列各式在实数范围内分解因式：
(1) $3x^2 - 6$；
(2) $x^4 - 9$。
(1) $3x^2 - 6$；
(2) $x^4 - 9$。
答案
13.（1）$3(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$ （2）$(x+\sqrt{3}) · (x-\sqrt{3})(x^2+3)$
解析
【分析】
这两道题都是实数范围内的因式分解题，解题遵循因式分解的常规思路：先提取公因式，再套用乘法公式，且要注意分解彻底，直到在实数范围内不能再分解为止。
对于（1），首先观察式子有公因式3，先提取公因式，再将剩下的多项式转化为平方差的形式，用平方差公式分解；对于（2），先将原式转化为两个平方项作差的形式，先用一次平方差公式分解，再判断得到的因式还能不能继续分解，对可以分解的因式再次用平方差公式拆分即可。
【解析】
(1) 第一步：提取公因式3
$3x^2 - 6 = 3(x^2 - 2)$
第二步：将2改写为$(\sqrt{2})^2$，用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解
$x^2 - 2 = x^2 - (\sqrt{2})^2 = (x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$
因此原式$=3(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$
(2) 第一步：将$x^4$改写为$(x^2)^2$，9改写为$3^2$，先用平方差公式分解
$x^4 - 9 = (x^2)^2 - 3^2 = (x^2 + 3)(x^2 - 3)$
第二步：判断因式是否可继续分解，$x^2+3$在实数范围内无法分解，将$x^2-3$中3改写为$(\sqrt{3})^2$，再次用平方差公式分解
$x^2 - 3 = x^2 - (\sqrt{3})^2 = (x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$
因此原式$=(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})(x^2+3)$
【答案】
(1) $3(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$；(2) $(x+\sqrt{3}) · (x-\sqrt{3})(x^2+3)$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，实数范围内因式分解
【点评】
本题考查因式分解的应用，解题时要遵循“一提二套三查”的步骤：先提取公因式，再套用合适的乘法公式，最后检查是否分解彻底，实数范围内分解时注意正的常数可以写成其算术平方根的平方形式来构造平方差。
【难度系数】
0.8
这两道题都是实数范围内的因式分解题，解题遵循因式分解的常规思路：先提取公因式，再套用乘法公式，且要注意分解彻底，直到在实数范围内不能再分解为止。
对于（1），首先观察式子有公因式3，先提取公因式，再将剩下的多项式转化为平方差的形式，用平方差公式分解；对于（2），先将原式转化为两个平方项作差的形式，先用一次平方差公式分解，再判断得到的因式还能不能继续分解，对可以分解的因式再次用平方差公式拆分即可。
【解析】
(1) 第一步：提取公因式3
$3x^2 - 6 = 3(x^2 - 2)$
第二步：将2改写为$(\sqrt{2})^2$，用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解
$x^2 - 2 = x^2 - (\sqrt{2})^2 = (x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$
因此原式$=3(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$
(2) 第一步：将$x^4$改写为$(x^2)^2$，9改写为$3^2$，先用平方差公式分解
$x^4 - 9 = (x^2)^2 - 3^2 = (x^2 + 3)(x^2 - 3)$
第二步：判断因式是否可继续分解，$x^2+3$在实数范围内无法分解，将$x^2-3$中3改写为$(\sqrt{3})^2$，再次用平方差公式分解
$x^2 - 3 = x^2 - (\sqrt{3})^2 = (x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$
因此原式$=(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})(x^2+3)$
【答案】
(1) $3(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$；(2) $(x+\sqrt{3}) · (x-\sqrt{3})(x^2+3)$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，实数范围内因式分解
【点评】
本题考查因式分解的应用，解题时要遵循“一提二套三查”的步骤：先提取公因式，再套用合适的乘法公式，最后检查是否分解彻底，实数范围内分解时注意正的常数可以写成其算术平方根的平方形式来构造平方差。
【难度系数】
0.8
14. 解方程组：$\begin{cases} 3x + 6y = 10, \\ 6x + 3y = 8, \end{cases}$并求$\sqrt{xy}$的值.
答案
14.$\begin{cases} x=\dfrac{2}{3}, \\ y=\dfrac{4}{3}. \end{cases}$ $\sqrt{xy}=\dfrac{2}{3}\sqrt{2}$
解析
【分析】
这是一道包含二元一次方程组求解和二次根式计算的基础题，解题思路分为两步：第一步先解二元一次方程组，观察两个方程中x的系数为3和6，可将第一个方程乘2后减去第二个方程，消去x先求出y的值，再回代求出x的值；第二步将求得的x、y代入计算xy，再对结果取算术平方根，最后化简二次根式即可，计算时注意系数运算和根式化简不要出错。
【解析】
先对原方程组标号：
$\begin{cases} 3x + 6y = 10 \quad \mathrm{①}, \\ 6x + 3y = 8 \quad \mathrm{②}, \end{cases}$
将①×2得：$6x + 12y = 20 \quad \mathrm{③}$
用③-②消去x：
$\begin{aligned}(6x+12y)-(6x+3y)&=20-8 \\9y&=12 \\y&=\frac{4}{3}\end{aligned}$
把$y=\frac{4}{3}$代入①式：
$\begin{aligned}3x + 6×\frac{4}{3}&=10 \\3x+8&=10 \\3x&=2 \\x&=\frac{2}{3}\end{aligned}$
将$x=\frac{2}{3}、y=\frac{4}{3}$代入②式验证，左边=6×$\frac{2}{3}$+3×$\frac{4}{3}$=8=右边，解正确。
再计算$\sqrt{xy}$：
$xy=\frac{2}{3}×\frac{4}{3}=\frac{8}{9}$
$\sqrt{xy}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$
【答案】
方程组的解为$\begin{cases} x=\dfrac{2}{3}, \\ y=\dfrac{4}{3}. \end{cases}$，$\sqrt{xy}=\dfrac{2}{3}\sqrt{2}$
【知识点】
二元一次方程组的解法；二次根式的化简；算术平方根计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考察加减消元法解二元一次方程组的应用，以及二次根式的化简规则，解题时只要注意分数运算、根式化简的准确性即可得分，不易出现难点错误。
【难度系数】
0.85
这是一道包含二元一次方程组求解和二次根式计算的基础题，解题思路分为两步：第一步先解二元一次方程组，观察两个方程中x的系数为3和6，可将第一个方程乘2后减去第二个方程，消去x先求出y的值，再回代求出x的值；第二步将求得的x、y代入计算xy，再对结果取算术平方根，最后化简二次根式即可，计算时注意系数运算和根式化简不要出错。
【解析】
先对原方程组标号：
$\begin{cases} 3x + 6y = 10 \quad \mathrm{①}, \\ 6x + 3y = 8 \quad \mathrm{②}, \end{cases}$
将①×2得：$6x + 12y = 20 \quad \mathrm{③}$
用③-②消去x：
$\begin{aligned}(6x+12y)-(6x+3y)&=20-8 \\9y&=12 \\y&=\frac{4}{3}\end{aligned}$
把$y=\frac{4}{3}$代入①式：
$\begin{aligned}3x + 6×\frac{4}{3}&=10 \\3x+8&=10 \\3x&=2 \\x&=\frac{2}{3}\end{aligned}$
将$x=\frac{2}{3}、y=\frac{4}{3}$代入②式验证，左边=6×$\frac{2}{3}$+3×$\frac{4}{3}$=8=右边，解正确。
再计算$\sqrt{xy}$：
$xy=\frac{2}{3}×\frac{4}{3}=\frac{8}{9}$
$\sqrt{xy}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$
【答案】
方程组的解为$\begin{cases} x=\dfrac{2}{3}, \\ y=\dfrac{4}{3}. \end{cases}$，$\sqrt{xy}=\dfrac{2}{3}\sqrt{2}$
【知识点】
二元一次方程组的解法；二次根式的化简；算术平方根计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考察加减消元法解二元一次方程组的应用，以及二次根式的化简规则，解题时只要注意分数运算、根式化简的准确性即可得分，不易出现难点错误。
【难度系数】
0.85
15. 先化简,再求值: $(\dfrac{3x}{x+1}-\dfrac{x}{x-1})· \dfrac{x^2-1}{x-2}$,其中 $x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
答案
15. 原式$=2x$.当$x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$时,原式$=\sqrt{3}$
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，解题思路如下：首先观察式子结构，发现乘式的分子$x^2-1$可分解为$(x+1)(x-1)$，刚好和括号内两个分式的分母对应，因此优先用乘法分配律展开计算，比先通分算括号内减法更简便；接着展开后分别约分，再合并分子、约分化为最简式；最后将$x$的值代入最简式计算即可，计算时需注意分母不为0的隐含条件。
【解析】
解：先利用平方差公式因式分解$x^2-1=(x+1)(x-1)$，再根据乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{3x}{x+1}-\frac{x}{x-1})·\frac{(x+1)(x-1)}{x-2}\\&=\frac{3x}{x+1}·\frac{(x+1)(x-1)}{x-2} - \frac{x}{x-1}·\frac{(x+1)(x-1)}{x-2}\\&=\frac{3x(x-1)}{x-2}-\frac{x(x+1)}{x-2}\\&=\frac{3x(x-1)-x(x+1)}{x-2}\\&=\frac{3x^2-3x-x^2-x}{x-2}\\&=\frac{2x^2-4x}{x-2}\\&=\frac{2x(x-2)}{x-2}\\&=2x\quad (x≠2)\end{aligned}$
将$x=\frac{\sqrt{3}}{2}$代入$2x$得：
$原式=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
【答案】
原式化简结果为$2x$，当$x=\frac{\sqrt{3}}{2}$时，原式的值为$\sqrt{3}$
【知识点】
分式混合运算、平方差公式、代数式求值
【点评】
本题考查分式化简求值的基本方法，合理运用运算律可大幅简化计算过程，解题时要注意约分的前提是分母不为0，代入数值计算需保证准确性。
【难度系数】
0.7
这是一道分式化简求值题，解题思路如下：首先观察式子结构，发现乘式的分子$x^2-1$可分解为$(x+1)(x-1)$，刚好和括号内两个分式的分母对应，因此优先用乘法分配律展开计算，比先通分算括号内减法更简便；接着展开后分别约分，再合并分子、约分化为最简式；最后将$x$的值代入最简式计算即可，计算时需注意分母不为0的隐含条件。
【解析】
解：先利用平方差公式因式分解$x^2-1=(x+1)(x-1)$，再根据乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{3x}{x+1}-\frac{x}{x-1})·\frac{(x+1)(x-1)}{x-2}\\&=\frac{3x}{x+1}·\frac{(x+1)(x-1)}{x-2} - \frac{x}{x-1}·\frac{(x+1)(x-1)}{x-2}\\&=\frac{3x(x-1)}{x-2}-\frac{x(x+1)}{x-2}\\&=\frac{3x(x-1)-x(x+1)}{x-2}\\&=\frac{3x^2-3x-x^2-x}{x-2}\\&=\frac{2x^2-4x}{x-2}\\&=\frac{2x(x-2)}{x-2}\\&=2x\quad (x≠2)\end{aligned}$
将$x=\frac{\sqrt{3}}{2}$代入$2x$得：
$原式=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
【答案】
原式化简结果为$2x$，当$x=\frac{\sqrt{3}}{2}$时，原式的值为$\sqrt{3}$
【知识点】
分式混合运算、平方差公式、代数式求值
【点评】
本题考查分式化简求值的基本方法，合理运用运算律可大幅简化计算过程，解题时要注意约分的前提是分母不为0，代入数值计算需保证准确性。
【难度系数】
0.7
