一、填空题
1. 如图，在$□ ABCD$中，$E$是$BA$延长线上一点，$AB=AE$，连接$CE$交$AD$于点$F$。若$CF$平分$∠ BCD$，$AB=3$，则$BC$的长为________。

1. 6

【分析】
解题时首先回忆平行四边形的基本性质：对边平行且相等。第一步，结合已知AB=AE，可推出AE与CD长度相等，再结合AB//CD得到的内错角相等、对顶角相等，可证明△AEF和△DCF全等，得到F是AD的中点；第二步，利用CF平分∠BCD，结合AD//BC的性质，可推出△DFC是等腰三角形，得到DF与CD相等；最后结合AD=BC的性质，即可求出BC的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AD//BC，AB=CD，AD=BC，
∴ ∠E=∠DCF，∠DFC=∠BCF。
∵ AB=AE，AB=3，
∴ AE=AB=CD=3。
在△AEF和△DCF中：
$\{\begin{array}{l}∠ E=∠ DCF\\ ∠ AFE=∠ DFC\\ AE=DC\end{array} $
∴ △AEF≌△DCF（AAS），
∴ AF=DF，即AD=2DF。
∵ CF平分∠BCD，
∴ ∠BCF=∠DCF，
又
∵ ∠DFC=∠BCF，
∴ ∠DFC=∠DCF，
∴ DF=DC=3，
∴ AD=2×3=6。
∵ AD=BC，
∴ BC=6。
【答案】
6
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何综合题，核心考察常见的“平行线+角平分线得等腰三角形”几何模型，解题的关键是灵活运用平行四边形性质找到全等三角形和等腰三角形，进而推导线段的数量关系。
【难度系数】
0.7

2. 观察下列各式：$\sqrt{2^2 - 1} = \sqrt{1} × \sqrt{3}$，$\sqrt{3^2 - 1} = \sqrt{2} × \sqrt{4}$，$\sqrt{4^2 - 1} = \sqrt{3} × \sqrt{5}$，$\sqrt{5^2 - 1} = \sqrt{4} × \sqrt{6}$，…，将你猜想的规律用一个式子来表示：$\underline{\hspace{10cm}}$.

2. $\sqrt{n^2 - 1}=\sqrt{n - 1}·\sqrt{n + 1}\ (n≥2)$

【分析】
首先观察给出的所有等式，先分析等式左边的共同特征：都是根号下（一个大于等于2的整数的平方减1），我们设这个整数为n（n≥2），则左边可表示为$\sqrt{n^2 - 1}$；再分析等式右边的共同特征：都是两个二次根式的乘积，第一个根号里的数比左边的整数n小1，第二个根号里的数比n大1，即$\sqrt{n-1}·\sqrt{n+1}$。再结合平方差公式和二次根式有意义的条件验证，就能得到通用的规律式子。
【解析】
我们对已知式子逐式对应分析：
第1个式子：当n=2时，左边$\sqrt{2^2-1}$，右边$\sqrt{2-1}×\sqrt{2+1}=\sqrt{1}×\sqrt{3}$，等式成立；
第2个式子：当n=3时，左边$\sqrt{3^2-1}$，右边$\sqrt{3-1}×\sqrt{3+1}=\sqrt{2}×\sqrt{4}$，等式成立；
第3个式子：当n=4时，左边$\sqrt{4^2-1}$，右边$\sqrt{4-1}×\sqrt{4+1}=\sqrt{3}×\sqrt{5}$，等式成立；
……
根据平方差公式可得$n^2-1=(n-1)(n+1)$，当$n≥2$时，$n-1≥1＞0$，$n+1≥3＞0$，满足二次根式被开方数非负的要求，结合二次根式乘法法则$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}（a≥0,b≥0）$，可得通用规律。
【答案】
$\sqrt{n^2 - 1}=\sqrt{n - 1}·\sqrt{n + 1}\ (n≥2)$
【知识点】
1. 数字规律探究
2. 平方差公式
3. 二次根式的性质
【点评】
本题考查观察归纳能力，解题关键是找准等式左右两边的数值与序数的对应关系，同时要注意二次根式的被开方数非负，明确n的取值范围，避免漏写限制条件。
【难度系数】
0.7

3. 若一元二次方程$x^2 - 6x + 4 = 0$的两个实数根恰好是一个直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形斜边的长是________.

3. $2\sqrt{7}$

【分析】
解题时首先明确所求为直角三角形的斜边长，根据勾股定理可知斜边的平方等于两条直角边的平方和，而两条直角边是题给一元二次方程的两个实数根，我们无需直接解出根的具体数值，可先利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和、两根之积，再将直角边的平方和变形为含两根和、两根积的形式代入计算，最后开方得到斜边长即可。
【解析】
设一元二次方程$x^2 - 6x + 4 = 0$的两个实数根为$a$、$b$，即该直角三角形的两条直角边长分别为$a$、$b$，设斜边长为$c$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$a + b = 6$，$ab = 4$
根据勾股定理得：$c^2 = a^2 + b^2$
利用完全平方公式变形得：$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$
代入数值计算：
$c^2 = 6^2 - 2×4 = 36 - 8 = 28$
因为$c$为三角形边长，为正数，所以$c = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$
【答案】
$2\sqrt{7}$
【知识点】
1. 根与系数的关系 2. 勾股定理 3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，将一元二次方程的根的性质与直角三角形勾股定理相结合，核心在于灵活运用根与系数的关系简化计算，无需直接求解方程即可得到结果，考察学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

4. 在解关于$x$的一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$时，小明看错了一次项系数$b$，得到方程的根为$x_1=2$，$x_2=3$；小刚看错了常数项$c$，得到方程的根为$x_1=1$，$x_2=5$。请你写出正确的一元二次方程________.

4. $x^2 - 6x + 6 = 0$

【分析】
要确定正确的一元二次方程，需求出正确的一次项系数$b$和常数项$c$，可利用一元二次方程根与系数的关系求解：小明仅看错一次项系数$b$，说明他得到的根对应的常数项$c$是正确的；小刚仅看错常数项$c$，说明他得到的根对应的一次项系数$b$是正确的，分别计算即可得到正确的$b$、$c$值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$，若两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -b$，$x_1x_2 = c$
1. 求常数项$c$：
小明看错了$b$，但$c$是正确的，他得到的根为$x_1=2$，$x_2=3$，因此：
$c = x_1x_2 = 2×3 = 6$
2. 求一次项系数$b$：
小刚看错了$c$，但$b$是正确的，他得到的根为$x_1=1$，$x_2=5$，因此：
$x_1 + x_2 = 1+5 = 6 = -b$，解得$b = -6$
将正确的$b$、$c$代入原方程即可得到结果。
【答案】
$x^2 - 6x + 6 = 0$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的项的概念
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，解题核心是抓住“看错某一项时另一项未看错”的条件，灵活运用韦达定理求解未知系数即可。
【难度系数】
0.7

5. 如图, 在矩形 $ABCD$ 中, $AB=4$, $AD=6$. 在边 $AD$ 上取一点 $E$, 使 $BE=BC$, 过点 $C$ 作 $CF ⊥ BE$, 垂足为点 $F$, 则 $BF$ 的长为 ______.

5. $2\sqrt{5}$

【分析】
解题时先利用矩形的性质得到边长关系和平行关系，结合已知BE=BC得到BE的长度，再通过角的关系证明△ABE与△FCB全等，将求BF的长度转化为求Rt△ABE中AE的长度，最后用勾股定理计算AE即可得到BF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD//BC，BC=AD=6，
∵BE=BC，
∴BE=6，
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠FBC，
∵CF⊥BE，
∴∠BFC=90°=∠A，
在△ABE和△FCB中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠BFC \\∠AEB=∠FBC \\BE=BC\end{array} $
∴△ABE≌△FCB（AAS），
∴BF=AE，
在Rt△ABE中，AB=4，BE=6，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{BE^2 - AB^2}=\sqrt{6^2 - 4^2}=\sqrt{36 - 16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
∴BF=$2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是利用全等三角形实现未知线段和已知线段的转化，结合勾股定理完成计算，熟练掌握矩形和全等三角形的相关性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7

6. 下列各式中,正确的是().

A.$\sqrt{(-3)^2}=-3$
B.$-\sqrt{3^2}=-3$
C.$\sqrt{(\pm 3)^2}=\pm 3$
D.$\sqrt{3^2}=\pm 3$

6. B

【分析】
本题考查算术平方根的相关性质，解题核心是明确$\sqrt{a}$表示$a$的算术平方根，其结果必然是非负数。解题时先计算每个选项中根号内的平方运算结果，再求算术平方根，最后结合根号外的符号判断最终结果是否正确即可。
【解析】
根据算术平方根的性质：算术平方根的结果为非负数，且$\sqrt{a^2}=|a|$，逐一分析选项：
选项A：先计算根号内$(-3)^2=9$，因此$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3≠-3$，A错误；
选项B：先计算根号内$3^2=9$，因此$-\sqrt{3^2}=-\sqrt{9}=-3$，B正确；
选项C：先计算根号内$(\pm3)^2=9$，因此$\sqrt{(\pm3)^2}=\sqrt{9}=3≠\pm3$，C错误；
选项D：$\sqrt{3^2}=\sqrt{9}=3≠\pm3$，D错误。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的定义；二次根式的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是易混淆算术平方根与平方根的概念，误将算术平方根的结果写成正负两个值，只要牢记算术平方根的非负性就能快速准确解题。
【难度系数】
0.7

7. 若$ m=1+\sqrt{2} $，$ n=1-\sqrt{2} $，则代数式$ \sqrt{m^2 + n^2 - 3mn} $的值为().

A.9
B.$ \pm 3 $
C.3
D.5

7. C

【分析】
这道题若直接代入m、n的数值计算，计算量相对较大，我们可以利用公式变形简化运算。首先回忆完全平方公式的变形：$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn$，因此我们可以先求出$m+n$和$mn$的值，再整体代入根号内的式子计算，最后注意算术平方根的结果是非负数，可直接排除负的选项。
【解析】
步骤1：计算$m+n$和$mn$的值
已知$m=1+\sqrt{2}$，$n=1-\sqrt{2}$，则：
$m+n=(1+\sqrt{2})+(1-\sqrt{2})=2$
根据平方差公式计算$mn$：
$mn=(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=1^2-(\sqrt{2})^2=1-2=-1$
步骤2：化简根号内的代数式
$m^2+n^2-3mn=(m+n)^2-2mn-3mn=(m+n)^2-5mn$
步骤3：代入数值计算
将$m+n=2$，$mn=-1$代入得：
$\sqrt{m^2 + n^2 - 3mn}=\sqrt{2^2-5×(-1)}=\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3$
（算术平方根结果非负，因此排除-3）
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，二次根式的性质，代数式求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，运用整体代入的思想可以有效降低计算量，解题时要牢记算术平方根的非负性，避免误选带正负的选项。
【难度系数】
0.7