登录
8. 下列各组线段中的三个长度：① 9，12，15；② 7，24，25；③ $3^2$，$4^2$，$5^2$；④ $3a$，$4a$，$5a(a＞0)$；⑤ $m^2-n^2$，$2mn$，$m^2+n^2$（$m$，$n$为正整数，且$m＞n$）. 其中可以构成直角三角形的有(
A.5
B.4
C.3
D.2
B
)组.A.5
B.4
C.3
D.2
答案
8. B
解析
【分析】
要判断三条线段能否构成直角三角形，依据是勾股定理的逆定理：若三角形三边长a、b、c（c为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形。解题时需逐组分析：先确定每组的最长边，再计算两条短边的平方和，将其与最长边的平方比较，相等即可构成直角三角形，反之则不能。
【解析】
我们逐组验证：
① 线段长9、12、15，最长边为15：
$9^2+12^2=81+144=225$，$15^2=225$，满足$9^2+12^2=15^2$，可构成直角三角形；
② 线段长7、24、25，最长边为25：
$7^2+24^2=49+576=625$，$25^2=625$，满足$7^2+24^2=25^2$，可构成直角三角形；
③ 线段长$3^2=9$、$4^2=16$、$5^2=25$，最长边为25：
$9^2+16^2=81+256=337$，$25^2=625$，$337≠625$，不可构成直角三角形；
④ 线段长$3a、4a、5a(a＞0)$，最长边为$5a$：
$(3a)^2+(4a)^2=9a^2+16a^2=25a^2$，$(5a)^2=25a^2$，满足$(3a)^2+(4a)^2=(5a)^2$，可构成直角三角形；
⑤ 线段长$m^2-n^2、2mn、m^2+n^2$（m、n为正整数，且$m＞n$），最长边为$m^2+n^2$：
$(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2=m^4+2m^2n^2+n^4=(m^2+n^2)^2$，满足等式，可构成直角三角形。
综上，①②④⑤共4组可构成直角三角形，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理逆定理，完全平方公式，直角三角形判定
【点评】
本题核心考查勾股定理逆定理的实际应用，解题的易错点是容易误将③组的$3^2、4^2、5^2$直接当成3、4、5判断，另外第⑤组的展开计算需要熟练掌握完全平方公式，计算时要注意先确定最长边再验证，避免逻辑错误。
【难度系数】
0.7
要判断三条线段能否构成直角三角形，依据是勾股定理的逆定理：若三角形三边长a、b、c（c为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形。解题时需逐组分析：先确定每组的最长边，再计算两条短边的平方和，将其与最长边的平方比较，相等即可构成直角三角形，反之则不能。
【解析】
我们逐组验证：
① 线段长9、12、15，最长边为15：
$9^2+12^2=81+144=225$，$15^2=225$，满足$9^2+12^2=15^2$，可构成直角三角形；
② 线段长7、24、25，最长边为25：
$7^2+24^2=49+576=625$，$25^2=625$，满足$7^2+24^2=25^2$，可构成直角三角形；
③ 线段长$3^2=9$、$4^2=16$、$5^2=25$，最长边为25：
$9^2+16^2=81+256=337$，$25^2=625$，$337≠625$，不可构成直角三角形；
④ 线段长$3a、4a、5a(a＞0)$，最长边为$5a$：
$(3a)^2+(4a)^2=9a^2+16a^2=25a^2$，$(5a)^2=25a^2$，满足$(3a)^2+(4a)^2=(5a)^2$，可构成直角三角形；
⑤ 线段长$m^2-n^2、2mn、m^2+n^2$（m、n为正整数，且$m＞n$），最长边为$m^2+n^2$：
$(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2=m^4+2m^2n^2+n^4=(m^2+n^2)^2$，满足等式，可构成直角三角形。
综上，①②④⑤共4组可构成直角三角形，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理逆定理，完全平方公式，直角三角形判定
【点评】
本题核心考查勾股定理逆定理的实际应用，解题的易错点是容易误将③组的$3^2、4^2、5^2$直接当成3、4、5判断，另外第⑤组的展开计算需要熟练掌握完全平方公式，计算时要注意先确定最长边再验证，避免逻辑错误。
【难度系数】
0.7
9. 对于任意实数$a$，$b$定义新运算$a*b$：$a*b=(a+b)(a-b)-1$，例如：$3*2=(3+2)×(3-2)-1=5-1=4$。若$x*k=2x$是关于$x$的方程，则该方程根的情况是（
A.只有一个实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
B
）。A.只有一个实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
答案
9. B
解析
【分析】
解题时首先要根据题目给出的新运算规则，将x*k转化为常规的代数式，再代入已知等式整理成一元二次方程的一般形式，最后通过计算根的判别式Δ的符号，即可判断方程根的情况。具体步骤为：第一步套用新定义展开x*k，第二步移项整理为标准一元二次方程，第三步计算判别式并判断其正负性。
【解析】
根据新运算$a*b=(a+b)(a-b)-1$，可得：
$x*k=(x+k)(x-k)-1$
利用平方差公式展开得：$x*k=x^2 - k^2 -1$
已知$x*k=2x$，代入得：
$x^2 - k^2 -1 = 2x$
移项整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 2x - (k^2 + 1) = 0$
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-(k^2+1)$，计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×[-(k^2+1)] = 4 + 4(k^2 + 1) = 4k^2 + 8$
∵对于任意实数$k$，$k^2≥0$，
∴$4k^2+8＞0$，即$\Delta＞0$
∴该方程有两个不相等的实数根，故选B。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，一元二次方程根的判别式，平方差公式
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程根的判别式的应用，解题的核心是正确理解新运算规则，将陌生方程转化为熟悉的一元二次方程，再通过判别式的符号判断根的情况，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先要根据题目给出的新运算规则，将x*k转化为常规的代数式，再代入已知等式整理成一元二次方程的一般形式，最后通过计算根的判别式Δ的符号，即可判断方程根的情况。具体步骤为：第一步套用新定义展开x*k，第二步移项整理为标准一元二次方程，第三步计算判别式并判断其正负性。
【解析】
根据新运算$a*b=(a+b)(a-b)-1$，可得：
$x*k=(x+k)(x-k)-1$
利用平方差公式展开得：$x*k=x^2 - k^2 -1$
已知$x*k=2x$，代入得：
$x^2 - k^2 -1 = 2x$
移项整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 2x - (k^2 + 1) = 0$
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-(k^2+1)$，计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×[-(k^2+1)] = 4 + 4(k^2 + 1) = 4k^2 + 8$
∵对于任意实数$k$，$k^2≥0$，
∴$4k^2+8＞0$，即$\Delta＞0$
∴该方程有两个不相等的实数根，故选B。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，一元二次方程根的判别式，平方差公式
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程根的判别式的应用，解题的核心是正确理解新运算规则，将陌生方程转化为熟悉的一元二次方程，再通过判别式的符号判断根的情况，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
10. 某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩(单位：分)统计如下表，其中有两个数据被遮盖.
下列关于成绩的统计量中，可以求得的是(
A.平均数，方差
B.中位数，方差
C.中位数，众数
D.平均数，众数
下列关于成绩的统计量中，可以求得的是(
C
).A.平均数，方差
B.中位数，方差
C.中位数，众数
D.平均数，众数
答案
10. C
解析
【分析】
首先明确总人数为50名，先计算已知成绩对应的总人数，得到91分和92分的总人数为3。接下来分别分析各统计量是否可求：①众数是出现次数最多的数，当前100分的人数为12人，远大于被遮盖数据的最多人数3，因此众数可确定；②中位数是50个数据排序后第25、26个数据的平均数，从高分往低累计人数可判断第25、26个数据都在98分区间内，中位数可确定；③平均数和方差需要知道91分、92分的具体人数，信息不足无法计算，由此即可选出正确选项。
【解析】
第一步：计算被遮盖数据的总人数
已知成绩对应的人数总和为：$1+2+3+5+6+8+10+12=47$，因此91分和92分的总人数为$50-47=3$。
第二步：判断众数是否可求
100分的人数为12人，是所有成绩中人数最多的，即便被遮盖的3人均为同一分数，该分数的人数也仅为3，远小于12，因此众数一定是100，可以确定。
第三步：判断中位数是否可求
50个数据的中位数是排序后第25、26个数据的平均数。从高分开始累计人数：100分共12人，99分共10人，累计$12+10=22$人；98分共8人，累计$22+8=30$人，说明第23名到第30名的成绩都是98分，因此第25、26名的成绩均为98分，中位数为$\frac{98+98}{2}=98$，可以确定。
第四步：判断平均数、方差是否可求
由于不知道91分、92分各自的人数，无法计算总分数，因此平均数无法求出；方差需要全部数据的具体得分情况，也无法求出。
综上，可求得的统计量是中位数和众数，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
统计量的判断,中位数,众数
【点评】
本题核心是考查对不同统计量定义的理解，解题时不需要求出被遮盖的具体数据，只需结合已知条件判断被遮盖数据对各统计量的影响即可，属于统计部分的基础应用题。
【难度系数】
0.7
首先明确总人数为50名，先计算已知成绩对应的总人数，得到91分和92分的总人数为3。接下来分别分析各统计量是否可求：①众数是出现次数最多的数，当前100分的人数为12人，远大于被遮盖数据的最多人数3，因此众数可确定；②中位数是50个数据排序后第25、26个数据的平均数，从高分往低累计人数可判断第25、26个数据都在98分区间内，中位数可确定；③平均数和方差需要知道91分、92分的具体人数，信息不足无法计算，由此即可选出正确选项。
【解析】
第一步：计算被遮盖数据的总人数
已知成绩对应的人数总和为：$1+2+3+5+6+8+10+12=47$，因此91分和92分的总人数为$50-47=3$。
第二步：判断众数是否可求
100分的人数为12人，是所有成绩中人数最多的，即便被遮盖的3人均为同一分数，该分数的人数也仅为3，远小于12，因此众数一定是100，可以确定。
第三步：判断中位数是否可求
50个数据的中位数是排序后第25、26个数据的平均数。从高分开始累计人数：100分共12人，99分共10人，累计$12+10=22$人；98分共8人，累计$22+8=30$人，说明第23名到第30名的成绩都是98分，因此第25、26名的成绩均为98分，中位数为$\frac{98+98}{2}=98$，可以确定。
第四步：判断平均数、方差是否可求
由于不知道91分、92分各自的人数，无法计算总分数，因此平均数无法求出；方差需要全部数据的具体得分情况，也无法求出。
综上，可求得的统计量是中位数和众数，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
统计量的判断,中位数,众数
【点评】
本题核心是考查对不同统计量定义的理解，解题时不需要求出被遮盖的具体数据，只需结合已知条件判断被遮盖数据对各统计量的影响即可，属于统计部分的基础应用题。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 计算：$3×(\sqrt{3}-π)^0 - \frac{\sqrt{20}-\sqrt{15}}{\sqrt{5}} + (-1)^{2025}$.
11. 计算：$3×(\sqrt{3}-π)^0 - \frac{\sqrt{20}-\sqrt{15}}{\sqrt{5}} + (-1)^{2025}$.
答案
11. $\sqrt{3}$
解析
【分析】
这是一道实数混合运算题，解题时按照“先算乘方，再算乘除，最后算加减”的运算顺序分步计算即可：第一步先计算零指数幂、乘方项，第二步计算二次根式的除法运算，第三步合并各部分的计算结果得到最终答案。计算时要注意各运算法则的适用条件，比如零指数幂的底数不能为0，二次根式除法可以拆分分别计算简化运算。
【解析】
解：原式分步计算如下：
1. 计算零指数幂与乘方项：
因为$\sqrt{3}-π≠0$，所以$(\sqrt{3}-π)^0=1$，则$3×(\sqrt{3}-π)^0=3×1=3$；
$2025$是奇数，所以$(-1)^{2025}=-1$。
2. 计算二次根式除法项：
根据二次根式除法法则$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}}-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a}{c}}-\sqrt{\frac{b}{c}}$（$a,b≥0,c＞0$），可得：
$\frac{\sqrt{20}-\sqrt{15}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{20}{5}}-\sqrt{\frac{15}{5}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$
3. 合并所有项计算最终结果：
原式$=3 - (2 - \sqrt{3}) + (-1)$
$=3 - 2 + \sqrt{3} - 1$
$=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
1. 零指数幂运算
2. 二次根式除法运算
3. 乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查实数混合运算的运算顺序及各专项运算法则的应用，解题时注意二次根式拆分运算可以简化计算过程，避免出错，只要熟练掌握相关法则，认真计算即可得分。
【难度系数】
0.8
这是一道实数混合运算题，解题时按照“先算乘方，再算乘除，最后算加减”的运算顺序分步计算即可：第一步先计算零指数幂、乘方项，第二步计算二次根式的除法运算，第三步合并各部分的计算结果得到最终答案。计算时要注意各运算法则的适用条件，比如零指数幂的底数不能为0，二次根式除法可以拆分分别计算简化运算。
【解析】
解：原式分步计算如下：
1. 计算零指数幂与乘方项：
因为$\sqrt{3}-π≠0$，所以$(\sqrt{3}-π)^0=1$，则$3×(\sqrt{3}-π)^0=3×1=3$；
$2025$是奇数，所以$(-1)^{2025}=-1$。
2. 计算二次根式除法项：
根据二次根式除法法则$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}}-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a}{c}}-\sqrt{\frac{b}{c}}$（$a,b≥0,c＞0$），可得：
$\frac{\sqrt{20}-\sqrt{15}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{20}{5}}-\sqrt{\frac{15}{5}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$
3. 合并所有项计算最终结果：
原式$=3 - (2 - \sqrt{3}) + (-1)$
$=3 - 2 + \sqrt{3} - 1$
$=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
1. 零指数幂运算
2. 二次根式除法运算
3. 乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查实数混合运算的运算顺序及各专项运算法则的应用，解题时注意二次根式拆分运算可以简化计算过程，避免出错，只要熟练掌握相关法则，认真计算即可得分。
【难度系数】
0.8
