登录
12. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ kx^2 - (2k + 4)x + k - 6 = 0 $ 有两个不相等的实数根.
(1) 求 $ k $ 的取值范围；
(2) 当 $ k = 1 $ 时，用配方法解方程.
(1) 求 $ k $ 的取值范围；
(2) 当 $ k = 1 $ 时，用配方法解方程.
答案
12. (1) $k＞-\dfrac{2}{5}$且$k≠0$
(2) $x_1=3+\sqrt{14}$，$x_2=3-\sqrt{14}$
(2) $x_1=3+\sqrt{14}$，$x_2=3-\sqrt{14}$
解析
【分析】
(1) 解题思路：题目明确给出是一元二次方程，首先要满足二次项系数不为0的前提条件；又因为方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，可知根的判别式Δ＞0，联立两个条件即可求出k的取值范围。
(2) 解题思路：先将k=1代入原方程得到具体的一元二次方程，再按照配方法的标准步骤求解：先把二次项系数化为1，再移项将常数项移到等号右侧，接着等号两边同时加一次项系数一半的平方，把方程左边配成完全平方式，最后开方求出方程的根即可。
【解析】
(1) 解：
∵ 方程$kx^2 - (2k + 4)x + k - 6 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k ≠ 0$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=k$，$b=-(2k+4)$，$c=k-6$，代入得：
$\Delta = [-(2k+4)]^2 - 4 · k · (k-6)$
$=4k^2 + 16k + 16 - 4k^2 + 24k$
$=40k + 16$
令$40k + 16 ＞ 0$，解得$k ＞ -\dfrac{2}{5}$
综上，$k$的取值范围是$k ＞ -\dfrac{2}{5}$且$k ≠ 0$
(2) 解：当$k=1$时，代入原方程得：
$x^2 - (2×1 + 4)x + 1 - 6 = 0$
化简得$x^2 - 6x - 5 = 0$
移项，得$x^2 - 6x = 5$
配方，两边同时加上$9$（一次项系数$-6$一半的平方），得：
$x^2 - 6x + 9 = 5 + 9$
即$(x - 3)^2 = 14$
开平方，得$x - 3 = \pm \sqrt{14}$
解得$x_1 = 3 + \sqrt{14}$，$x_2 = 3 - \sqrt{14}$
【答案】
(1) $k＞-\dfrac{2}{5}$且$k≠0$
(2) $x_1=3+\sqrt{14}$，$x_2=3-\sqrt{14}$
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；配方法解方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，考查相关性质与解法，第一问求解时很容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，需要格外注意；第二问要熟练掌握配方法的标准步骤，计算时注意符号即可。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：题目明确给出是一元二次方程，首先要满足二次项系数不为0的前提条件；又因为方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，可知根的判别式Δ＞0，联立两个条件即可求出k的取值范围。
(2) 解题思路：先将k=1代入原方程得到具体的一元二次方程，再按照配方法的标准步骤求解：先把二次项系数化为1，再移项将常数项移到等号右侧，接着等号两边同时加一次项系数一半的平方，把方程左边配成完全平方式，最后开方求出方程的根即可。
【解析】
(1) 解：
∵ 方程$kx^2 - (2k + 4)x + k - 6 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k ≠ 0$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=k$，$b=-(2k+4)$，$c=k-6$，代入得：
$\Delta = [-(2k+4)]^2 - 4 · k · (k-6)$
$=4k^2 + 16k + 16 - 4k^2 + 24k$
$=40k + 16$
令$40k + 16 ＞ 0$，解得$k ＞ -\dfrac{2}{5}$
综上，$k$的取值范围是$k ＞ -\dfrac{2}{5}$且$k ≠ 0$
(2) 解：当$k=1$时，代入原方程得：
$x^2 - (2×1 + 4)x + 1 - 6 = 0$
化简得$x^2 - 6x - 5 = 0$
移项，得$x^2 - 6x = 5$
配方，两边同时加上$9$（一次项系数$-6$一半的平方），得：
$x^2 - 6x + 9 = 5 + 9$
即$(x - 3)^2 = 14$
开平方，得$x - 3 = \pm \sqrt{14}$
解得$x_1 = 3 + \sqrt{14}$，$x_2 = 3 - \sqrt{14}$
【答案】
(1) $k＞-\dfrac{2}{5}$且$k≠0$
(2) $x_1=3+\sqrt{14}$，$x_2=3-\sqrt{14}$
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；配方法解方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，考查相关性质与解法，第一问求解时很容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，需要格外注意；第二问要熟练掌握配方法的标准步骤，计算时注意符号即可。
【难度系数】
0.7
13. 如图,某小区矩形绿地相邻两边长分别为 35 m, 15 m.现计划对其进行扩充,将绿地的相邻两边长增加相同的长度后,得到一个新的矩形绿地.
（1）若扩充后的矩形绿地面积为 $800 \ \mathrm{m}^2$,求新的矩形绿地相邻两边长；
（2）扩充后,实地测量发现新的矩形绿地的相邻两边长之比为 $5:3$.求新的矩形绿地面积.
（1）若扩充后的矩形绿地面积为 $800 \ \mathrm{m}^2$,求新的矩形绿地相邻两边长；
（2）扩充后,实地测量发现新的矩形绿地的相邻两边长之比为 $5:3$.求新的矩形绿地面积.
答案
13. (1) 新的矩形绿地相邻两边长分别为 40 m,20 m
(2) $1\ 500\ \mathrm{m}^2$
(2) $1\ 500\ \mathrm{m}^2$
解析
【分析】
本题属于方程在几何面积问题中的实际应用题，解题思路如下：（1）先设两边增加的相同长度为未知数，用含未知数的式子表示扩充后矩形的长和宽，结合矩形面积公式列方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到新矩形的边长；（2）同样设增加的长度为未知数，根据扩充后两边的比例关系列比例式，求解未知数后计算新矩形的长和宽，再代入面积公式计算即可。
【解析】
（1）设相邻两边增加的相同长度为$ x \, \mathrm{m} $，则扩充后矩形的相邻两边长分别为$ (35+x) \, \mathrm{m} $、$ (15+x) \, \mathrm{m} $。
根据题意列方程：
$ (35+x)(15+x) = 800 $
展开整理得：
$ x^2 +50x -275 =0 $
因式分解得：
$ (x+55)(x-5)=0 $
解得$ x_1=5 $，$ x_2=-55 $，因为增加的长度不能为负，故舍去$ x_2=-55 $。
因此新矩形的边长为：$ 35+5=40 \, \mathrm{m} $，$ 15+5=20 \, \mathrm{m} $。
（2）设相邻两边增加的相同长度为$ y \, \mathrm{m} $，扩充后矩形的长为$ (35+y) \, \mathrm{m} $，宽为$ (15+y) \, \mathrm{m} $，由边长比为$5:3$列比例式：
$ \frac{35+y}{15+y} = \frac{5}{3} $
交叉相乘得：
$ 3(35+y)=5(15+y) $
展开整理得：
$ 2y=30 $
解得$ y=15 $。
新矩形的长为$ 35+15=50 \, \mathrm{m} $，宽为$ 15+15=30 \, \mathrm{m} $，面积为：
$ 50 × 30 = 1500 \, \mathrm{m}^2 $
【答案】
(1) 新的矩形绿地相邻两边长分别为40 m，20 m；
(2) $ 1500 \, \mathrm{m}^2 $
【知识点】
一元二次方程应用，比例的性质，矩形面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查方程的实际应用，解题核心是找准等量关系列方程，求解后要注意结合实际情况检验根的合理性，属于常规基础应用题。
【难度系数】
0.7
本题属于方程在几何面积问题中的实际应用题，解题思路如下：（1）先设两边增加的相同长度为未知数，用含未知数的式子表示扩充后矩形的长和宽，结合矩形面积公式列方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到新矩形的边长；（2）同样设增加的长度为未知数，根据扩充后两边的比例关系列比例式，求解未知数后计算新矩形的长和宽，再代入面积公式计算即可。
【解析】
（1）设相邻两边增加的相同长度为$ x \, \mathrm{m} $，则扩充后矩形的相邻两边长分别为$ (35+x) \, \mathrm{m} $、$ (15+x) \, \mathrm{m} $。
根据题意列方程：
$ (35+x)(15+x) = 800 $
展开整理得：
$ x^2 +50x -275 =0 $
因式分解得：
$ (x+55)(x-5)=0 $
解得$ x_1=5 $，$ x_2=-55 $，因为增加的长度不能为负，故舍去$ x_2=-55 $。
因此新矩形的边长为：$ 35+5=40 \, \mathrm{m} $，$ 15+5=20 \, \mathrm{m} $。
（2）设相邻两边增加的相同长度为$ y \, \mathrm{m} $，扩充后矩形的长为$ (35+y) \, \mathrm{m} $，宽为$ (15+y) \, \mathrm{m} $，由边长比为$5:3$列比例式：
$ \frac{35+y}{15+y} = \frac{5}{3} $
交叉相乘得：
$ 3(35+y)=5(15+y) $
展开整理得：
$ 2y=30 $
解得$ y=15 $。
新矩形的长为$ 35+15=50 \, \mathrm{m} $，宽为$ 15+15=30 \, \mathrm{m} $，面积为：
$ 50 × 30 = 1500 \, \mathrm{m}^2 $
【答案】
(1) 新的矩形绿地相邻两边长分别为40 m，20 m；
(2) $ 1500 \, \mathrm{m}^2 $
【知识点】
一元二次方程应用，比例的性质，矩形面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查方程的实际应用，解题核心是找准等量关系列方程，求解后要注意结合实际情况检验根的合理性，属于常规基础应用题。
【难度系数】
0.7
