14. 如图,在$□ ABCD$的各边$AB$,$BC$,$CD$,$DA$上,分别取点$Q$,$M$,$N$,$P$,使$BM=DP$,$CN=AQ$. 求证:四边形$MNPQ$为平行四边形.

14. $\because$ 四边形ABCD 是平行四边形，$\therefore ∠ B=∠ D$，$AB=CD$. $\because AQ=CN$，$\therefore AB-AQ=CD-CN$，即$BQ=DN$.又 $\because BM=DP$，$\therefore △ BMQ ≌ △ DPN$. $\therefore MQ=PN$.同理，可得$PQ=MN$.
$\therefore$ 四边形$MNPQ$为平行四边形

【分析】
要证明四边形MNPQ是平行四边形，可选择“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”这一判定定理来推导。首先利用平行四边形ABCD对角相等、对边相等的性质，结合已知的BM=DP、CN=AQ的条件，先证明△BMQ和△DPN全等，得到一组对边MQ=PN；再用相同的思路证明另一组对边PQ=MN，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠B=∠D，AB=CD，∠A=∠C，AD=BC。
∵ AQ=CN，
∴ AB - AQ = CD - CN，即BQ=DN。
在△BMQ和△DPN中：
$\begin{cases} BM=DP \\ ∠ B=∠ D \\ BQ=DN \end{cases}$
∴ △BMQ ≌ △DPN（SAS），
∴ MQ=PN。
同理，由AD=BC，BM=DP可得AD-DP=BC-BM，即AP=CM，
在△APQ和△CMN中：
$\begin{cases} AQ=CN \\ ∠ A=∠ C \\ AP=CM \end{cases}$
∴ △APQ ≌ △CMN（SAS），
∴ PQ=MN。
∵ 四边形MNPQ的两组对边分别相等：MQ=PN，PQ=MN，
∴ 四边形MNPQ为平行四边形。
【答案】
$\because$ 四边形ABCD 是平行四边形，$\therefore ∠ B=∠ D$，$AB=CD$. $\because AQ=CN$，$\therefore AB-AQ=CD-CN$，即$BQ=DN$.又 $\because BM=DP$，$\therefore △ BMQ ≌ △ DPN$. $\therefore MQ=PN$.同理，可得$PQ=MN$.$\therefore$ 四边形$MNPQ$为平行四边形
【知识点】
平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础证明题，主要考察平行四边形相关定理和全等三角形的综合应用，解题的关键是结合已知条件构造全等三角形得到对边相等的关系，熟练掌握相关定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

15. 为了比较市场上甲、乙两种电子钟每日走时误差的情况，从这两种电子钟中，各随机抽取10台进行测试，两种电子钟走时误差情况如下表所示（其中正数表示比标准的电子钟要快）：
| 编 号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲种走时误差/s | 4 | -3 | -1 | 2图1 | -2 | 1 | -2 | 2 | -2 | 1 |
| 乙种走时误差/s | 2 | -3 | -3 | 4 | 1 | -2 | 1 | -1 | -1 | 2 |
(1) 计算甲、乙两种电子钟走时误差的平均数；
(2) 计算甲、乙两种电子钟走时误差的方差；
(3) 根据经验，走时稳定性较好的电子钟质量更优.若两种类型的电子钟价格相同，你会买哪种电子钟？为什么？

15. (1) $\overline x_甲=0\ \mathrm{s}$，$\overline x_乙=0\ \mathrm{s}$
(2) $s^2_甲=4.8$，$s^2_乙=5$
(3) 选甲种电子钟.理由：$\because s^2_甲＜s^2_乙$，$\therefore$ 甲种电子钟走时稳定性较好

【分析】
本题围绕平均数、方差的计算及实际应用展开，解题思路如下：(1)计算平均数时，先分别求出甲、乙两种电子钟10台走时误差的总和，再除以样本数量10即可得到各自的平均数；(2)计算方差时，根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入求得的平均数和各误差数据计算即可；(3)方差是衡量数据波动大小的统计量，方差越小说明数据越稳定，对比甲乙的方差大小，选择方差更小的电子钟即可。
【解析】
(1) 计算甲种电子钟走时误差的平均数：
$\overline{x}_甲=\frac{1}{10}×(4-3-1+2-2+1-2+2-2+1)=\frac{1}{10}×0=0\ \mathrm{s}$
计算乙种电子钟走时误差的平均数：
$\overline{x}_乙=\frac{1}{10}×(2-3-3+4+1-2+1-1-1+2)=\frac{1}{10}×0=0\ \mathrm{s}$
(2) 计算甲种电子钟走时误差的方差：
$s^2_甲=\frac{1}{10}×[(4-0)^2+(-3-0)^2+(-1-0)^2+(2-0)^2+(-2-0)^2+(1-0)^2+(-2-0)^2+(2-0)^2+(-2-0)^2+(1-0)^2]$
$=\frac{1}{10}×(16+9+1+4+4+1+4+4+4+1)=\frac{48}{10}=4.8$
计算乙种电子钟走时误差的方差：
$s^2_乙=\frac{1}{10}×[(2-0)^2+(-3-0)^2+(-3-0)^2+(4-0)^2+(1-0)^2+(-2-0)^2+(1-0)^2+(-1-0)^2+(-1-0)^2+(2-0)^2]$
$=\frac{1}{10}×(4+9+9+16+1+4+1+1+1+4)=\frac{50}{10}=5$
(3) 选择甲种电子钟：因为$s^2_甲=4.8＜s^2_乙=5$，说明甲种电子钟走时误差的波动更小，走时稳定性更好，因此选择甲种电子钟。
【答案】
(1) $\overline x_甲=0\ \mathrm{s}$，$\overline x_乙=0\ \mathrm{s}$
(2) $s^2_甲=4.8$，$s^2_乙=5$
(3) 选甲种电子钟，理由：$\because s^2_甲＜s^2_乙$，$\therefore$ 甲种电子钟走时稳定性较好
【知识点】
平均数的计算、方差的计算、方差的意义
【点评】
本题结合生活实际考查统计量的应用，解题关键是熟练掌握平均数和方差的计算方法，理解方差越小数据稳定性越强的性质，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7