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一、填空题
1. 计算$\sqrt{12} × \sqrt{\dfrac{1}{3}}$的结果是________.
1. 计算$\sqrt{12} × \sqrt{\dfrac{1}{3}}$的结果是________.
答案
1. 2
解析
【分析】
解题时有两种常见思路：思路一，先利用二次根式的乘法法则$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），将两个二次根式合并为一个二次根式，再化简求值；思路二，先分别把两个二次根式化为最简二次根式，再计算乘法，最后约分得到结果，两种方法都可灵活选择。
【解析】
方法1：利用二次根式乘法法则计算
根据二次根式乘法运算法则$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得：
原式$=\sqrt{12 × \dfrac{1}{3}}=\sqrt{4}=2$
方法2：先化简再计算
先化简两个二次根式：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
再计算乘法：原式$=2\sqrt{3} × \dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2× (\sqrt{3} × \sqrt{3})}{3}=\dfrac{2×3}{3}=2$
【答案】
2
【知识点】
二次根式的乘法法则、二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式的乘法运算规则，无论是先合并再化简还是先化简再计算，只要掌握基本运算规则就能顺利解答，计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.9
解题时有两种常见思路：思路一，先利用二次根式的乘法法则$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），将两个二次根式合并为一个二次根式，再化简求值；思路二，先分别把两个二次根式化为最简二次根式，再计算乘法，最后约分得到结果，两种方法都可灵活选择。
【解析】
方法1：利用二次根式乘法法则计算
根据二次根式乘法运算法则$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得：
原式$=\sqrt{12 × \dfrac{1}{3}}=\sqrt{4}=2$
方法2：先化简再计算
先化简两个二次根式：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
再计算乘法：原式$=2\sqrt{3} × \dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2× (\sqrt{3} × \sqrt{3})}{3}=\dfrac{2×3}{3}=2$
【答案】
2
【知识点】
二次根式的乘法法则、二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式的乘法运算规则，无论是先合并再化简还是先化简再计算，只要掌握基本运算规则就能顺利解答，计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.9
2. 观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；….若此类勾股数的勾为$2m$（$m≥ 3$，$m$为正整数），则其弦是________.（结果用含$m$的式子表示）
答案
2. $m^2+1$
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的勾股数特征：勾为偶数$2m$，弦比股大2，结合勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”来推导。我们可以先设股为未知数，根据弦和股的数量关系表示出弦，再代入勾股定理列方程，化简后就能求出弦的表达式。
【解析】
根据题意可知，此类勾股数中：勾为$2m$，弦比股大2，且弦是三边长中最长的边。
设股为$a$，则弦可表示为$a+2$。
根据勾股定理可得：
$(2m)^2 + a^2 = (a+2)^2$
展开等式右边：
$4m^2 + a^2 = a^2 + 4a + 4$
两边同时消去$a^2$，整理得：
$4m^2 = 4a + 4$
等式两边同时除以4：
$m^2 = a + 1$
解得股$a = m^2 - 1$，则弦为$a+2 = (m^2 -1) +2 = m^2 +1$。
【答案】
$m^2+1$
【知识点】
勾股定理；整式运算；列方程求解
【点评】
本题结合勾股数的规律考查勾股定理的应用，解题关键是抓住弦与股的数量关系设未知数，再代入勾股定理化简推导，计算时要注意整式展开的正确性，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题目给出的勾股数特征：勾为偶数$2m$，弦比股大2，结合勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”来推导。我们可以先设股为未知数，根据弦和股的数量关系表示出弦，再代入勾股定理列方程，化简后就能求出弦的表达式。
【解析】
根据题意可知，此类勾股数中：勾为$2m$，弦比股大2，且弦是三边长中最长的边。
设股为$a$，则弦可表示为$a+2$。
根据勾股定理可得：
$(2m)^2 + a^2 = (a+2)^2$
展开等式右边：
$4m^2 + a^2 = a^2 + 4a + 4$
两边同时消去$a^2$，整理得：
$4m^2 = 4a + 4$
等式两边同时除以4：
$m^2 = a + 1$
解得股$a = m^2 - 1$，则弦为$a+2 = (m^2 -1) +2 = m^2 +1$。
【答案】
$m^2+1$
【知识点】
勾股定理；整式运算；列方程求解
【点评】
本题结合勾股数的规律考查勾股定理的应用，解题关键是抓住弦与股的数量关系设未知数，再代入勾股定理化简推导，计算时要注意整式展开的正确性，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.7
3. 若方程$x^2 - x - 3 = 0$的两实数根分别为$x_1, x_2$，则$x_1 + x_2 - x_1x_2$的值为________.
答案
3. 4
解析
【分析】
要计算代数式$x_1 + x_2 - x_1x_2$的值，无需分别求解方程的两个实根，可直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）快速计算。首先确定给定一元二次方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$和常数项$c$，再根据韦达定理分别求出两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$，最后代入待求代数式计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两实数根为$x_1$、$x_2$，则有根与系数关系：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
在方程$x^2 - x - 3 = 0$中，$a=1$，$b=-1$，$c=-3$，代入公式可得：
$x_1+x_2=-\frac{-1}{1}=1$
$x_1x_2=\frac{-3}{1}=-3$
将上述结果代入$x_1 + x_2 - x_1x_2$计算：
原式$=1 - (-3)=1+3=4$
【答案】
4
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式代入求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，无需解方程即可快速得到结果，解题时需注意系数的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
要计算代数式$x_1 + x_2 - x_1x_2$的值，无需分别求解方程的两个实根，可直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）快速计算。首先确定给定一元二次方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$和常数项$c$，再根据韦达定理分别求出两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$，最后代入待求代数式计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两实数根为$x_1$、$x_2$，则有根与系数关系：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
在方程$x^2 - x - 3 = 0$中，$a=1$，$b=-1$，$c=-3$，代入公式可得：
$x_1+x_2=-\frac{-1}{1}=1$
$x_1x_2=\frac{-3}{1}=-3$
将上述结果代入$x_1 + x_2 - x_1x_2$计算：
原式$=1 - (-3)=1+3=4$
【答案】
4
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式代入求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，无需解方程即可快速得到结果，解题时需注意系数的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
4. 如图，在$□ ABCD$中，AC，BD相交于点O，E是AB的中点，$OE=3\ \mathrm{cm}$，则AD的长是$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.
答案
4. 6
解析
【分析】
解题时先从已知的平行四边形条件入手，回忆平行四边形对角线互相平分的性质，可得对角线交点O是BD的中点；再结合E是AB中点的条件，可判断OE是△ABD的中位线，根据三角形中位线等于第三边一半的性质，就能求出AD的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，
∴O是BD的中点（平行四边形对角线互相平分），
又
∵E是AB的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴$OE=\frac{1}{2}AD$，
已知$OE=3\ \mathrm{cm}$，
∴$AD=2OE=2×3=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
6
【知识点】
平行四边形的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础几何题，将平行四边形的对角线性质和三角形中位线定理结合考查，解题关键是判断出OE为三角形的中位线，熟练掌握相关性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的平行四边形条件入手，回忆平行四边形对角线互相平分的性质，可得对角线交点O是BD的中点；再结合E是AB中点的条件，可判断OE是△ABD的中位线，根据三角形中位线等于第三边一半的性质，就能求出AD的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，
∴O是BD的中点（平行四边形对角线互相平分），
又
∵E是AB的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴$OE=\frac{1}{2}AD$，
已知$OE=3\ \mathrm{cm}$，
∴$AD=2OE=2×3=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
6
【知识点】
平行四边形的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础几何题，将平行四边形的对角线性质和三角形中位线定理结合考查，解题关键是判断出OE为三角形的中位线，熟练掌握相关性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
5. 一组数据为－1，0，2，3，x，其中这组数据的最大值与最小值之差是 5，那么这组数据的平均数是
1.6或0.4
.答案
5. 1.6或0.4
解析
【分析】
首先明确题目中最大值与最小值的差为5，先观察已知的四个数-1、0、2、3，它们的最大值是3，最小值是-1，差值为4，小于5，说明未知的x要么是这组数据的最大值，要么是最小值，因此需要分两种情况讨论计算x的值，再分别代入计算平均数即可。
【解析】
已知数据：-1，0，2，3，x，最大值与最小值的差为5。
先计算已知数的最大、最小差值：$3 - (-1) = 4 ＜ 5$，因此x为最大值或最小值，分两种情况讨论：
① 当x是最大值时，最小值为-1，可得：
$x - (-1) = 5$
解得$x = 4$
此时这组数据的平均数为：$\frac{-1 + 0 + 2 + 3 + 4}{5} = \frac{8}{5} = 1.6$
② 当x是最小值时，最大值为3，可得：
$3 - x = 5$
解得$x = -2$
此时这组数据的平均数为：$\frac{-2 + (-1) + 0 + 2 + 3}{5} = \frac{2}{5} = 0.4$
综上，这组数据的平均数是1.6或0.4。
【答案】
1.6或0.4
【知识点】
极差的概念，平均数的计算，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查统计中极差和平均数的基本计算，解题的关键是不要忽略x的两种可能取值，避免因漏解导致出错。
【难度系数】
0.6
首先明确题目中最大值与最小值的差为5，先观察已知的四个数-1、0、2、3，它们的最大值是3，最小值是-1，差值为4，小于5，说明未知的x要么是这组数据的最大值，要么是最小值，因此需要分两种情况讨论计算x的值，再分别代入计算平均数即可。
【解析】
已知数据：-1，0，2，3，x，最大值与最小值的差为5。
先计算已知数的最大、最小差值：$3 - (-1) = 4 ＜ 5$，因此x为最大值或最小值，分两种情况讨论：
① 当x是最大值时，最小值为-1，可得：
$x - (-1) = 5$
解得$x = 4$
此时这组数据的平均数为：$\frac{-1 + 0 + 2 + 3 + 4}{5} = \frac{8}{5} = 1.6$
② 当x是最小值时，最大值为3，可得：
$3 - x = 5$
解得$x = -2$
此时这组数据的平均数为：$\frac{-2 + (-1) + 0 + 2 + 3}{5} = \frac{2}{5} = 0.4$
综上，这组数据的平均数是1.6或0.4。
【答案】
1.6或0.4
【知识点】
极差的概念，平均数的计算，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查统计中极差和平均数的基本计算，解题的关键是不要忽略x的两种可能取值，避免因漏解导致出错。
【难度系数】
0.6
6. 若$\sqrt{(x-1)^2}=1-x$，则$x$的取值范围是(
A.$x＞1$
B.$x≥1$
C.$x＜1$
D.$x≤1$
D
).A.$x＞1$
B.$x≥1$
C.$x＜1$
D.$x≤1$
答案
6. D
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式的相关性质，看到$\sqrt{a^2}$的形式要先转化为$|a|$，因此本题先把等式左边的二次根式化简为绝对值形式，再结合绝对值的代数意义列不等式求解即可。
【解析】
根据二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|$
因此原等式可转化为：$|x-1|=1-x$
根据绝对值的性质：若$|a|=-a$，则$a≤0$，此处$1-x=-(x-1)$，因此可得：
$x-1≤0$
解不等式得：$x≤1$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次根式的性质 2. 绝对值的意义 3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础类题型，重点考察二次根式性质与绝对值性质的结合运用，解题的核心是熟练掌握相关性质，易错点是容易遗漏$x=1$的情况，误选C选项。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次根式的相关性质，看到$\sqrt{a^2}$的形式要先转化为$|a|$，因此本题先把等式左边的二次根式化简为绝对值形式，再结合绝对值的代数意义列不等式求解即可。
【解析】
根据二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|$
因此原等式可转化为：$|x-1|=1-x$
根据绝对值的性质：若$|a|=-a$，则$a≤0$，此处$1-x=-(x-1)$，因此可得：
$x-1≤0$
解不等式得：$x≤1$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次根式的性质 2. 绝对值的意义 3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础类题型，重点考察二次根式性质与绝对值性质的结合运用，解题的核心是熟练掌握相关性质，易错点是容易遗漏$x=1$的情况，误选C选项。
【难度系数】
0.8
7. 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°$, 通过尺规作图得到 $AB$ 的垂直平分线 $MN$, $MN$ 分别交 $AB$, $AC$ 于点 $D$, $E$. 连接 $CD$, 若 $CE=\dfrac{1}{3}AE=1$, 则 $CD$ 的长为(
A.$2$
B.$3$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{6}$
D
).A.$2$
B.$3$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{6}$
答案
7. D
解析
【分析】
解题可按以下步骤思考：①先根据$CE=\dfrac{1}{3}AE=1$，求出AE和AC的长度；②利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$EA=EB$，求出EB的长度；③在$Rt△BCE$中用勾股定理求出$BC$的平方；④在$Rt△ABC$中用勾股定理求出斜边$AB$的长度；⑤最后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可求出$CD$的长度。
【解析】
∵ $CE = \dfrac{1}{3}AE = 1$，
∴ $AE = 3$，$AC = AE + CE = 3 + 1 = 4$。
∵ $MN$是$AB$的垂直平分线，点$E$在$MN$上，
∴ $EB = EA = 3$。
在$Rt△BCE$中，$∠ACB=90°$，由勾股定理得：
$BC^2 = EB^2 - CE^2 = 3^2 - 1^2 = 8$。
在$Rt△ABC$中，由勾股定理得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 4^2 + 8 = 24$，
∴ $AB = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$。
∵ $D$是$AB$的中点，$△ABC$是直角三角形，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴ $CD = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2} × 2\sqrt{6} = \sqrt{6}$。
【答案】
D
【知识点】
垂直平分线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质得到相等线段，再结合勾股定理、直角三角形斜边中线的性质逐步推导求解，考查了学生对基础几何定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
解题可按以下步骤思考：①先根据$CE=\dfrac{1}{3}AE=1$，求出AE和AC的长度；②利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$EA=EB$，求出EB的长度；③在$Rt△BCE$中用勾股定理求出$BC$的平方；④在$Rt△ABC$中用勾股定理求出斜边$AB$的长度；⑤最后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可求出$CD$的长度。
【解析】
∵ $CE = \dfrac{1}{3}AE = 1$，
∴ $AE = 3$，$AC = AE + CE = 3 + 1 = 4$。
∵ $MN$是$AB$的垂直平分线，点$E$在$MN$上，
∴ $EB = EA = 3$。
在$Rt△BCE$中，$∠ACB=90°$，由勾股定理得：
$BC^2 = EB^2 - CE^2 = 3^2 - 1^2 = 8$。
在$Rt△ABC$中，由勾股定理得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 4^2 + 8 = 24$，
∴ $AB = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$。
∵ $D$是$AB$的中点，$△ABC$是直角三角形，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴ $CD = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2} × 2\sqrt{6} = \sqrt{6}$。
【答案】
D
【知识点】
垂直平分线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质得到相等线段，再结合勾股定理、直角三角形斜边中线的性质逐步推导求解，考查了学生对基础几何定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
8. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + 2x + 2 - c = 0 $ 有两个相等的实数根，则 $ \frac{1}{a} + c $ 的值等于（
A.0
B.1
C.2
D.无法确定
C
）.A.0
B.1
C.2
D.无法确定
答案
8. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确两个前提条件：一是该方程为一元二次方程，因此二次项系数$a ≠ 0$；二是方程有两个相等的实数根，对应一元二次方程根的判别式$\Delta = 0$。我们先代入系数写出判别式的等式，再对等式进行变形，最终推导出$\frac{1}{a} + c$的值即可。
【解析】
∵ 方程$ax^2 + 2x + 2 - c = 0$是一元二次方程
∴ $a ≠ 0$
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，其中二次项系数为$a$，一次项系数$b=2$，常数项为$2 - c$
代入得：$2^2 - 4 × a × (2 - c) = 0$
整理：$4 - 4a(2 - c) = 0$
两边同时除以4得：$1 - a(2 - c) = 0$
展开括号：$1 - 2a + ac = 0$
移项得：$ac + 1 = 2a$
∵ $a ≠ 0$，等式两边同时除以$a$得：$c + \frac{1}{a} = 2$，即$\frac{1}{a} + c = 2$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式，代数式变形
【点评】
本题是一元二次方程相关的基础题型，核心考查根的判别式的应用，解题时需注意不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，通过判别式列等式后做简单的代数变形即可求出结果，是考试中常出现的基础得分题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确两个前提条件：一是该方程为一元二次方程，因此二次项系数$a ≠ 0$；二是方程有两个相等的实数根，对应一元二次方程根的判别式$\Delta = 0$。我们先代入系数写出判别式的等式，再对等式进行变形，最终推导出$\frac{1}{a} + c$的值即可。
【解析】
∵ 方程$ax^2 + 2x + 2 - c = 0$是一元二次方程
∴ $a ≠ 0$
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，其中二次项系数为$a$，一次项系数$b=2$，常数项为$2 - c$
代入得：$2^2 - 4 × a × (2 - c) = 0$
整理：$4 - 4a(2 - c) = 0$
两边同时除以4得：$1 - a(2 - c) = 0$
展开括号：$1 - 2a + ac = 0$
移项得：$ac + 1 = 2a$
∵ $a ≠ 0$，等式两边同时除以$a$得：$c + \frac{1}{a} = 2$，即$\frac{1}{a} + c = 2$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式，代数式变形
【点评】
本题是一元二次方程相关的基础题型，核心考查根的判别式的应用，解题时需注意不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，通过判别式列等式后做简单的代数变形即可求出结果，是考试中常出现的基础得分题。
【难度系数】
0.8
