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9. 在$□ ABCD$中，$AC$，$BD$是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出$□ ABCD$是矩形，那么这个条件可以是（
A.$AB=BC$
B.$AC=BD$
C.$AC ⊥ BD$
D.$AB ⊥ BD$
B
）.A.$AB=BC$
B.$AC=BD$
C.$AC ⊥ BD$
D.$AB ⊥ BD$
答案
9. B
解析
【分析】
首先明确已知条件：四边形ABCD是平行四边形，要推出它是矩形，需结合矩形的判定定理分析各选项：矩形在平行四边形基础上的判定条件为“有一个内角是直角”或“对角线相等”，据此逐一判断每个选项是否符合要求即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，逐一分析选项：
A. 若AB=BC，即一组邻边相等，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可知此时平行四边形ABCD是菱形，不符合要求；
B. 若AC=BD，即对角线相等，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可知此时平行四边形ABCD是矩形，符合要求；
C. 若AC⊥BD，即对角线互相垂直，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可知此时平行四边形ABCD是菱形，不符合要求；
D. 若AB⊥BD，仅能得到∠ABD=90°，无法推出平行四边形的内角为直角，不满足矩形的判定条件，不符合要求。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定，解题关键是熟记平行四边形转化为矩形、菱形的不同判定条件，注意区分对角线相等和对角线垂直分别对应的特殊平行四边形类型，避免混淆判定定理。
【难度系数】
0.8
首先明确已知条件：四边形ABCD是平行四边形，要推出它是矩形，需结合矩形的判定定理分析各选项：矩形在平行四边形基础上的判定条件为“有一个内角是直角”或“对角线相等”，据此逐一判断每个选项是否符合要求即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，逐一分析选项：
A. 若AB=BC，即一组邻边相等，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可知此时平行四边形ABCD是菱形，不符合要求；
B. 若AC=BD，即对角线相等，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可知此时平行四边形ABCD是矩形，符合要求；
C. 若AC⊥BD，即对角线互相垂直，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可知此时平行四边形ABCD是菱形，不符合要求；
D. 若AB⊥BD，仅能得到∠ABD=90°，无法推出平行四边形的内角为直角，不满足矩形的判定条件，不符合要求。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定，解题关键是熟记平行四边形转化为矩形、菱形的不同判定条件，注意区分对角线相等和对角线垂直分别对应的特殊平行四边形类型，避免混淆判定定理。
【难度系数】
0.8
10. 在一次投掷实心球训练中，小丽同学5次投掷的成绩(单位：m)分别为6，8，9，8，9，关于这组数据说法不正确的是(
A.最大值与最小值的差是3
B.平均数是8
C.众数是8和9
D.中位数是9
D
).A.最大值与最小值的差是3
B.平均数是8
C.众数是8和9
D.中位数是9
答案
10. D
解析
【分析】
这道题考查极差、平均数、众数、中位数四个常见统计量的计算与判断，解题思路是先将数据从小到大排序，再分别计算四个统计量，逐一对应选项判断正误，选出说法错误的选项。
【解析】
首先将这组数据从小到大排列：6，8，8，9，9，逐一分析选项：
A. 最大值是9，最小值是6，二者的差为9-6=3，该选项说法正确，不符合题意；
B. 平均数为$\frac{6+8+8+9+9}{5}=\frac{40}{5}=8$，该选项说法正确，不符合题意；
C. 8和9都出现了2次，出现次数并列最多，所以众数是8和9，该选项说法正确，不符合题意；
D. 这组数据共5个（奇数个），排序后第3个数据为中位数，即中位数是8，不是9，该选项说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
极差计算，平均数计算，中位数与众数
【点评】
本题属于基础题，核心考查各类统计量的定义和计算方法，解题时注意计算中位数需要先将数据按大小顺序排列，再根据数据个数的奇偶性确定中位数。
【难度系数】
0.8
这道题考查极差、平均数、众数、中位数四个常见统计量的计算与判断，解题思路是先将数据从小到大排序，再分别计算四个统计量，逐一对应选项判断正误，选出说法错误的选项。
【解析】
首先将这组数据从小到大排列：6，8，8，9，9，逐一分析选项：
A. 最大值是9，最小值是6，二者的差为9-6=3，该选项说法正确，不符合题意；
B. 平均数为$\frac{6+8+8+9+9}{5}=\frac{40}{5}=8$，该选项说法正确，不符合题意；
C. 8和9都出现了2次，出现次数并列最多，所以众数是8和9，该选项说法正确，不符合题意；
D. 这组数据共5个（奇数个），排序后第3个数据为中位数，即中位数是8，不是9，该选项说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
极差计算，平均数计算，中位数与众数
【点评】
本题属于基础题，核心考查各类统计量的定义和计算方法，解题时注意计算中位数需要先将数据按大小顺序排列，再根据数据个数的奇偶性确定中位数。
【难度系数】
0.8
三、解答题
11. 在改造旧小区时，某市2023年投入资金1000万元，2025年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同.
（1）求该市改造旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2025年旧小区改造时，平均每个小区改造需花费80万元.2026年为提高旧小区品质，计划每个小区改造费用增加15%.如果投入资金年平均增长率保持不变，求该市在2026年最多可以改造多少个旧小区？
11. 在改造旧小区时，某市2023年投入资金1000万元，2025年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同.
（1）求该市改造旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2025年旧小区改造时，平均每个小区改造需花费80万元.2026年为提高旧小区品质，计划每个小区改造费用增加15%.如果投入资金年平均增长率保持不变，求该市在2026年最多可以改造多少个旧小区？
答案
11. (1) 设该市改造旧小区投入资金的年平均增长率为$x$.由题意,得$1\ 000(1+x)^2=1\ 440$.解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$(不合题意,舍去).所以该市改造旧小区投入资金的年平均增长率为$20\%$
(2) 设该市2026年可以改造$y$个旧小区.由题意,得$80×(1+15\%)y≤1\ 440×(1+20\%)$.解得$y≤\dfrac{432}{23}$.$\because y$为整数,$\therefore y$的最大值为18.所以该市在2026年最多可以改造18个旧小区
(2) 设该市2026年可以改造$y$个旧小区.由题意,得$80×(1+15\%)y≤1\ 440×(1+20\%)$.解得$y≤\dfrac{432}{23}$.$\because y$为整数,$\therefore y$的最大值为18.所以该市在2026年最多可以改造18个旧小区
解析
【分析】
（1）本题属于增长率类应用题，解题核心是掌握增长率公式：现期量=基期量×(1+增长率)$^n$，其中$n$为增长的年数。已知2023年（基期）投入1000万元，经过2年增长到2025年的1440万元，设年平均增长率为$x$，代入公式列一元二次方程求解即可，注意增长率不能为负，需舍去不符合实际的负根。
（2）首先分别计算2026年的总投入资金、2026年单个小区的改造费用两个量，设2026年改造$y$个小区，根据“总改造费用≤2026年总投入”列一元一次不等式求解，最后因小区数量为正整数，取不超过计算结果的最大整数即可。
【解析】
（1）解：设该市改造旧小区投入资金的年平均增长率为$x$。
由题意得：
$\begin{aligned}1000(1+x)^2&=1440\\(1+x)^2&=1.44\\1+x&=\pm1.2\end{aligned}$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$。
因为增长率为正数，所以$x_2=-2.2$不合题意，舍去。
（2）解：设该市2026年可以改造$y$个旧小区。
2026年总投入资金：$1440×(1+20\%)=1728$万元
2026年单个小区改造费用：$80×(1+15\%)=92$万元
由题意得：
$\begin{aligned}92y&≤1728\\y&≤\frac{432}{23}\approx18.78\end{aligned}$
因为$y$为正整数，所以$y$的最大值为18。
【答案】
（1）该市改造旧小区投入资金的年平均增长率为$20\%$；
（2）该市在2026年最多可以改造18个旧小区。
【知识点】
1. 增长率问题
2. 一元二次方程应用
3. 一元一次不等式应用
【点评】
本题结合旧小区改造的实际场景考查数学应用能力，解题关键是熟练掌握增长率的计算公式，同时要注意数学运算结果需符合实际意义，对不符合要求的解要舍去，涉及实际数量的结果要取符合要求的整数。
【难度系数】
0.7
（1）本题属于增长率类应用题，解题核心是掌握增长率公式：现期量=基期量×(1+增长率)$^n$，其中$n$为增长的年数。已知2023年（基期）投入1000万元，经过2年增长到2025年的1440万元，设年平均增长率为$x$，代入公式列一元二次方程求解即可，注意增长率不能为负，需舍去不符合实际的负根。
（2）首先分别计算2026年的总投入资金、2026年单个小区的改造费用两个量，设2026年改造$y$个小区，根据“总改造费用≤2026年总投入”列一元一次不等式求解，最后因小区数量为正整数，取不超过计算结果的最大整数即可。
【解析】
（1）解：设该市改造旧小区投入资金的年平均增长率为$x$。
由题意得：
$\begin{aligned}1000(1+x)^2&=1440\\(1+x)^2&=1.44\\1+x&=\pm1.2\end{aligned}$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$。
因为增长率为正数，所以$x_2=-2.2$不合题意，舍去。
（2）解：设该市2026年可以改造$y$个旧小区。
2026年总投入资金：$1440×(1+20\%)=1728$万元
2026年单个小区改造费用：$80×(1+15\%)=92$万元
由题意得：
$\begin{aligned}92y&≤1728\\y&≤\frac{432}{23}\approx18.78\end{aligned}$
因为$y$为正整数，所以$y$的最大值为18。
【答案】
（1）该市改造旧小区投入资金的年平均增长率为$20\%$；
（2）该市在2026年最多可以改造18个旧小区。
【知识点】
1. 增长率问题
2. 一元二次方程应用
3. 一元一次不等式应用
【点评】
本题结合旧小区改造的实际场景考查数学应用能力，解题关键是熟练掌握增长率的计算公式，同时要注意数学运算结果需符合实际意义，对不符合要求的解要舍去，涉及实际数量的结果要取符合要求的整数。
【难度系数】
0.7
