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12. 观察图形和下列各式，解答下列问题.
$(\sqrt{1})^2 + 1 = 2$，$S_1 = S_{△ OA_1A_2} = \frac{\sqrt{1}}{2}$；
$(\sqrt{2})^2 + 1 = 3$，$S_2 = S_{△ OA_2A_3} = \frac{\sqrt{2}}{2}$；
$(\sqrt{3})^2 + 1 = 4$，$S_3 = S_{△ OA_3A_4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$；
$\dots\dots$
（1）请用含$n$（$n$是正整数）的等式表示上述变化规律；
（2）推算出$OA_{10}$的长；
（3）求出$S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 + \dots + S_{10}^2$的值.
$(\sqrt{1})^2 + 1 = 2$，$S_1 = S_{△ OA_1A_2} = \frac{\sqrt{1}}{2}$；
$(\sqrt{2})^2 + 1 = 3$，$S_2 = S_{△ OA_2A_3} = \frac{\sqrt{2}}{2}$；
$(\sqrt{3})^2 + 1 = 4$，$S_3 = S_{△ OA_3A_4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$；
$\dots\dots$
（1）请用含$n$（$n$是正整数）的等式表示上述变化规律；
（2）推算出$OA_{10}$的长；
（3）求出$S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 + \dots + S_{10}^2$的值.
答案
12. (1) $(\sqrt{n})^2+1=n+1$，$S_n=S_{△ OA_nA_{n+1}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{n}$
(2) $\sqrt{10}$
(3) $\dfrac{55}{4}$
(2) $\sqrt{10}$
(3) $\dfrac{55}{4}$
解析
【分析】
（1）找规律时，先对应观察n取1、2、3时的式子特征：等式左边均为$(\sqrt{n})^2+1$，结果为$n+1$；面积$S_n$的分子是$\sqrt{n}$，分母为2，据此可总结通用规律。
（2）求$OA_{10}$的长度，可先用勾股定理计算前几个OA的长度，找到$OA_n$的通用规律，再代入n=10求解。
（3）先根据$S_n$的表达式推导$S_n^2$的形式，再将n从1到10代入求和，先计算1到10的和，再完成最终计算即可。
【解析】
（1）观察已知的式子：
当n=1时，$(\sqrt{1})^2+1=1+1=2$，$S_1=\frac{\sqrt{1}}{2}$；
当n=2时，$(\sqrt{2})^2+1=2+1=3$，$S_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
当n=3时，$(\sqrt{3})^2+1=3+1=4$，$S_3=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
以此类推，可得规律：$\boldsymbol{(\sqrt{n})^2+1=n+1}$，$\boldsymbol{S_n=\frac{\sqrt{n}}{2}}$（n为正整数）。
（2）根据勾股定理计算边长：
$OA_1=\sqrt{1}$，
$OA_2=\sqrt{OA_1^2+A_1A_2^2}=\sqrt{(\sqrt{1})^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$OA_3=\sqrt{OA_2^2+A_2A_3^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}=\sqrt{3}$，
可归纳得到$OA_n=\sqrt{n}$，当n=10时，$OA_{10}=\sqrt{10}$。
（3）由$S_n=\frac{\sqrt{n}}{2}$，可得$S_n^2=(\frac{\sqrt{n}}{2})^2=\frac{n}{4}$，因此：
$S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 + \dots + S_{10}^2$
$=\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}+\dots+\frac{10}{4}$
$=\frac{1+2+3+\dots+10}{4}$
其中$1+2+\dots+10=\frac{(1+10)×10}{2}=55$，代入得原式$=\frac{55}{4}$。
【答案】
(1) $(\sqrt{n})^2+1=n+1$，$S_n=\dfrac{1}{2}\sqrt{n}$（n为正整数）
(2) $\sqrt{10}$
(3) $\dfrac{55}{4}$
【知识点】
勾股定理，规律探究，实数运算
【点评】
本题结合几何图形与代数式，考查观察归纳能力，需要结合勾股定理推导边长的变化规律，再对应得到面积的规律，最终完成求和计算，兼顾了对规律探究能力和基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）找规律时，先对应观察n取1、2、3时的式子特征：等式左边均为$(\sqrt{n})^2+1$，结果为$n+1$；面积$S_n$的分子是$\sqrt{n}$，分母为2，据此可总结通用规律。
（2）求$OA_{10}$的长度，可先用勾股定理计算前几个OA的长度，找到$OA_n$的通用规律，再代入n=10求解。
（3）先根据$S_n$的表达式推导$S_n^2$的形式，再将n从1到10代入求和，先计算1到10的和，再完成最终计算即可。
【解析】
（1）观察已知的式子：
当n=1时，$(\sqrt{1})^2+1=1+1=2$，$S_1=\frac{\sqrt{1}}{2}$；
当n=2时，$(\sqrt{2})^2+1=2+1=3$，$S_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
当n=3时，$(\sqrt{3})^2+1=3+1=4$，$S_3=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
以此类推，可得规律：$\boldsymbol{(\sqrt{n})^2+1=n+1}$，$\boldsymbol{S_n=\frac{\sqrt{n}}{2}}$（n为正整数）。
（2）根据勾股定理计算边长：
$OA_1=\sqrt{1}$，
$OA_2=\sqrt{OA_1^2+A_1A_2^2}=\sqrt{(\sqrt{1})^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$OA_3=\sqrt{OA_2^2+A_2A_3^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}=\sqrt{3}$，
可归纳得到$OA_n=\sqrt{n}$，当n=10时，$OA_{10}=\sqrt{10}$。
（3）由$S_n=\frac{\sqrt{n}}{2}$，可得$S_n^2=(\frac{\sqrt{n}}{2})^2=\frac{n}{4}$，因此：
$S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 + \dots + S_{10}^2$
$=\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}+\dots+\frac{10}{4}$
$=\frac{1+2+3+\dots+10}{4}$
其中$1+2+\dots+10=\frac{(1+10)×10}{2}=55$，代入得原式$=\frac{55}{4}$。
【答案】
(1) $(\sqrt{n})^2+1=n+1$，$S_n=\dfrac{1}{2}\sqrt{n}$（n为正整数）
(2) $\sqrt{10}$
(3) $\dfrac{55}{4}$
【知识点】
勾股定理，规律探究，实数运算
【点评】
本题结合几何图形与代数式，考查观察归纳能力，需要结合勾股定理推导边长的变化规律，再对应得到面积的规律，最终完成求和计算，兼顾了对规律探究能力和基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
13. 某商店销售一批头盔，进价为每顶 40 元，售价为每顶 68 元，平均每周可售出 100 顶.商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于 58 元，经调查发现：每降价 2 元，平均每周可多售出 40 顶.若该商店希望平均每周获利 4 000 元，则每顶头盔应降价多少？
答案
13. 设每顶头盔应降价$x$元，则每顶头盔的销售利润为$(28-x)$元，平均每周的销售量为$(100+20x)$顶.由题意,得$(28-x)(100+20x)=4\ 000$.解得$x_1=3$，$x_2=20$.$\because 68-x≤58$，$\therefore x≥10$.$\therefore x=20$.所以每顶头盔应降价20元
解析
【分析】
这是典型的销售利润类应用题，解题核心是利用“总利润=单件利润×销售数量”的等量关系列方程求解。首先设每顶头盔降价x元，先推导降价后的单件利润：原售价68元，进价40元，原单件利润为28元，降价x元后单件利润为(28-x)元；再推导降价后的销售量：每降价2元多售出40顶，即每降价1元多售出20顶，降价x元后多售出20x顶，总销售量为(100+20x)顶。再根据总获利4000元列方程求解，最后结合“每顶售价不高于58元”的限制条件，对解出的根进行取舍，得到符合题意的结果。
【解析】
解：设每顶头盔应降价$x$元。
降价后每顶头盔的销售利润为：$68-40-x=(28-x)$元
降价后平均每周的销售量为：$100+\frac{x}{2}×40=(100+20x)$顶
根据总获利4000元，列方程得：
$(28-x)(100+20x)=4000$
整理得$x^2-23x+60=0$，因式分解得$(x-3)(x-20)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=20$
$\because$ 每顶售价不高于58元，即$68-x≤58$，解得$x≥10$
$\therefore x=3$不符合题意舍去，取$x=20$
【答案】
每顶头盔应降价20元
【知识点】
一元二次方程的应用，销售利润计算，不等式的应用
【点评】
本题属于销售类常规应用题，解题的关键是找准总利润的等量关系，正确表示出降价后的单件利润和销售量，同时要注意题目给出的售价限制条件，避免未验证根的合理性导致多解错误。
【难度系数】
0.7
这是典型的销售利润类应用题，解题核心是利用“总利润=单件利润×销售数量”的等量关系列方程求解。首先设每顶头盔降价x元，先推导降价后的单件利润：原售价68元，进价40元，原单件利润为28元，降价x元后单件利润为(28-x)元；再推导降价后的销售量：每降价2元多售出40顶，即每降价1元多售出20顶，降价x元后多售出20x顶，总销售量为(100+20x)顶。再根据总获利4000元列方程求解，最后结合“每顶售价不高于58元”的限制条件，对解出的根进行取舍，得到符合题意的结果。
【解析】
解：设每顶头盔应降价$x$元。
降价后每顶头盔的销售利润为：$68-40-x=(28-x)$元
降价后平均每周的销售量为：$100+\frac{x}{2}×40=(100+20x)$顶
根据总获利4000元，列方程得：
$(28-x)(100+20x)=4000$
整理得$x^2-23x+60=0$，因式分解得$(x-3)(x-20)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=20$
$\because$ 每顶售价不高于58元，即$68-x≤58$，解得$x≥10$
$\therefore x=3$不符合题意舍去，取$x=20$
【答案】
每顶头盔应降价20元
【知识点】
一元二次方程的应用，销售利润计算，不等式的应用
【点评】
本题属于销售类常规应用题，解题的关键是找准总利润的等量关系，正确表示出降价后的单件利润和销售量，同时要注意题目给出的售价限制条件，避免未验证根的合理性导致多解错误。
【难度系数】
0.7
