14. 如图，$△ ABC$与$△ CDE$都是等边三角形，点$E$，$F$分别在$AC$，$BC$上，且$EF // AB$.
(1) 求证：四边形$EFCD$是菱形；
(2) 设$CD=4$，求$D$，$F$两点间的距离.

14. (1) $\because △ ABC$与$△ CDE$都是等边三角形，$\therefore ED=CD$，$∠ A=∠ DCE=∠ BCA=∠ DEC=60°$.$\therefore AB// CD$，$DE// CF$.又$\because EF// AB$，$\therefore EF// CD$.$\therefore$ 四边形$EFCD$是菱形
(2) 连接$DF$,与$CE$相交于点$G$.由(1)知四边形$EFCD$为菱形,则$CG=\dfrac{1}{2}CE=\dfrac{1}{2}CD=2$,$∠ CGD=90°$.$\therefore DG=2\sqrt{3}$,$DF=2DG=4\sqrt{3}$

【分析】
(1) 要证四边形$EFCD$是菱形，可先证它是平行四边形，再证一组邻边相等即可。首先利用等边三角形的内角均为$60°$，推导对边的平行关系得到平行四边形，再结合等边三角形边相等的性质得到邻边相等，即可完成证明。
(2) 求$D$、$F$两点的距离，即求菱形的对角线$DF$的长度。根据菱形对角线互相垂直平分的性质，连接$DF$与$CE$交于点$G$，将问题转化为在直角三角形中用勾股定理求边长，先求出半条对角线的长度，再乘2即可得到$DF$的长度。
【解析】
(1) 证明：
$\because △ ABC$与$△ CDE$都是等边三角形，
$\therefore ED=CD$，$∠ A=∠ DCE=∠ BCA=∠ DEC=60°$，
$\therefore AB// CD$（同位角相等，两直线平行），$DE// CF$（同位角相等，两直线平行），
又$\because EF// AB$，
$\therefore EF// CD$，
$\therefore$ 四边形$EFCD$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
又$\because ED=CD$，
$\therefore$ 平行四边形$EFCD$是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
(2) 解：连接$DF$，与$CE$相交于点$G$，
由(1)知四边形$EFCD$为菱形，
$\therefore CE⊥ DF$，$CG=\dfrac{1}{2}CE$，$DF=2DG$（菱形对角线互相垂直平分），
$\because △CDE$是等边三角形，$\therefore CE=CD=4$，
$\therefore CG=\dfrac{1}{2}×4=2$，
在$\mathrm{Rt}△CGD$中，由勾股定理得：
$DG=\sqrt{CD^2-CG^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
$\therefore DF=2DG=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 四边形$EFCD$是菱形，证明成立；
(2) $D$，$F$两点间的距离为$4\sqrt{3}$。
【知识点】
等边三角形的性质；菱形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题关键是熟练掌握等边三角形、平行四边形、菱形的性质和判定定理，通过角的关系推导平行关系完成菱形证明，再利用菱形对角线的特征将问题转化为直角三角形边长计算，逻辑清晰，掌握基础几何性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7