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三、解答题
11. 某学校对男、女学生进行有关“习惯与礼貌”的评分(单位：分)，记录如下：
男：54，70，57，46，90，58，63，46，85，73，
55，66，38，44，56，75，35，58，94，58.
女：77，55，69，58，76，70，77， 90，51，
53，63，64，69，83，83，65，100，75.
(1) 分别计算男、女学生得分的平均数；
(2) 分别计算男、女学生得分的四分位数.
11. 某学校对男、女学生进行有关“习惯与礼貌”的评分(单位：分)，记录如下：
男：54，70，57，46，90，58，63，46，85，73，
55，66，38，44，56，75，35，58，94，58.
女：77，55，69，58，76，70，77， 90，51，
53，63，64，69，83，83，65，100，75.
(1) 分别计算男、女学生得分的平均数；
(2) 分别计算男、女学生得分的四分位数.
答案
11. (1) 男生得分的平均数为 61.05 分,女生得分的平均数为 71 分
(2) 计算结果如下表
| 性别 | 第25百分位数/分 | 第50百分位数/分 | 第75百分位数/分 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 男生 | 50 | 58 | 71.5 |
| 女生 | 63 | 69.5 | 77 |
(2) 计算结果如下表
| 性别 | 第25百分位数/分 | 第50百分位数/分 | 第75百分位数/分 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 男生 | 50 | 58 | 71.5 |
| 女生 | 63 | 69.5 | 77 |
解析
【分析】
(1) 计算平均数的思路：先分别统计男生、女生的得分总人数，再求出对应性别所有得分的总和，最后用总和除以总人数即可得到平均数。
(2) 计算四分位数的思路：第一步先把男生、女生的得分分别按从小到大的顺序排列；第二步用公式$i = 数据总个数×对应百分率$计算第25、50、75百分位数对应的位置$i$；第三步判定结果：若$i$是整数，取第$i$个和第$i+1$个数据的平均数作为该百分位数；若$i$不是整数，将$i$向上取整，对应位置的数就是该百分位数。
【解析】
(1) 计算平均数：
男生共20个得分，得分总和为：
$35+38+44+46+46+54+55+56+57+58+58+58+63+66+70+73+75+85+90+94=1221$
男生得分平均数：$1221÷20=61.05$（分）
女生共18个得分，得分总和为：
$51+53+55+58+63+64+65+69+69+70+75+76+77+77+83+83+90+100=1278$
女生得分平均数：$1278÷18=71$（分）
(2) 计算四分位数：
① 男生得分从小到大排序：35，38，44，46，46，54，55，56，57，58，58，58，63，66，70，73，75，85，90，94
第25百分位数：$i=20×25\%=5$，为整数，取第5、6个数据的平均：$(46+54)÷2=50$（分）
第50百分位数：$i=20×50\%=10$，为整数，取第10、11个数据的平均：$(58+58)÷2=58$（分）
第75百分位数：$i=20×75\%=15$，为整数，取第15、16个数据的平均：$(70+73)÷2=71.5$（分）
② 女生得分从小到大排序：51，53，55，58，63，64，65，69，69，70，75，76，77，77，83，83，90，100
第25百分位数：$i=18×25\%=4.5$，不为整数，向上取整为5，对应第5个数据为63（分）
第50百分位数：$i=18×50\%=9$，为整数，取第9、10个数据的平均：$(69+70)÷2=69.5$（分）
第75百分位数：$i=18×75\%=13.5$，不为整数，向上取整为14，对应第14个数据为77（分）
【答案】
(1) 男生得分的平均数为61.05分，女生得分的平均数为71分；
(2) 得分四分位数如下表：
| 性别 | 第25百分位数/分 | 第50百分位数/分 | 第75百分位数/分 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 男生 | 50 | 58 | 71.5 |
| 女生 | 63 | 69.5 | 77 |
【知识点】
平均数计算，百分位数计算，数据排序
【点评】
本题是统计基础计算题，核心考查平均数和四分位数的计算步骤，解题时要注意先对原始数据排序，再按规则判定百分位数的取值，计算总和时需细心避免运算错误。
【难度系数】
0.7
(1) 计算平均数的思路：先分别统计男生、女生的得分总人数，再求出对应性别所有得分的总和，最后用总和除以总人数即可得到平均数。
(2) 计算四分位数的思路：第一步先把男生、女生的得分分别按从小到大的顺序排列；第二步用公式$i = 数据总个数×对应百分率$计算第25、50、75百分位数对应的位置$i$；第三步判定结果：若$i$是整数，取第$i$个和第$i+1$个数据的平均数作为该百分位数；若$i$不是整数，将$i$向上取整，对应位置的数就是该百分位数。
【解析】
(1) 计算平均数：
男生共20个得分，得分总和为：
$35+38+44+46+46+54+55+56+57+58+58+58+63+66+70+73+75+85+90+94=1221$
男生得分平均数：$1221÷20=61.05$（分）
女生共18个得分，得分总和为：
$51+53+55+58+63+64+65+69+69+70+75+76+77+77+83+83+90+100=1278$
女生得分平均数：$1278÷18=71$（分）
(2) 计算四分位数：
① 男生得分从小到大排序：35，38，44，46，46，54，55，56，57，58，58，58，63，66，70，73，75，85，90，94
第25百分位数：$i=20×25\%=5$，为整数，取第5、6个数据的平均：$(46+54)÷2=50$（分）
第50百分位数：$i=20×50\%=10$，为整数，取第10、11个数据的平均：$(58+58)÷2=58$（分）
第75百分位数：$i=20×75\%=15$，为整数，取第15、16个数据的平均：$(70+73)÷2=71.5$（分）
② 女生得分从小到大排序：51，53，55，58，63，64，65，69，69，70，75，76，77，77，83，83，90，100
第25百分位数：$i=18×25\%=4.5$，不为整数，向上取整为5，对应第5个数据为63（分）
第50百分位数：$i=18×50\%=9$，为整数，取第9、10个数据的平均：$(69+70)÷2=69.5$（分）
第75百分位数：$i=18×75\%=13.5$，不为整数，向上取整为14，对应第14个数据为77（分）
【答案】
(1) 男生得分的平均数为61.05分，女生得分的平均数为71分；
(2) 得分四分位数如下表：
| 性别 | 第25百分位数/分 | 第50百分位数/分 | 第75百分位数/分 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 男生 | 50 | 58 | 71.5 |
| 女生 | 63 | 69.5 | 77 |
【知识点】
平均数计算，百分位数计算，数据排序
【点评】
本题是统计基础计算题，核心考查平均数和四分位数的计算步骤，解题时要注意先对原始数据排序，再按规则判定百分位数的取值，计算总和时需细心避免运算错误。
【难度系数】
0.7
12. 为了解九年级学生的视力情况,某市对九年级 50 000 名学生进行了一次视力抽样调查,绘制出以下不完整的频数分布表和频数直方图:
(每组数据含最小值,不含最大值)
请根据图表信息,回答下列问题:
(1) 频数分布表中, $a$ 的值为
(2) 甲同学说:“我的视力情况是此次抽样调查所得数据的中位数.”甲同学的视力情况应在什么范围内?
(3) 若视力在 4.9 以上(含 4.9)均属正常,则视力正常的人数占被统计人数的百分率是
(每组数据含最小值,不含最大值)
请根据图表信息,回答下列问题:
(1) 频数分布表中, $a$ 的值为
60
,$b$ 的值为0.05
,并将频数直方图补充完整;(2) 甲同学说:“我的视力情况是此次抽样调查所得数据的中位数.”甲同学的视力情况应在什么范围内?
(3) 若视力在 4.9 以上(含 4.9)均属正常,则视力正常的人数占被统计人数的百分率是
35%
,根据上述信息,估计全市初中毕业生中视力正常的学生有多少人?答案
12. (1) 60 0.05 绘图如图所示
(2) $4.6 ≤ x ＜ 4.9$ (3) 35% $50\ 000 × 35\% = 17\ 500$(人)解析
【分析】
解题思路如下：
1. 第(1)问：先结合频数直方图的各组频数求出抽样调查的总人数，再根据“频率=频数÷总人数”的关系计算a、b的值，再补充完整直方图即可。
2. 第(2)问：中位数是将数据从小到大排序后，中间位置的数（数据总数为偶数时，是中间两个数的平均数）。先确定总数据个数，找到中间位置的两个数据所在的分组，即可得到中位数的范围。
3. 第(3)问：先统计视力≥4.9的总频数，除以抽样总人数得到正常视力的占比，再用全市九年级总人数乘这个占比，即可估计出全市视力正常的学生人数。
【解析】
(1) 由频数直方图可知各组频数，先计算抽样总人数：$20+40+70+60+10=200$人，因此$a=60$；$b$是$5.2∼5.5$组的频率，$b=10÷200=0.05$，补全频数直方图如参考答案所示。
(2) 本次抽样共200个数据，中位数为第100、101个数据的平均数。计算累计频数：$4.0∼4.3$组共20人，$4.3∼4.6$组累计$20+40=60$人，$4.6∼4.9$组累计$60+70=130$人，因此第100、101个数据都落在$4.6 ≤ x ＜ 4.9$范围内，即甲同学的视力在该区间内。
(3) 视力≥4.9的总频数为$60+10=70$，占被统计人数的百分率为$\frac{70}{200}×100\%=35\%$。
估计全市视力正常的学生人数：$50000×35\%=17500$（人）。
【答案】
(1) $60$；$0.05$；绘图如图所示
(2) $4.6 ≤ x ＜ 4.9$
(3) $35\%$；估计全市初中毕业生中视力正常的学生有$17500$人
【知识点】
频数分布直方图；中位数；用样本估计总体
【点评】
本题结合统计图表考查统计模块的核心知识点，需要掌握频数、频率的计算规则，中位数的判定方法，以及用样本估计总体的统计思想，解题时结合图表信息仔细运算即可。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
1. 第(1)问：先结合频数直方图的各组频数求出抽样调查的总人数，再根据“频率=频数÷总人数”的关系计算a、b的值，再补充完整直方图即可。
2. 第(2)问：中位数是将数据从小到大排序后，中间位置的数（数据总数为偶数时，是中间两个数的平均数）。先确定总数据个数，找到中间位置的两个数据所在的分组，即可得到中位数的范围。
3. 第(3)问：先统计视力≥4.9的总频数，除以抽样总人数得到正常视力的占比，再用全市九年级总人数乘这个占比，即可估计出全市视力正常的学生人数。
【解析】
(1) 由频数直方图可知各组频数，先计算抽样总人数：$20+40+70+60+10=200$人，因此$a=60$；$b$是$5.2∼5.5$组的频率，$b=10÷200=0.05$，补全频数直方图如参考答案所示。
(2) 本次抽样共200个数据，中位数为第100、101个数据的平均数。计算累计频数：$4.0∼4.3$组共20人，$4.3∼4.6$组累计$20+40=60$人，$4.6∼4.9$组累计$60+70=130$人，因此第100、101个数据都落在$4.6 ≤ x ＜ 4.9$范围内，即甲同学的视力在该区间内。
(3) 视力≥4.9的总频数为$60+10=70$，占被统计人数的百分率为$\frac{70}{200}×100\%=35\%$。
估计全市视力正常的学生人数：$50000×35\%=17500$（人）。
【答案】
(1) $60$；$0.05$；绘图如图所示
(2) $4.6 ≤ x ＜ 4.9$
(3) $35\%$；估计全市初中毕业生中视力正常的学生有$17500$人
【知识点】
频数分布直方图；中位数；用样本估计总体
【点评】
本题结合统计图表考查统计模块的核心知识点，需要掌握频数、频率的计算规则，中位数的判定方法，以及用样本估计总体的统计思想，解题时结合图表信息仔细运算即可。
【难度系数】
0.7
