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1. 如图,在$□ ABCD$中,$∠ ABC$的平分线$BE$交$AD$于点$E$,$AB=5$,$ED=3$,则$□ ABCD$的周长为________.
答案
1. 26
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形的性质，结合角平分线定义和平行线的性质推导等腰三角形，进而求出边长后计算周长。思路如下：1. 由平行四边形对边平行且相等，可得AD//BC，AB=CD，AD=BC；2. 根据角平分线定义得∠ABE=∠CBE，结合平行线内错角相等得∠AEB=∠CBE，等量代换得∠ABE=∠AEB，推出△ABE为等腰三角形，AE=AB；3. 计算AD的长度，再代入平行四边形周长公式求解。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，AB=CD=5，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠CBE（两直线平行，内错角相等），
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=5，
∴AD=AE+ED=5+3=8，
∴□ABCD的周长=2×(AB+AD)=2×(5+8)=26。
【答案】
26
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是平行四边形相关的基础常考题，解题核心是结合平行和角平分线的条件推导得出等腰三角形，进而求出平行四边形的邻边长度，再计算周长。
【难度系数】
0.8
解题时先利用平行四边形的性质，结合角平分线定义和平行线的性质推导等腰三角形，进而求出边长后计算周长。思路如下：1. 由平行四边形对边平行且相等，可得AD//BC，AB=CD，AD=BC；2. 根据角平分线定义得∠ABE=∠CBE，结合平行线内错角相等得∠AEB=∠CBE，等量代换得∠ABE=∠AEB，推出△ABE为等腰三角形，AE=AB；3. 计算AD的长度，再代入平行四边形周长公式求解。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，AB=CD=5，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠CBE（两直线平行，内错角相等），
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=5，
∴AD=AE+ED=5+3=8，
∴□ABCD的周长=2×(AB+AD)=2×(5+8)=26。
【答案】
26
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是平行四边形相关的基础常考题，解题核心是结合平行和角平分线的条件推导得出等腰三角形，进而求出平行四边形的邻边长度，再计算周长。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=45°,且点B与原点O重合,BC在x轴上,则点D的坐标为$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
2. $(2+\sqrt{2},\sqrt{2})$
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据菱形的性质，菱形对边平行且相等、四条边长度相等，已知BC在x轴上，所以AD平行于x轴，点D的纵坐标和点A的纵坐标相同，横坐标比点A大2（AD长度为2）。接下来我们需要先求点A的坐标：过点A作x轴的垂线，构造等腰直角三角形，利用勾股定理求出点A的横、纵坐标，最后就能推导得到点D的坐标。
【解析】
过点A作AE⊥x轴，垂足为E。
∵四边形ABCD是菱形，边长为2，
∴AB=AD=2，AD//BC，
又
∵BC在x轴上，
∴AD//x轴，即点D的纵坐标与点A的纵坐标相等。
在Rt△ABE中，∠ABC=45°，∠AEB=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，AE=BE。
由勾股定理可得：$AE^2 + BE^2 = AB^2$，
代入AB=2，AE=BE，得$2AE^2=4$，
解得$AE=BE=\sqrt{2}$（长度为正，舍去负根），
∴点A的坐标为$(\sqrt{2}, \sqrt{2})$。
∵AD=2，且AD沿x轴正方向延伸，
∴点D的横坐标为$\sqrt{2} + 2$，纵坐标为$\sqrt{2}$，
即点D的坐标为$(2+\sqrt{2}, \sqrt{2})$。
【答案】
$(2+\sqrt{2},\sqrt{2})$
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，平面直角坐标系
【点评】
本题是平面直角坐标系和几何图形结合的基础题型，解题的关键是通过作辅助线构造等腰直角三角形，结合菱形对边平行且相等的性质求解点坐标，解题时要注意坐标的符号不要出错。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先根据菱形的性质，菱形对边平行且相等、四条边长度相等，已知BC在x轴上，所以AD平行于x轴，点D的纵坐标和点A的纵坐标相同，横坐标比点A大2（AD长度为2）。接下来我们需要先求点A的坐标：过点A作x轴的垂线，构造等腰直角三角形，利用勾股定理求出点A的横、纵坐标，最后就能推导得到点D的坐标。
【解析】
过点A作AE⊥x轴，垂足为E。
∵四边形ABCD是菱形，边长为2，
∴AB=AD=2，AD//BC，
又
∵BC在x轴上，
∴AD//x轴，即点D的纵坐标与点A的纵坐标相等。
在Rt△ABE中，∠ABC=45°，∠AEB=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，AE=BE。
由勾股定理可得：$AE^2 + BE^2 = AB^2$，
代入AB=2，AE=BE，得$2AE^2=4$，
解得$AE=BE=\sqrt{2}$（长度为正，舍去负根），
∴点A的坐标为$(\sqrt{2}, \sqrt{2})$。
∵AD=2，且AD沿x轴正方向延伸，
∴点D的横坐标为$\sqrt{2} + 2$，纵坐标为$\sqrt{2}$，
即点D的坐标为$(2+\sqrt{2}, \sqrt{2})$。
【答案】
$(2+\sqrt{2},\sqrt{2})$
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，平面直角坐标系
【点评】
本题是平面直角坐标系和几何图形结合的基础题型，解题的关键是通过作辅助线构造等腰直角三角形，结合菱形对边平行且相等的性质求解点坐标，解题时要注意坐标的符号不要出错。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在矩形ABCD中,E是对角线BD上一点,F是BC的中点,连接CE,EF.已知$AD=4$,$∠ CBD=∠ DCE$,则EF的长为
2
.答案
3. 2
解析
【分析】
解题时首先结合矩形的性质推导边和角的关系：矩形对边相等可得BC=AD，矩形的内角为直角可得△BCD是直角三角形，两个锐角和为90°。再利用已知的∠CBD=∠DCE进行等量代换，推导得出CE⊥BD，即△BEC为直角三角形。最后结合F是BC中点的条件，利用直角三角形斜边中线的性质即可求出EF的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD=BC=4，∠BCD=90°，
∴ ∠CBD + ∠BDC = 90°。
又
∵ ∠CBD=∠DCE，
∴ ∠DCE + ∠BDC = 90°，
∴ ∠CED=180° - (∠DCE + ∠BDC)=90°，即∠BEC=90°，△BEC是直角三角形。
∵ F是BC的中点，在Rt△BEC中，斜边中线等于斜边的一半，
∴ EF = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×4 = 2。
【答案】
2
【知识点】
矩形的性质；直角三角形的判定；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题的核心是通过角的等量代换得到直角三角形，再结合特殊几何图形的性质快速求解，是几何中很典型的性质综合应用题。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合矩形的性质推导边和角的关系：矩形对边相等可得BC=AD，矩形的内角为直角可得△BCD是直角三角形，两个锐角和为90°。再利用已知的∠CBD=∠DCE进行等量代换，推导得出CE⊥BD，即△BEC为直角三角形。最后结合F是BC中点的条件，利用直角三角形斜边中线的性质即可求出EF的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD=BC=4，∠BCD=90°，
∴ ∠CBD + ∠BDC = 90°。
又
∵ ∠CBD=∠DCE，
∴ ∠DCE + ∠BDC = 90°，
∴ ∠CED=180° - (∠DCE + ∠BDC)=90°，即∠BEC=90°，△BEC是直角三角形。
∵ F是BC的中点，在Rt△BEC中，斜边中线等于斜边的一半，
∴ EF = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×4 = 2。
【答案】
2
【知识点】
矩形的性质；直角三角形的判定；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题的核心是通过角的等量代换得到直角三角形，再结合特殊几何图形的性质快速求解，是几何中很典型的性质综合应用题。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在周长为20 cm的$□ ABCD$中,$AB≠AD$,AC,BD相交于点O,$OE ⊥ BD$交AD于点E,则$△ ABE$的周长为
10 cm
.答案
4. 10 cm
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先回忆平行四边形的性质，平行四边形对角线互相平分，且对边相等，因此邻边之和等于周长的一半；2. 观察到OE垂直BD且O是BD中点，可知OE是BD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可得BE=DE；3. 将△ABE的周长中的BE替换为DE，可把周长转化为AB+AD的和，结合平行四边形周长即可求出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，平行四边形对边相等，
∵平行四边形周长为20 cm，
∴$AB + AD = \frac{1}{2}×20 = 10\ \mathrm{cm}$，
∵OE⊥BD，OB=OD，
∴OE是线段BD的垂直平分线，
∴BE=DE，
∴△ABE的周长 = $AB + AE + BE = AB + AE + DE = AB + AD = 10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
10 cm
【知识点】
平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等线段代换
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是利用垂直平分线的性质进行等线段代换，将待求三角形的周长转化为平行四边形邻边的和，无需单独求解各边长度，体现了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 首先回忆平行四边形的性质，平行四边形对角线互相平分，且对边相等，因此邻边之和等于周长的一半；2. 观察到OE垂直BD且O是BD中点，可知OE是BD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可得BE=DE；3. 将△ABE的周长中的BE替换为DE，可把周长转化为AB+AD的和，结合平行四边形周长即可求出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，平行四边形对边相等，
∵平行四边形周长为20 cm，
∴$AB + AD = \frac{1}{2}×20 = 10\ \mathrm{cm}$，
∵OE⊥BD，OB=OD，
∴OE是线段BD的垂直平分线，
∴BE=DE，
∴△ABE的周长 = $AB + AE + BE = AB + AE + DE = AB + AD = 10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
10 cm
【知识点】
平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等线段代换
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是利用垂直平分线的性质进行等线段代换，将待求三角形的周长转化为平行四边形邻边的和，无需单独求解各边长度，体现了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
5. 在四边形ABCD中，$AD // BC$，添加下列条件之一：① $AB // CD$；② $AB = CD$；③ $AD = BC$；④ $∠ A = ∠ C$；⑤ $∠ B = ∠ C$。能使四边形ABCD为平行四边形的条件有
AD
①③④
.(填序号)AD
答案
5. ①③④
解析
【分析】
已知四边形ABCD已有一组对边$AD// BC$，要判断添加的条件能否使其成为平行四边形，需结合平行四边形的判定定理逐个验证，同时要注意排除等腰梯形等特殊情况的干扰，优先回忆平行四边形的核心判定规则：两组对边分别平行、一组对边平行且相等的四边形都是平行四边形，也可以通过角的关系推导另一组对边平行来判定。
【解析】
已知四边形ABCD中，$AD// BC$，逐个分析条件：
1. 添加条件①$AB// CD$：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，符合要求；
2. 添加条件②$AB=CD$：等腰梯形也满足$AD// BC$且腰$AB=CD$，此时不是平行四边形，不符合要求；
3. 添加条件③$AD=BC$：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，符合要求；
4. 添加条件④$∠ A=∠ C$：
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ A+∠ B=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
又$\because ∠ A=∠ C$，$\therefore ∠ C+∠ B=180°$，
$\therefore AB// CD$（同旁内角互补，两直线平行），
此时两组对边分别平行，四边形为平行四边形，符合要求；
5. 添加条件⑤$∠ B=∠ C$：
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ A+∠ B=180°$，$∠ D+∠ C=180°$，
若$∠ B=∠ C$，仅能推出$∠ A=∠ D$，无法证明另一组对边平行或相等，四边形可能为等腰梯形，不符合要求。
综上，能使四边形ABCD为平行四边形的是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
平行四边形的判定；平行线的性质与判定
【点评】
本题是平行四边形判定的基础易错题，容易误选条件②，忽略等腰梯形也满足一组对边平行、另一组对边相等的特征，也容易漏选条件④，要熟练掌握通过角的互补关系推导直线平行的方法。
【难度系数】
0.7
已知四边形ABCD已有一组对边$AD// BC$，要判断添加的条件能否使其成为平行四边形，需结合平行四边形的判定定理逐个验证，同时要注意排除等腰梯形等特殊情况的干扰，优先回忆平行四边形的核心判定规则：两组对边分别平行、一组对边平行且相等的四边形都是平行四边形，也可以通过角的关系推导另一组对边平行来判定。
【解析】
已知四边形ABCD中，$AD// BC$，逐个分析条件：
1. 添加条件①$AB// CD$：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，符合要求；
2. 添加条件②$AB=CD$：等腰梯形也满足$AD// BC$且腰$AB=CD$，此时不是平行四边形，不符合要求；
3. 添加条件③$AD=BC$：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，符合要求；
4. 添加条件④$∠ A=∠ C$：
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ A+∠ B=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
又$\because ∠ A=∠ C$，$\therefore ∠ C+∠ B=180°$，
$\therefore AB// CD$（同旁内角互补，两直线平行），
此时两组对边分别平行，四边形为平行四边形，符合要求；
5. 添加条件⑤$∠ B=∠ C$：
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ A+∠ B=180°$，$∠ D+∠ C=180°$，
若$∠ B=∠ C$，仅能推出$∠ A=∠ D$，无法证明另一组对边平行或相等，四边形可能为等腰梯形，不符合要求。
综上，能使四边形ABCD为平行四边形的是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
平行四边形的判定；平行线的性质与判定
【点评】
本题是平行四边形判定的基础易错题，容易误选条件②，忽略等腰梯形也满足一组对边平行、另一组对边相等的特征，也容易漏选条件④，要熟练掌握通过角的互补关系推导直线平行的方法。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC$,$BD$相交于点$O$,且$AB ≠ AD$,则下列结论不正确的是(
A.$AC ⊥ BD$
B.$AB = CD$
C.$BO = OD$
D.$∠ BAD = ∠ BCD$
A
).A.$AC ⊥ BD$
B.$AB = CD$
C.$BO = OD$
D.$∠ BAD = ∠ BCD$
答案
6. A
解析
【分析】
这道题考查平行四边形的性质及菱形的判定，解题时首先要明确平行四边形的基本性质，再结合题干给出的“AB≠AD”判断该平行四边形不是菱形，逐一分析各选项是否符合对应性质即可，注意题目要求选出“不正确”的结论，避免误选正确选项。具体思考路径：先回忆平行四边形对边、对角、对角线的性质，判断B、C、D的正误，再根据菱形对角线互相垂直的性质，结合邻边不等的条件判断A的正误。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质：
① 平行四边形对边相等，
∴AB=CD，故B选项结论正确，不符合题意；
② 平行四边形对角相等，
∴∠BAD=∠BCD，故D选项结论正确，不符合题意；
③ 平行四边形对角线互相平分，
∴BO=OD，故C选项结论正确，不符合题意；
若AC⊥BD，则该平行四边形为菱形，菱形要求邻边相等，而已知AB≠AD，因此该平行四边形不是菱形，AC与BD不一定垂直，故A选项结论错误，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；菱形的判定
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查普通平行四边形和特殊菱形的性质差异，解题时要注意审题，明确题干要求选择错误结论，避免因审题粗心丢分。
【难度系数】
0.8
这道题考查平行四边形的性质及菱形的判定，解题时首先要明确平行四边形的基本性质，再结合题干给出的“AB≠AD”判断该平行四边形不是菱形，逐一分析各选项是否符合对应性质即可，注意题目要求选出“不正确”的结论，避免误选正确选项。具体思考路径：先回忆平行四边形对边、对角、对角线的性质，判断B、C、D的正误，再根据菱形对角线互相垂直的性质，结合邻边不等的条件判断A的正误。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质：
① 平行四边形对边相等，
∴AB=CD，故B选项结论正确，不符合题意；
② 平行四边形对角相等，
∴∠BAD=∠BCD，故D选项结论正确，不符合题意；
③ 平行四边形对角线互相平分，
∴BO=OD，故C选项结论正确，不符合题意；
若AC⊥BD，则该平行四边形为菱形，菱形要求邻边相等，而已知AB≠AD，因此该平行四边形不是菱形，AC与BD不一定垂直，故A选项结论错误，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；菱形的判定
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查普通平行四边形和特殊菱形的性质差异，解题时要注意审题，明确题干要求选择错误结论，避免因审题粗心丢分。
【难度系数】
0.8
