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7. 如图,用七支长度相同的铅笔,排成一个菱形 $ABCD$ 和一个等边三角形 $DEF$,使得点 $E$, $F$ 分别在 $AB$ 和 $BC$ 上,那么$∠ B$ 的度数为(
A.$105°$
B.$100°$
C.$95°$
D.$80°$
B
).A.$105°$
B.$100°$
C.$95°$
D.$80°$
答案
7. B
解析
【分析】首先根据“七支铅笔长度相同”的条件，可知菱形各边、等边三角形各边长度均相等，由此得到AD=DE=DC=DF，即△ADE和△DCF都是等腰三角形。我们可以设∠B为x°，结合菱形邻角互补、对角相等，等腰三角形内角和，等边三角形内角为60°的性质，找到角之间的等量关系列方程求解即可。
【解析】设∠B = x°，
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD=CD，∠A=∠C=180°-x°，∠ADC=∠B=x°，
∵ △DEF是等边三角形，且所有铅笔长度相等，
∴ AD=DE=DF=CD，∠EDF=60°，
∴ △ADE和△DCF均为等腰三角形，
∴ ∠ADE=180°-2∠A=180°-2(180°-x°)=2x°-180°，
同理可得∠CDF=2x°-180°，
∵ ∠ADE+∠EDF+∠CDF=∠ADC，
∴ (2x-180)+60+(2x-180)=x，
解得x=100，即∠B=100°。
【答案】B
【知识点】菱形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质
【点评】本题是特殊几何图形性质的综合应用，通过设未知数列方程求解角度是几何计算的常用思路，解题的核心是准确梳理图中角的和差关系。
【难度系数】0.6
【解析】设∠B = x°，
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD=CD，∠A=∠C=180°-x°，∠ADC=∠B=x°，
∵ △DEF是等边三角形，且所有铅笔长度相等，
∴ AD=DE=DF=CD，∠EDF=60°，
∴ △ADE和△DCF均为等腰三角形，
∴ ∠ADE=180°-2∠A=180°-2(180°-x°)=2x°-180°，
同理可得∠CDF=2x°-180°，
∵ ∠ADE+∠EDF+∠CDF=∠ADC，
∴ (2x-180)+60+(2x-180)=x，
解得x=100，即∠B=100°。
【答案】B
【知识点】菱形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质
【点评】本题是特殊几何图形性质的综合应用，通过设未知数列方程求解角度是几何计算的常用思路，解题的核心是准确梳理图中角的和差关系。
【难度系数】0.6
8. 平行四边形中一边长为10 cm，那么它的两条对角线长度可以是(
A.8 cm和10 cm
B.6 cm和10 cm
C.6 cm和8 cm
D.10 cm和12 cm
D
).A.8 cm和10 cm
B.6 cm和10 cm
C.6 cm和8 cm
D.10 cm和12 cm
答案
8. D
解析
【分析】
解这道题的核心思路是结合平行四边形的性质和三角形三边关系来判断：首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，将各选项的两条对角线长度分别除以2，得到两条半对角线的长度，这两条半对角线和已知的边长10cm需要满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），符合该条件的选项即为正确答案。
【解析】
根据平行四边形对角线互相平分的性质，两条对角线的一半与平行四边形的任意一边可构成三角形，需满足三角形三边关系：
逐一分析选项：
A. 对角线为8cm、10cm，半长分别为4cm、5cm，$4+5=9＜10$，不能构成三角形，不符合要求；
B. 对角线为6cm、10cm，半长分别为3cm、5cm，$3+5=8＜10$，不能构成三角形，不符合要求；
C. 对角线为6cm、8cm，半长分别为3cm、4cm，$3+4=7＜10$，不能构成三角形，不符合要求；
D. 对角线为10cm、12cm，半长分别为5cm、6cm，$5+6=11＞10$，$6-5=1＜10$，满足三角形三边关系，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是几何基础题型，将平行四边形的对角线性质和三角形三边关系结合考察，解题关键是把平行四边形的对角线问题转化为三角形三边判定问题，熟练掌握基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解这道题的核心思路是结合平行四边形的性质和三角形三边关系来判断：首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，将各选项的两条对角线长度分别除以2，得到两条半对角线的长度，这两条半对角线和已知的边长10cm需要满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），符合该条件的选项即为正确答案。
【解析】
根据平行四边形对角线互相平分的性质，两条对角线的一半与平行四边形的任意一边可构成三角形，需满足三角形三边关系：
逐一分析选项：
A. 对角线为8cm、10cm，半长分别为4cm、5cm，$4+5=9＜10$，不能构成三角形，不符合要求；
B. 对角线为6cm、10cm，半长分别为3cm、5cm，$3+5=8＜10$，不能构成三角形，不符合要求；
C. 对角线为6cm、8cm，半长分别为3cm、4cm，$3+4=7＜10$，不能构成三角形，不符合要求；
D. 对角线为10cm、12cm，半长分别为5cm、6cm，$5+6=11＞10$，$6-5=1＜10$，满足三角形三边关系，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是几何基础题型，将平行四边形的对角线性质和三角形三边关系结合考察，解题关键是把平行四边形的对角线问题转化为三角形三边判定问题，熟练掌握基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
9. 在$□ ABCD$中，$AB=2$，$BC=3$，$∠ B=60°$，则$□ ABCD$的面积为（
A.$6$
B.$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$3$
C
）.A.$6$
B.$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$3$
答案
9. C
解析
【分析】
要求平行四边形的面积，需先回忆平行四边形的面积公式：面积=底×对应高。本题已经给出平行四边形的邻边长和内角，我们可以选择BC为底，只需要求出BC边上的高即可。我们可以过A作BC的垂线构造直角三角形，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出高，再代入面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：过点A作AE⊥BC于点E，
∴∠AEB=90°。
在Rt△ABE中，∠B=60°，
∴∠BAE=90°-60°=30°。
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1$。
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
平行四边形ABCD的底BC=3，BC边上的高AE=$\sqrt{3}$，代入面积公式得：
$S_{□ABCD}=BC× AE=3×\sqrt{3}=3\sqrt{3}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形面积公式，含30°角的直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础计算题，解题的核心是通过作高构造直角三角形，将已知的边长和角度条件转化为求高的条件，熟练掌握平行四边形面积计算方法和直角三角形相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要求平行四边形的面积，需先回忆平行四边形的面积公式：面积=底×对应高。本题已经给出平行四边形的邻边长和内角，我们可以选择BC为底，只需要求出BC边上的高即可。我们可以过A作BC的垂线构造直角三角形，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出高，再代入面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：过点A作AE⊥BC于点E，
∴∠AEB=90°。
在Rt△ABE中，∠B=60°，
∴∠BAE=90°-60°=30°。
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1$。
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
平行四边形ABCD的底BC=3，BC边上的高AE=$\sqrt{3}$，代入面积公式得：
$S_{□ABCD}=BC× AE=3×\sqrt{3}=3\sqrt{3}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形面积公式，含30°角的直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础计算题，解题的核心是通过作高构造直角三角形，将已知的边长和角度条件转化为求高的条件，熟练掌握平行四边形面积计算方法和直角三角形相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
10. 翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，小明翻出了一种图案：如图，在矩形ABCD中，点I，E在边AD上，点G，J在边CD上，点H，L在边BC上，点F，K在边AB上.$IJ // KL$，$EF // GH$.若$∠ 1 = ∠ 2 = 30°$，则$∠ 3$的度数为（
A.$30°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$60°$
D
）.A.$30°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
10. D
解析
【分析】
解题思路：首先回忆矩形的性质：矩形对边平行且四个角都是直角，再结合题目给出的两组平行线的条件，利用平行线同位角相等的性质，把∠1、∠2分别转移到BC边、AD边对应的直角三角形中，计算出它们在AB边上的对应锐角，最后利用AB是直线、平角为180°的性质，即可求出∠3的度数。具体步骤：1. 根据矩形对边平行+IJ//KL，得出∠1和BC边上的∠KLB相等；2. 在直角△BKL中，用直角三角形两锐角互余算出∠BKL的度数；3. 同理根据矩形对边平行+EF//GH，得出∠2和AD边上的∠AEF相等，在直角△AEF中算出∠AFE的度数；4. 最后根据AB边上平角为180°，用180°减去刚才算出的两个角的度数，即可得到∠3的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠A=∠B=90°，AB为直线，平角为180°。
∵IJ//KL，AD//BC，
∴∠1=∠KLB=30°（两直线平行，同位角相等），
在Rt△BKL中，∠B=90°，
∴∠BKL=90°-∠KLB=90°-30°=60°。
∵EF//GH，AD//BC，
∴∠2=∠AEF=30°（两直线平行，同位角相等），
在Rt△AEF中，∠A=90°，
∴∠AFE=90°-∠AEF=90°-30°=60°。
又
∵点F、K在AB边上，∠AFE+∠3+∠BKL=180°，
∴∠3=180°-∠AFE-∠BKL=180°-60°-60°=60°。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的翻花绳图案出题，将几何知识和生活实际相结合，主要考查对平行线性质、矩形性质的运用，解题的关键是利用平行线的性质将已知角转移到合适的直角三角形中计算，再结合平角的性质求解。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先回忆矩形的性质：矩形对边平行且四个角都是直角，再结合题目给出的两组平行线的条件，利用平行线同位角相等的性质，把∠1、∠2分别转移到BC边、AD边对应的直角三角形中，计算出它们在AB边上的对应锐角，最后利用AB是直线、平角为180°的性质，即可求出∠3的度数。具体步骤：1. 根据矩形对边平行+IJ//KL，得出∠1和BC边上的∠KLB相等；2. 在直角△BKL中，用直角三角形两锐角互余算出∠BKL的度数；3. 同理根据矩形对边平行+EF//GH，得出∠2和AD边上的∠AEF相等，在直角△AEF中算出∠AFE的度数；4. 最后根据AB边上平角为180°，用180°减去刚才算出的两个角的度数，即可得到∠3的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠A=∠B=90°，AB为直线，平角为180°。
∵IJ//KL，AD//BC，
∴∠1=∠KLB=30°（两直线平行，同位角相等），
在Rt△BKL中，∠B=90°，
∴∠BKL=90°-∠KLB=90°-30°=60°。
∵EF//GH，AD//BC，
∴∠2=∠AEF=30°（两直线平行，同位角相等），
在Rt△AEF中，∠A=90°，
∴∠AFE=90°-∠AEF=90°-30°=60°。
又
∵点F、K在AB边上，∠AFE+∠3+∠BKL=180°，
∴∠3=180°-∠AFE-∠BKL=180°-60°-60°=60°。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的翻花绳图案出题，将几何知识和生活实际相结合，主要考查对平行线性质、矩形性质的运用，解题的关键是利用平行线的性质将已知角转移到合适的直角三角形中计算，再结合平角的性质求解。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 如图，在$□ ABCD$中，$O$为对角线$BD$的中点，$EF ⊥ BD$于点$O$，与$AD$，$BC$分别交于点$E$，$F$.求证：$DE = DF$.
11. 如图，在$□ ABCD$中，$O$为对角线$BD$的中点，$EF ⊥ BD$于点$O$，与$AD$，$BC$分别交于点$E$，$F$.求证：$DE = DF$.
答案
11. 提示：由$\begin{cases} ∠FBO=∠EDO, \\ OB=OD, \\ ∠BOF=∠DOE \end{cases}$得$△ BOF ≌ △ DOE. \therefore BF=DE.$由$FO$垂直平分$BD$得$BF=DF. \therefore DE=DF$
解析
【分析】
要证明$DE=DF$，可通过等量代换的思路推导：首先利用平行四边形对边平行的性质得到一组内错角相等，结合O是BD中点、对顶角相等的条件，证明$△ BOF$和$△ DOE$全等，得到$DE=BF$；再根据$EF$垂直且平分$BD$，利用线段垂直平分线的性质得到$BF=DF$，最后通过等量代换即可证得结论。
【解析】
证明：
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，
$\therefore ∠ FBO=∠ EDO$。
$\because O$是$BD$的中点，
$\therefore OB=OD$。
在$△ BOF$和$△ DOE$中：
$\begin{cases}∠ FBO=∠ EDO, \\OB=OD, \\∠ BOF=∠ DOE \quad (\mathrm{对顶角相等})\end{cases}$
$\therefore △ BOF≌△ DOE(\mathrm{ASA})$，
$\therefore BF=DE$。
又$\because EF⊥ BD$，且$O$为$BD$中点，
$\therefore EF$是线段$BD$的垂直平分线，
$\because$ 点$F$在$EF$上，
$\therefore BF=DF$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
$\therefore DE=DF$（等量代换）。
【答案】
$DE=DF$，证明如上。
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础的几何综合证明题，需要结合已知条件逐步推导，先通过全等三角形实现线段的等量转换，再利用垂直平分线的性质完成最终证明，能够锻炼学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要证明$DE=DF$，可通过等量代换的思路推导：首先利用平行四边形对边平行的性质得到一组内错角相等，结合O是BD中点、对顶角相等的条件，证明$△ BOF$和$△ DOE$全等，得到$DE=BF$；再根据$EF$垂直且平分$BD$，利用线段垂直平分线的性质得到$BF=DF$，最后通过等量代换即可证得结论。
【解析】
证明：
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，
$\therefore ∠ FBO=∠ EDO$。
$\because O$是$BD$的中点，
$\therefore OB=OD$。
在$△ BOF$和$△ DOE$中：
$\begin{cases}∠ FBO=∠ EDO, \\OB=OD, \\∠ BOF=∠ DOE \quad (\mathrm{对顶角相等})\end{cases}$
$\therefore △ BOF≌△ DOE(\mathrm{ASA})$，
$\therefore BF=DE$。
又$\because EF⊥ BD$，且$O$为$BD$中点，
$\therefore EF$是线段$BD$的垂直平分线，
$\because$ 点$F$在$EF$上，
$\therefore BF=DF$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
$\therefore DE=DF$（等量代换）。
【答案】
$DE=DF$，证明如上。
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础的几何综合证明题，需要结合已知条件逐步推导，先通过全等三角形实现线段的等量转换，再利用垂直平分线的性质完成最终证明，能够锻炼学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
