登录
12. 如图,点 D,C 在 BF 上,$AC // DE$,$∠ A = ∠ E$,$BD = CF$.
(1) 求证:$AB = EF$;
(2) 连接 AF,BE,猜想四边形 ABEF 的形状,并说明理由.
(1) 求证:$AB = EF$;
(2) 连接 AF,BE,猜想四边形 ABEF 的形状,并说明理由.
答案
12. (1) $\because AC // DE, \therefore ∠ACD=∠EDF. \because BD=CF,$
$\therefore BD+DC=CF+DC,即BC=DF. 又\because ∠A=∠E, \therefore △ ABC ≌ △ EFD. \therefore AB=EF$
(2) 猜想：四边形ABEF为平行四边形.理由：由(1)知$△ ABC ≌ △ EFD. \therefore AB=EF,$
$∠ABC=∠DFE. \therefore AB // EF. \therefore 四边形ABEF为平行四边形$
$\therefore BD+DC=CF+DC,即BC=DF. 又\because ∠A=∠E, \therefore △ ABC ≌ △ EFD. \therefore AB=EF$
(2) 猜想：四边形ABEF为平行四边形.理由：由(1)知$△ ABC ≌ △ EFD. \therefore AB=EF,$
$∠ABC=∠DFE. \therefore AB // EF. \therefore 四边形ABEF为平行四边形$
解析
【分析】
(1) 要证明AB=EF，通常可证明两条线段所在的三角形全等。首先根据AC//DE可得到一组对应角相等，再由BD=CF，两边同时加公共线段DC可推出BC=DF，结合已知∠A=∠E，即可用AAS判定△ABC和△EFD全等，根据全等三角形对应边相等即可得证AB=EF。
(2) 判断四边形ABEF的形状时，可结合(1)的全等结论，得到AB与EF的数量关系和位置关系：由全等得AB=EF、∠B=∠F，进而推出AB//EF，再根据平行四边形的判定定理即可得出结论。
【解析】
(1) 证明：
$\because AC // DE$，
$\therefore ∠ACD=∠EDF$（两直线平行，同位角相等）。
$\because BD=CF$，
$\therefore BD+DC=CF+DC$，即$BC=DF$。
在$△ ABC$和$△ EFD$中：
$\begin{cases}∠A=∠E \\∠ACD=∠EDF \\BC=DF\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ EFD$（AAS），
$\therefore AB=EF$（全等三角形对应边相等）。
(2) 猜想：四边形ABEF为平行四边形，理由如下：
由(1)可知$△ ABC ≌ △ EFD$，
$\therefore AB=EF$，$∠ABC=∠DFE$，
$\therefore AB // EF$（内错角相等，两直线平行），
又$\because AB=EF$，
$\therefore$ 四边形ABEF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
(1) $AB=EF$得证；
(2) 四边形ABEF是平行四边形。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是先利用平行线性质和线段和差关系推导三角形全等的条件，再借助全等的性质得到边、角的数量和位置关系，最终判定四边形的形状，能够有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AB=EF，通常可证明两条线段所在的三角形全等。首先根据AC//DE可得到一组对应角相等，再由BD=CF，两边同时加公共线段DC可推出BC=DF，结合已知∠A=∠E，即可用AAS判定△ABC和△EFD全等，根据全等三角形对应边相等即可得证AB=EF。
(2) 判断四边形ABEF的形状时，可结合(1)的全等结论，得到AB与EF的数量关系和位置关系：由全等得AB=EF、∠B=∠F，进而推出AB//EF，再根据平行四边形的判定定理即可得出结论。
【解析】
(1) 证明：
$\because AC // DE$，
$\therefore ∠ACD=∠EDF$（两直线平行，同位角相等）。
$\because BD=CF$，
$\therefore BD+DC=CF+DC$，即$BC=DF$。
在$△ ABC$和$△ EFD$中：
$\begin{cases}∠A=∠E \\∠ACD=∠EDF \\BC=DF\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ EFD$（AAS），
$\therefore AB=EF$（全等三角形对应边相等）。
(2) 猜想：四边形ABEF为平行四边形，理由如下：
由(1)可知$△ ABC ≌ △ EFD$，
$\therefore AB=EF$，$∠ABC=∠DFE$，
$\therefore AB // EF$（内错角相等，两直线平行），
又$\because AB=EF$，
$\therefore$ 四边形ABEF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
(1) $AB=EF$得证；
(2) 四边形ABEF是平行四边形。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是先利用平行线性质和线段和差关系推导三角形全等的条件，再借助全等的性质得到边、角的数量和位置关系，最终判定四边形的形状，能够有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
13. 菱形 $ABCD$ 的两条对角线 $AC=6\ \mathrm{cm}$，$BD=8\ \mathrm{cm}$. 求：
（1）菱形 $ABCD$ 的周长与面积；
（2）$AB$ 与 $CD$ 间的距离.
（1）菱形 $ABCD$ 的周长与面积；
（2）$AB$ 与 $CD$ 间的距离.
答案
13. (1) 菱形ABCD的周长为20 cm、面积为24 cm²
(2) $\dfrac{24}{5}$ cm
(2) $\dfrac{24}{5}$ cm
解析
【分析】
解决这道题需结合菱形的核心性质逐步推导：首先回忆菱形的性质：①四条边长度相等；②对角线互相垂直且平分；③面积有两种计算方式，既可以用对角线乘积的一半计算，也可以用底乘对应高计算。第(1)问先根据对角线平分的性质求出两条对角线一半的长度，再在对角线分割出的直角三角形中用勾股定理求出菱形的边长，即可算出周长，直接用对角线乘积的一半求面积；第(2)问AB和CD是平行对边，二者的距离就是菱形的高，利用“面积=底×高”的公式，代入已知的面积和底边长，就能求出高也就是两条边的距离。
【解析】
解：设菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O。
(1)
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，$AO=\frac{1}{2}AC=3\ \mathrm{cm}$，$BO=\frac{1}{2}BD=4\ \mathrm{cm}$，且AB=BC=CD=DA
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{cm}$
∴菱形ABCD的周长=$4× AB=4×5=20\ \mathrm{cm}$
菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×6×8=24\ \mathrm{cm^2}$
(2)
∵AB//CD，设AB与CD间的距离为$h$（即AB边上的高为$h$）
菱形面积也可表示为$S=AB× h$
代入已知数据得：$24=5h$，解得$h=\frac{24}{5}\ \mathrm{cm}$
【答案】
(1) 周长为20 cm，面积为24 cm²；(2) $\dfrac{24}{5}$ cm
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；菱形面积计算
【点评】
本题属于菱形性质的基础应用题，解题关键是灵活运用菱形边长、面积的计算方法，结合勾股定理求解，需要熟练掌握菱形面积的两种计算方式，根据已知条件选择合适的公式解题。
【难度系数】
0.8
解决这道题需结合菱形的核心性质逐步推导：首先回忆菱形的性质：①四条边长度相等；②对角线互相垂直且平分；③面积有两种计算方式，既可以用对角线乘积的一半计算，也可以用底乘对应高计算。第(1)问先根据对角线平分的性质求出两条对角线一半的长度，再在对角线分割出的直角三角形中用勾股定理求出菱形的边长，即可算出周长，直接用对角线乘积的一半求面积；第(2)问AB和CD是平行对边，二者的距离就是菱形的高，利用“面积=底×高”的公式，代入已知的面积和底边长，就能求出高也就是两条边的距离。
【解析】
解：设菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O。
(1)
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，$AO=\frac{1}{2}AC=3\ \mathrm{cm}$，$BO=\frac{1}{2}BD=4\ \mathrm{cm}$，且AB=BC=CD=DA
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{cm}$
∴菱形ABCD的周长=$4× AB=4×5=20\ \mathrm{cm}$
菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×6×8=24\ \mathrm{cm^2}$
(2)
∵AB//CD，设AB与CD间的距离为$h$（即AB边上的高为$h$）
菱形面积也可表示为$S=AB× h$
代入已知数据得：$24=5h$，解得$h=\frac{24}{5}\ \mathrm{cm}$
【答案】
(1) 周长为20 cm，面积为24 cm²；(2) $\dfrac{24}{5}$ cm
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；菱形面积计算
【点评】
本题属于菱形性质的基础应用题，解题关键是灵活运用菱形边长、面积的计算方法，结合勾股定理求解，需要熟练掌握菱形面积的两种计算方式，根据已知条件选择合适的公式解题。
【难度系数】
0.8
