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14. 如图,在菱形ABCD中,$∠B=60°$,点E在边BC上,点F在边CD上.若E是BC的中点,连接AE,AF,EF,$∠AEF=60°$.求证:F是CD的中点.
答案
14. 连接AC.在菱形ABCD中,$AB=BC,$
$∠B=60°, \therefore △ ABC$为等边三角形.$\because E$是BC的中点,$\therefore AE ⊥ BC. \because ∠AEF=60°.$
$\therefore ∠FEC=30°. \therefore ∠CFE=180°-∠FEC-∠ECF=30°. \therefore ∠FEC=∠CFE. \therefore EC=CF. \because EC=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}CD, \therefore CF=\dfrac{1}{2}CD. \therefore F是CD的中点$
$∠B=60°, \therefore △ ABC$为等边三角形.$\because E$是BC的中点,$\therefore AE ⊥ BC. \because ∠AEF=60°.$
$\therefore ∠FEC=30°. \therefore ∠CFE=180°-∠FEC-∠ECF=30°. \therefore ∠FEC=∠CFE. \therefore EC=CF. \because EC=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}CD, \therefore CF=\dfrac{1}{2}CD. \therefore F是CD的中点$
解析
【分析】
拿到这道题我们可以按以下思路推导：首先，已知菱形ABCD且∠B=60°，菱形邻边相等，因此连接AC可构造出等边三角形，这是解决含60°角菱形问题的常用辅助线作法。接下来利用等边三角形三线合一的性质，结合E是BC中点可得到AE与BC的垂直关系，再根据已知的∠AEF=60°算出∠FEC的度数。然后结合菱形邻角互补求出∠C的度数，在△EFC中利用内角和计算角的度数，通过等角对等边得到EC和CF的等量关系，最后结合菱形边长相等的性质，就能推导出CF与CD的数量关系，证明F是CD的中点。
【解析】
证明：连接AC。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=BC，BC=CD，∠BCD=180°-∠B=180°-60°=120°。
∵ ∠B=60°，
∴ △ABC为等边三角形。
∵ E是BC的中点，
∴ AE⊥BC（等边三角形三线合一），即∠AEC=90°。
∵ ∠AEF=60°，
∴ ∠FEC=∠AEC - ∠AEF=90°-60°=30°。
在△EFC中，∠CFE=180°-∠FEC-∠ECF=180°-30°-120°=30°，
∴ ∠FEC=∠CFE，
∴ EC=CF。
∵ E是BC的中点，
∴ EC=½BC，
又
∵ BC=CD，
∴ CF=½BC=½CD，
∴ F是CD的中点。
【答案】
F是CD的中点
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何综合基础题，核心考察特殊四边形与特殊三角形的性质应用，解题的突破口是根据菱形60°内角的特征作辅助线构造等边三角形，再通过角度推导得到边的等量关系即可完成证明，对辅助线构造的能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
拿到这道题我们可以按以下思路推导：首先，已知菱形ABCD且∠B=60°，菱形邻边相等，因此连接AC可构造出等边三角形，这是解决含60°角菱形问题的常用辅助线作法。接下来利用等边三角形三线合一的性质，结合E是BC中点可得到AE与BC的垂直关系，再根据已知的∠AEF=60°算出∠FEC的度数。然后结合菱形邻角互补求出∠C的度数，在△EFC中利用内角和计算角的度数，通过等角对等边得到EC和CF的等量关系，最后结合菱形边长相等的性质，就能推导出CF与CD的数量关系，证明F是CD的中点。
【解析】
证明：连接AC。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=BC，BC=CD，∠BCD=180°-∠B=180°-60°=120°。
∵ ∠B=60°，
∴ △ABC为等边三角形。
∵ E是BC的中点，
∴ AE⊥BC（等边三角形三线合一），即∠AEC=90°。
∵ ∠AEF=60°，
∴ ∠FEC=∠AEC - ∠AEF=90°-60°=30°。
在△EFC中，∠CFE=180°-∠FEC-∠ECF=180°-30°-120°=30°，
∴ ∠FEC=∠CFE，
∴ EC=CF。
∵ E是BC的中点，
∴ EC=½BC，
又
∵ BC=CD，
∴ CF=½BC=½CD，
∴ F是CD的中点。
【答案】
F是CD的中点
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何综合基础题，核心考察特殊四边形与特殊三角形的性质应用，解题的突破口是根据菱形60°内角的特征作辅助线构造等边三角形，再通过角度推导得到边的等量关系即可完成证明，对辅助线构造的能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
15. (1) 如图(1),四个小矩形拼成一个大矩形ABCD,点P在线段AC上,试判断矩形EPHD与矩形GBFP面积的大小关系,并说明理由；
(2) 如图(2),矩形GBFP的顶点P在$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边AC上,若$AG=50$, $FC=75$,利用第(1)小题的探究方法和结论,求矩形GBFP的面积.
(2) 如图(2),矩形GBFP的顶点P在$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边AC上,若$AG=50$, $FC=75$,利用第(1)小题的探究方法和结论,求矩形GBFP的面积.
答案
15. (1) 矩形EPHD与矩形GBFP的面积相等.理由：$\because$ 四边形ABCD是矩形,$\therefore △ ABC ≌ △ CDA, △ AGP ≌ △ PEA, △ PFC ≌ △ CHP. \therefore S_{△ ABC}=S_{△ ACD}, S_{△ AGP}=S_{△ AEP}, S_{△ PCF}=S_{△ PCH}.$
$\therefore S_{矩形EPHD}=S_{矩形GBFP}$
(2) 将图(2)补成图(1),得到矩形ABCD.设$GB=x, BF=y.$则$S_{矩形ABCD}=(75+y)(50+x).由(1)可得(75+y)(50+x)=2xy+50y+75x. \therefore xy=3750.$
$\therefore$ 矩形GBFP的面积为3750
$\therefore S_{矩形EPHD}=S_{矩形GBFP}$
(2) 将图(2)补成图(1),得到矩形ABCD.设$GB=x, BF=y.$则$S_{矩形ABCD}=(75+y)(50+x).由(1)可得(75+y)(50+x)=2xy+50y+75x. \therefore xy=3750.$
$\therefore$ 矩形GBFP的面积为3750
解析
【分析】
(1) 要判断两个矩形的面积关系，可利用矩形对角线的性质：矩形的对角线将矩形分成两个面积相等的三角形。首先大矩形ABCD的对角线AC把它分为面积相等的△ABC和△CDA；过点P且平行于矩形边的线段又构成两个小矩形AGPE、PFCH，它们的对角线AP、PC也分别将对应小矩形分为面积相等的两个三角形。用大三角形面积减去内部两个小三角形的面积，得到的剩余部分就是待比较的两个矩形的面积，即可推出二者相等。
(2) 第二问可借助第一问的结论求解，先将Rt△ABC补成和图(1)结构一致的大矩形ABCD，根据第一问的结论，矩形EPHD和矩形GBFP面积相等，通过推导大矩形面积的两种表达形式，即可求出矩形GBFP的面积。
【解析】
(1) 矩形EPHD与矩形GBFP的面积相等，理由如下：
∵ 四边形ABCD是矩形，AC是矩形的对角线，
∴ $S_{△ ABC}=S_{△ CDA}$，
同理，矩形AGPE的对角线为AP，故$S_{△ AGP}=S_{△ PEA}$；矩形PFCH的对角线为PC，故$S_{△ PFC}=S_{△ CHP}$。
∵ $S_{矩形GBFP}=S_{△ ABC}-S_{△ AGP}-S_{△ PFC}$，$S_{矩形EPHD}=S_{△ CDA}-S_{△ PEA}-S_{△ CHP}$，
∴ $S_{矩形EPHD}=S_{矩形GBFP}$。
(2) 将图(2)补成图(1)的大矩形ABCD，设矩形GBFP的边长$GB=x$，$BF=y$。
则大矩形ABCD的长为$BC=BF+FC=y+75$，宽为$AB=AG+GB=50+x$，因此大矩形面积$S_{矩形ABCD}=(50+x)(75+y)$。
由(1)的结论可得$S_{矩形EPHD}=S_{矩形GBFP}=xy$，因此大矩形面积也可表示为：
$S_{矩形ABCD}=S_{矩形AGPE}+S_{矩形GBFP}+S_{矩形EPHD}+S_{矩形PFCH}=50y+xy+xy+75x=2xy+50y+75x$。
联立面积的两个表达式得：
$(50+x)(75+y)=2xy+50y+75x$，
展开左边得$3750+50y+75x+xy=2xy+50y+75x$，
消去等式两边相同项后解得$xy=3750$，即矩形GBFP的面积为3750。
【答案】
(1) 矩形EPHD与矩形GBFP面积相等，理由见解析；
(2) 3750
【知识点】
矩形的性质，全等三角形的性质，割补法求面积
【点评】
本题重点考查知识的迁移应用能力，第一问通过面积割补得到通用结论，第二问通过补形将陌生的直角三角形问题转化为第一问已解决的矩形问题，理解矩形对角线平分矩形面积的性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断两个矩形的面积关系，可利用矩形对角线的性质：矩形的对角线将矩形分成两个面积相等的三角形。首先大矩形ABCD的对角线AC把它分为面积相等的△ABC和△CDA；过点P且平行于矩形边的线段又构成两个小矩形AGPE、PFCH，它们的对角线AP、PC也分别将对应小矩形分为面积相等的两个三角形。用大三角形面积减去内部两个小三角形的面积，得到的剩余部分就是待比较的两个矩形的面积，即可推出二者相等。
(2) 第二问可借助第一问的结论求解，先将Rt△ABC补成和图(1)结构一致的大矩形ABCD，根据第一问的结论，矩形EPHD和矩形GBFP面积相等，通过推导大矩形面积的两种表达形式，即可求出矩形GBFP的面积。
【解析】
(1) 矩形EPHD与矩形GBFP的面积相等，理由如下：
∵ 四边形ABCD是矩形，AC是矩形的对角线，
∴ $S_{△ ABC}=S_{△ CDA}$，
同理，矩形AGPE的对角线为AP，故$S_{△ AGP}=S_{△ PEA}$；矩形PFCH的对角线为PC，故$S_{△ PFC}=S_{△ CHP}$。
∵ $S_{矩形GBFP}=S_{△ ABC}-S_{△ AGP}-S_{△ PFC}$，$S_{矩形EPHD}=S_{△ CDA}-S_{△ PEA}-S_{△ CHP}$，
∴ $S_{矩形EPHD}=S_{矩形GBFP}$。
(2) 将图(2)补成图(1)的大矩形ABCD，设矩形GBFP的边长$GB=x$，$BF=y$。
则大矩形ABCD的长为$BC=BF+FC=y+75$，宽为$AB=AG+GB=50+x$，因此大矩形面积$S_{矩形ABCD}=(50+x)(75+y)$。
由(1)的结论可得$S_{矩形EPHD}=S_{矩形GBFP}=xy$，因此大矩形面积也可表示为：
$S_{矩形ABCD}=S_{矩形AGPE}+S_{矩形GBFP}+S_{矩形EPHD}+S_{矩形PFCH}=50y+xy+xy+75x=2xy+50y+75x$。
联立面积的两个表达式得：
$(50+x)(75+y)=2xy+50y+75x$，
展开左边得$3750+50y+75x+xy=2xy+50y+75x$，
消去等式两边相同项后解得$xy=3750$，即矩形GBFP的面积为3750。
【答案】
(1) 矩形EPHD与矩形GBFP面积相等，理由见解析；
(2) 3750
【知识点】
矩形的性质，全等三角形的性质，割补法求面积
【点评】
本题重点考查知识的迁移应用能力，第一问通过面积割补得到通用结论，第二问通过补形将陌生的直角三角形问题转化为第一问已解决的矩形问题，理解矩形对角线平分矩形面积的性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
